2017新课标高考理科数学模拟试题

1 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 一 理科数学模拟试卷 一 第第 I 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知命题 sinx 1 则 px R A sinx 1 B sinx 1 px R px R C sinx 1 不能 D sinx 1 px R px R 2 已知平面向量 a 1 1 b 1 1 则向量 13 22 ab A 2 1 B 2 1 C 1 0 D 1 2 3 函数在区间的简图是 sin 2 3 yx 2 4 已知 an 是等差数列 a10 10 其前 10 项和 S10 70 则其公差 d A B C D 2 3 1 3 1 3 2 3 5 如果执行右面的程序框图 那么输出的 S A 2450 B 2500 y x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 2 6 1 O 1 3 A B C D 2 C 2550 D 2652 6 已知抛物线的焦点为 F 点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 在抛物线上 且 2 2 0 ypx p 2x2 x1 x3 则有 A B 123 FPFPFP 222 123 FPFPFP C D 213 2 FPFPFP 2 213 FPFPFP 7 已知 x 0 y 0 x a b y 成等差数列 x c d y 成等比数列 则的最小值是 2 ab cd A 0 B 1 C 2 D 4 8 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 A B 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 C 2000cm3 D 4000cm3 9 若 则的值为 cos22 2 sin 4 cossin A B C D 7 2 1 2 1 2 7 2 10 曲线在点 4 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 1 2 e x y A 年 B 4e2 C 2e2 D e2 2 9 e 2 11 甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次 三人的测试成绩如下表 s 1 s 2 s 3分别表示甲 乙 丙三名运动员这次测试成绩的标准差 则有 A s 3 s 1 s 2 B s 2 s 1 s3 C s 1 s 2 s3 D s 2 s3 s1 甲的成绩 环数78910 频数5555 乙的成绩 环数78910 频数6446 丙的成绩 环数78910 频数4664 3 12 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长与 各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥 三棱锥 三棱柱的高分别为 1 h 则 2 hh 12 hhh A B C D 3 1 13 2 23 2 23 2 3 第第 II 卷卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线的离心率为 14 设函数为奇函数 则 a 1 xxa f x x 15 i 是虚数单位 用 a bi 的形式表示 5 10 34 i i ab R 16 某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践 每个班去一个工厂 每个工厂至少安排一个班 不同的 安排方法共有种 用数字作答 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 如图 测量河对岸的塔高 AB 时 可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D 现测得 CD s 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角BCDBDC 为 求塔高 AB 4 18 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥 S ABC 中 侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形 O 为 BC 中90BAC 点 证明 平面 ABC SO 求二面角 A SC B 的余弦值 19 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 经过点且斜率为 k 的直线 l 与椭圆有两个不同的交点 02 2 2 1 2 x y P 和 Q 求 k 的取值范围 设椭圆与 x 轴正半轴 y 轴正半轴的交点分别为 A B 是否存在常数 k 使得向量 与共线 如果存在 求 k 值 如果不存在 请说明理由 OPOQ AB 5 20 本小题满分 12 分 如图 面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M 可按下面方法估计 M 的面积 在正方 形 ABCD 中随机投掷 n 个点 若 n 个点中有 m 个点落入 M 中 则 M 的面积的估计值为 假设正方 m S n 形 ABCD 的边长为 2 M 的面积为 1 并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点 以 X 表示落入 M 中的点的数目 求 X 的均值 EX 求用以上方法估计 M 的面积时 M 的面积的估计值与实际值之差在区间 0 03 0 03 内的概率 附表 10000 10000 0 0 250 75 k ttt t P kC K2424242525742575 P k 0 04030 04230 95700 9590 21 本小题满分 12 分 设函数 2 ln f xxax 若当 x 1 时 f x 取得极值 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 若 f x 存在极值 求 a 的取值范围 并证明所有极值之和大于 e ln 2 6 22 请考生在 A B 中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时 用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应的标号涂黑 A 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 O1和 O2的极坐标方程分别为 4cos4sin 把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 求经过 O1 O2交点的直线的直角坐标方程 B 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲设函数 214f xxx 解不等式 f x 2 求函数 y f x 的最小值 7 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 一 理科数学模拟试卷 一 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 C 2 D 3 A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 B 9 C 10 D 11 B 12 B 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 24031 12i 三 解答题三 解答题 17 解 在中 BCD CBD 由正弦定理得 sinsin BCCD BDCCBD 所以 sinsin sinsin CDBDCs BC CBD 在中 ABCRt tansin tan sin s ABBCACB 18 证明 由题设 连结 为等腰直角三角形 所以AB AC SB SC SAOAABC 且 又为等腰三角形 故 且 2 2 OAOBOCSA AOBC SBC SOBC 从而 2 2 SOSA 222 OASOSA 所以为直角三角形 SOA SOAO 又 AOBOO 所以平面SO ABC 解法一 解法一 取中点 连结 由 知 得SCMAMOM SOOCSAAC 8 O S BA C M x z y OMSCAMSC 为二面角的平面角 OMA ASCB 由得平面AOBCAOSOSOBCO AO SBC 所以 又 AOOM 3 2 AMSA 故 26 sin 33 AO AMO AM 所以二面角的余弦值为ASCB 3 3 解法二 解法二 以为坐标原点 射线分别为轴 轴的正半轴 建立如图的空间直角坐标系OOBOA xy Oxyz 设 则 10 0 B 10 0 010 0 01 CAS 的中点 SC 11 0 22 M 1111 01 101 2222 MOMASC 00MO SCMA SC 故等于二面角的平面角 MOSCMASCMO MA 0 在区间 0 2 的图像如下 那么 A 1B 2C 1 2D 1 3 2 已知复数 则 1zi 2 2 1 zz z A 2iB 2i C 2 D 2 3 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍 那么它的顶角的余弦值为 A 5 18B 3 4 C 2 D 7 83 4 设等比数列的公比 前 n 项和为 则 n a2q n S 4 2 S a A 2B 4C D 15 2 17 2 5 右面的程序框图 如果输入三个实数 a b c 要求输出这三个数中最大 的数 那么在空白的判断框中 应该填入下面四个选项中的 A c xB x cC c bD b c 6 已知 则使得都成立的取值范 123 0aaa 2 1 1 i a x 1 2 3 i x 围是 A 0 B 0 1 1 a 1 2 a C 0 D 0 3 1 a 3 2 a 7 0 20 3sin70 2cos 10 A B C 2 D 1 2 2 2 3 2 8 平面向量 共线的充要条件是 a r b r 是是 否否 开始开始 输入输入 a b c x a b x 输出输出 x 结束结束 x b x c 否否 是是 14 A 方向相同B 两向量中至少有一个为零向量a r b r a r b r C D 存在不全为零的实数 R ba rr 1 2 12 0ab rrr 9 甲 乙 丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动 要求每人参加一天且每天至 多安排一人 并要求甲安排在另外两位前面 不同的安排方法共有 A 20 种B 30 种C 40 种D 60 种 10 由直线 x 2 曲线及 x 轴所围图形的面积为 2 1 x x y 1 A B C D 4 15 4 17 2ln 2 1 2ln2 11 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得 最小值时 点 P 的坐标为 A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 4 1 4 1 12 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是长为的线段 在该几何体76 的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段 则 a b 的最大值为 A B C 4D 223252 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 已知向量 且 则 0 1 1 a r 4 1 0 b r 29ab rr 0 14 过 双 曲 线 22 1 916 xy 的右顶点为 A 右焦点为 F 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B 则 AFB 的面积为 15 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六 棱柱的体积为 底面周长为 3 那么这个球的体积为 9 8 16 从甲 乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度 单位 mm 结果如下 由以上数据设计了如下茎叶图 甲甲乙乙 甲品种 271273280285285287292294295301303303307 308310314319323325325328331334337352 乙品种 284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356 15 3127 7550284 5422925 8733130467 940312355688 855332022479 741331367 343 2356 根据以上茎叶图 对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较 写出两个统计结论 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 70 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列是一个等差数列 且 n a 2 1a 5 5a 1 求的通项 n a n a 2 求前 n 项和的最大值 n a n S 18 本小题满分 12 分 如图 已知点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上 PDA 60 1 求 DP 与 CC1所成角的大小 2 求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小 B1 C1 D1 A1 C D AB P 16 19 本小题满分 12 分 A B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2 根据市场分析 X1和 X2的分布列分别为 X15 10 X22 8 12 P0 80 2P0 20 50 3 1 在 A B 两个项目上各投资 100 万元 Y1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润 求 方差 DY1 DY2 2 将 x 0 x 100 万元投资 A 项目 100 x 万元投资 B 项目 f x 表示投资 A 项目所得利 润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和 求 f x 的最小值 并指出 x 为何值时 f x 取到最小值 注 D aX b a2DX 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系 xOy 中 椭圆 C1 的左 右焦点分别为 22 22 1 0 xy ab ab F1 F2 F2也是抛物线 C2 的焦点 点 M 为 C1与 C2在第一象限的交点 且 2 4yx 2 5 3 MF 1 求 C1的方程 2 平面上的点 N 满足 直线 l MN 且与 C1交于 A B 两点 12 MNMFMF uuu ruuuruuuu r 若 0 求直线 l 的方程 OA uur OB uu u r 17 21 本小题满分 12 分 设函数 曲线在点处的切线方 1 f xaxa bZ xb yf x 2 2 f 程为 3y 1 求的解析式 yf x 2 证明 曲线的图像是一个中心对称图形 并求其对称中心 yf x 3 证明 曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值 yf x 1x yx 并求出此定值 18 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用 2B 铅笔在答铅笔在答 题卡上把所选题目对应的题号涂黑 题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 曲线 C2 cos sin x y 为参数 2 2 2 2 2 xt t yt 为参数 1 指出 C1 C2各是什么曲线 并说明 C1与 C2公共点的个数 2 若把 C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 写出 的 1 C 2 C 1 C 2 C 参数方程 与公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同 说明你的理由 1 C 2 C 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 4 8 xxxf 1 作出函数的图像 xfy 2 解不等式 2 4 8 xx 19 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 二 理科数学模拟试卷 二 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B2 B3 D4 C5 A6 B 7 C8 D9 A10 D11 A12 C 二 填空题二 填空题 13 14 15 3 32 15 4 3 16 1 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度 或 乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲 品种棉花的纤维长度 2 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 或 乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花 的纤维长度更集中 稳定 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大 3 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm 4 乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的 而且大多集中在中间 均值附近 甲品种棉花的纤维长度 除一个特殊值 352 外 也大致对称 其分布较均匀 三 解答题三 解答题 17 解 设的公差为 由已知条件 解出 n ad 1 1 1 45 ad ad 1 3a 2d 所以 1 1 25 n aandn 2 1 1 4 2 n n n Snadnn 2 4 2 n 20 所以时 取到最大值 2n n S4 18 解 如图 以为原点 为单位长建立空间直角坐标系 DDADxyz 则 10 0 DA uu u r 0 01 CC uuu r 连结 BDB D 在平面中 延长交于 BB D D DPB D H 设 1 0 DHmmm uuu r 由已知 60DH DA o uuu r uu u r 由cosDA DHDA DHDADH uu u r uuu ruu u r uuu ruu u r uuu r g 可得 2 221mm 解得 所以 2 2 m 22 1 22 DH uuu r 因为 22 001 1 2 22 cos 2 12 DH CC uuu r uuu r 所以 45DH CC o uuu r uuu r 即与所成的角为 DP CC 45 平面的一个法向量是 AA D D 010 DC uuu r 因为 22 01 1 0 1 22 cos 2 12 DH DC uuu r uuu r 所以 60DH DC o uuu r uuu r 可得与平面所成的角为 DPAA D D 30 19 解 由题设可知和的分布列分别为 1 Y 2 Y Y1510 P0 80 2 1 5 0 8 10 0 26EY 22 1 56 0 8 106 0 24DY Y22812 P0 20 50 3 A B C D P A B C D x y z H 21 2 2 0 28 0 5 12 0 38EY 222 2 28 0 2 88 0 5 128 0 312DY 12 100 100100 xx f xDYDY 22 12 100 100100 xx DYDY 22 2 4 3 100 100 xx 22 2 4 46003 100 100 xx 当时 为最小值 600 75 2 4 x 3f x 20 解 由 知 2 C 2 4yx 2 10 F 设 在上 因为 所以 11 M xy M 2 C 2 5 3 MF 1 5 1 3 x 得 1 2 3 x 1 2 6 3 y 在上 且椭圆的半焦距 于是M 1 C 1 C1c 消去并整理得 22 22 48 1 93 1 ab ba 2 b 42 93740aa 解得 不合题意 舍去 2a 1 3 a 故椭圆的方程为 1 C 22 1 43 xy 由知四边形是平行四边形 其中心为坐标原点 12 MFMFMN uuuruuuu ruuu r 12 MFNFO 因为 所以 与的斜率相同 lMN lOM 故 的斜率 l 2 6 3 6 2 3 k 设 的方程为 l6 yxm 22 由 消去并化简得 22 3412 6 xy yxm y 22 916840 xmxm 设 11 A xy 22 B xy 12 16 9 m xx 2 12 84 9 m x x 因为 所以 OAOB uuruu u r 1212 0 x xy y 12121212 6 x xy yx xxm xm 2 1212 76 6x xm xxm 2 2 8416 766 99 mm mm gg 2 1 1428 0 9 m 所以 2m 此时 22 16 4 9 84 0mm 故所求直线 的方程为 或 l62 3yx 62 3yx 21 解 2 1 fxa xb 于是 解得 或 2 1 23 2 1 0 2 a b a b 1 1 a b 9 4 8 3 a b 因 故 ab Z 1 1 f xx x 证明 已知函数 都是奇函数 1 yx 2 1 y x 所以函数也是奇函数 其图像是以原点为中心的中心对称图形 1 g xx x 而 1 11 1 f xx x 可知 函数的图像按向量平移 即得到函数的图像 故函数的图像是以点 g x 11 a f x f x 23 为中心的中心对称图形 11 证明 在曲线上任取一点 00 0 1 1 xx x 由知 过此点的切线方程为 0 2 0 1 1 1 fx x 2 00 0 2 00 11 1 1 1 xx yxx xx 令得 切线与直线交点为 1x 0 0 1 1 x y x 1x 0 0 1 1 1 x x 令得 切线与直线交点为 yx 0 21yx yx 00 2121 xx 直线与直线的交点为 1x yx 11 从而所围三角形的面积为 0 00 00 1112 1 21 1222 2121 x xx xx 所以 所围三角形的面积为定值 2 22 解 是圆 是直线 1 C 2 C 的普通方程为 圆心 半径 1 C 22 1xy 1 0 0 C 1r 的普通方程为 2 C20 xy 因为圆心到直线的距离为 1 C20 xy 1 所以与只有一个公共点 2 C 1 C 压缩后的参数方程分别为 为参数 t 为参数 1 C cos 1 sin 2 x y 2 C 2 2 2 2 4 xt yt 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 其判别式 2 2 2 4 2 10 24 1 1 Ox y 2 3 4 2 4 1 2 2 8 4 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点 和与公共点个数相同 2 C 1 C 1 C 2 C 23 解 44 21248 48 x f xxx x 图像如下 不等式 即 842xx 2f x 由得 2122x 5x 由函数图像可知 原不等式的解集为 f x 5 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 三 理科数学模拟试卷 三 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 中有一项是符合题目要求 的 1 已知集合 则 1 3 5 7 9 0 3 6 9 12AB N AC B I A B C D 1 5 7 3 5 7 1 3 9 1 2 3 2 复数 3232 2323 ii ii A 0 B 2 C 2i D 2 3 对变量 x y 有观测数据理力争 i 1 2 10 得散点图 1 对变量 u v 有观测数据 1 x 1 y 1 u 1 v i 1 2 10 得散点图 2 由 这两个散点图可以判断 25 A 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 正相关 B 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 负相关 C 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 正相关 D 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 负相关 4 双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为 2 4 x 2 12 y A B 2 C D 12 33 5 有四个关于三角函数的命题 xR x yR sin x y sinx siny 1 p 2 sin 2 x 2 cos 2 x1 2 2 p x sinx sinx cosyx y 3 p 0 1 cos2 2 x 4 p 2 其中假命题的是 A B 3 4 1 p 4 p 2 p 4 p 1 p 3 p 2 p 4 p 6 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 7 等比数列的前 n 项和为 且 4 2 成等差数列 若 1 则 n a n s 1 a 2 a 3 a 1 a 4 s A 7 B 8 3 15 4 16 8 如图 正方体的棱线长为 1 线段上有两个动点 E F 且 则下 1111 ABCDABC D 11 B D 2 2 EF 列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥的体积为定值ABEF D 异面直线所成的角为定值 AE BF 9 已知 O N P 在所在平面内 且 且ABC 0OAOBOC NANBNC 则点 O N P 依次是的PA PBPB PCPCPA ABC A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 10 如果执行右边的程序框图 输入 那么输出的各个数的合等于2 0 5xh A 3 B 3 5 C 4 D 4 5 26 11 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 c 为 为 2 m A 48 12 B 48 24 C 36 12 D 222 36 242 12 用 min a b c 表示 a b c 三个数中的最小值设 f x min x 2 10 x 2x x 0 则 f x 的最大值为 A 4 B 5 C 6 D 7 第第 II 卷卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 的方程为 14 已知函数 y sin x 0 6 635 所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 III 由 II 的结论知 该地区老年人是否需要帮助与性别有关 并且从样本数据能看出该地区男性老年 39 人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 因此在调查时 先确定该地区老年人中男 女的比例 再把老年人分成男 女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 20 解 I 由椭圆定义知 又 22 4AFBFABa 22 2 ABAFBF 得 4 3 ABa 的方程为 其中 lyxc 22 cab 设 则 A B 两点坐标满足方程组 11 A x y 22 B xy 22 22 1 yxc xy ab 化简的 2222222 20abxa cxacb 则 222 2 1212 2222 2 acb a c xxx x abab 因为直线 AB 斜率为 1 所以AB 2 211212 224xxxxx x 得故 2 22 44 3 ab a ab 22 2ab 所以 E 的离心率 22 2 2 cab e aa II 设 AB 的中点为 由 I 知 00 N xy 2 12 0 22 2 23 xxa c xc ab 00 3 c yxc 由 得 PAPB 1 PN k 即 0 0 1 1 y x 得 从而3c 3 2 3ab 故椭圆 E 的方程为 22 1 189 xy 21 解 解 40 1 时 0a 1 x f xex 1 x fxe 当时 当时 故在单调减少 在 0 x 0fx 0 x 0fx f x 0 单调增加 0 II 1 2 x fxeax 由 I 知 当且仅当时等号成立 故1 x ex 0 x 2 1 2 fxxaxa x 从而当 即时 而 1 20a 1 2 a 0 0 fxx 0 0f 于是当时 0 x 0f x 由可得 从而当时 1 0 x ex x 1 0 x ex x 1 2 a 12 1 1 2 xxxxx fxea eeeea 故当时 而 于是当时 0 ln2 xa 0fx 0 0f 0 ln2 xa 0f x 综合得的取值范围为 a 1 2 22 解 当时 的普通方程为 的普通方程为 联立方程组 3 1 C3 1 yx 2 C 22 1xy 解得与的交点为 1 0 22 3 1 1 yx xy 1 C 2 C 13 22 的普通方程为 1 Csincossin0 xy A 点坐标为 2 sincossin 故当变化时 P 点轨迹的参数方程为 2 1 sin 2 1 sincos 2 x y 为参数 P 点轨迹的普通方程为 2 2 11 416 xy 41 故 P 点轨迹是圆心为 半径为的圆 1 0 4 1 4 23 解 由于则函数的图像如图所示 252 23 xx f x x x2 yf x 由函数与函数的图像可知 当且仅当或时 函数与函数 yf x yax 1 2 a 2a yf x 的图像有交点 故不等式的解集非空时 的取值范围为 yax f xax a 1 2 2 42 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 五 理科数学模拟试卷 五 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数的共轭复数是 2 1 2 i i A B C D 3 5 i 3 5 ii i 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 单调递增的函数是 A B C D 2 yx 1yx 2 1yx 2 x y 3 执行右面的程序框图 如果输入的 N 是 6 那么输出的 p 是 A 120 B 720 C 1440 D 5040 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 5 已知角的顶点与原点重合 始边与轴的正半轴重合 终边在直线上 则 x2yx cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 6 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图所示 则相应的侧视图可以为 7 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 为 C 的AB 实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A B C 2 D 323 43 8 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 5 1 2 a xx xx A 40 B 20 C 20 D 40 9 由曲线 直线及轴所围成的图形的面积为 yx 2yx y A B 4 C D 6 10 3 16 3 10 已知 a 与 b 均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 1 2 10 3 Pab 2 2 1 3 Pab 3 10 3 Pab 4 1 3 Pab 其中的真命题是 A B C D 14 P P 13 P P 23 P P 24 P P 11 设函数的最小正周期为 且 sin cos 0 2 f xxx fxf x 则 A 在单调递减 B 在单调递减 f x0 2 f x 3 44 C 在单调递增 D 在单调递增 f x0 2 f x 3 44 12 函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于 1 1 y x 2sin 24 yxx A 2 B 4 C 6 D 8 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 13 若变量满足约束条件则的最小值为 x y 329 69 xy xy 2zxy 14 在平面直角坐标系中 椭圆的中心为原点 焦点在 轴上 离心率为 过xOyC 12 F Fx 2 2 的直线 交于两点 且的周长为 16 那么的方程为 l A B 2 ABF C 15 已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面上 且 则棱锥ABCDO6 2 3ABBC 的体积为 OABCD 44 16 在中 则的最大值为 ABC 60 3BAC 2ABBC 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 等比数列的各项均为正数 且 n a 2 12326 231 9 aaaa a I 求数列的通项公式 n a II 设 求数列的前项和 31323 loglog log nn baaa 1 n b 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 45 19 本小题满分 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品 现用两种新配方 分别称为 A 配方和 B 配方 做试验 各生产了 100 件这种产品 并 测试了每件产品的质量指标值 得到下面试验结果 A 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数82042228 B 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数412423210 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 2 94 2 94102 4 102 t yt t 从用 B 配方生产的产品中任取一件 其利润记为 X 单位 元 求 X 的分布列及数学期望 以实 验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率 46 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点满足 MB OA MA AB MB BA M 点的轨迹为曲线 C 求 C 的方程 P 为 C 上的动点 l 为 C 在 P 点处得切线 求 O 点到 l 距离的最小值 21 本小题满分 12 分 已知函数 曲线在点处的切线方程为 ln 1 axb f x xx yf x 1 1 f230 xy 求 的值 ab 如果当 且时 求的取值范围 0 x 1x ln 1 xk f x xx k 47 请考生在第 22 23 中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 2cos 22sin x y M 是 C1上的动点 P 点满足 P 点的轨迹为曲线 C22OPOM 求 C2的方程 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线与 C1的异于极点的交点为 A 与 C2 3 的异于极点的交点为 B 求 AB 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 其中 3f xxax 0a 当时 求不等式的解集1a 32f xx 若不等式的解集为 求 a 的值 0f x 1x x 48 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 五 理科数学模拟试卷 五 参考答案参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 B 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D 9 C 10 A 11 A 12 D 二 填空题 13 6 14 15 16 22 1 168 xy 8 32 7 三 解答题 17 解 设数列 an 的公比为 q 由得所以 有条件可知 a 0 故 2 326 9aa a 32 34 9aa 2 1 9 q 1 3 q 由得 所以 故数列 an 的通项式为 an 12 231aa 12 231aa q 1 1 3 a 1 3n 111111 loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 所以数列的前 n 项和为 1 n b 2 1 n n 18 解 因为 由余弦定理得 60 2DABABAD 3BDAD 从而 BD2 AD2 AB2 故 BDAD 49 又 PD底面 ABCD 可得 BDPD 所以 BD平面 PAD 故 PABD 如图 以 D 为坐标原点 AD 的长为单位长 射线 DA 为轴的正半轴建立空间直角坐标系 D x 则xyz 1 0 0A 03 0B 1 3 0C 0 0 1P 1 3 0 0 3 1 1 0 0 ABPBBC 设平面 PAB 的法向量为 n x y z 则 即 30 30 xy yz 因此可取 n 3 1 3 设平面 PBC 的法向量为 m 则 0 0 m PB m BC 可取 m 0 1 3 42 7 cos 72 7 m n 故二面角 A PB C 的余弦值为 2 7 7 19 解 由实验结果知 用 A 配方生产的产品中优质的平率为 所以用 A 配方生产 228 0 3 100 的产品的优质品率的估计值为 0 3 由实验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 B 配方生产的产品 32 10 0 42 100 的优质品率的估计值为 0 42 用 B 配方生产的 100 件产品中 其质量指标值落入区间 90 94 94 102 102 110 的频率分别为 0 04 054 0 42 因此 P X 2 0 04 P X 2 0 54 P X 4 0 42 即 X 的分布列为 X 的数学期望值 EX 2 0 04 2 0 54 4 0 42 2 68 50 20 解解 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x MA MB AB 2 再由愿意得知 0 即 x 4 2y x 2 0 MA MB AB 所以曲线 C 的方程式为 y x 2 1 4 2 设 P x y 为曲线 C y x 2 上一点 因为 y x 所以 的斜率为x 00 1 4 2 1 2 l 1 2 0 因此直线 的方程为 即 l 000 1 2 yyx xx 2 00 220 x xyyx 则 O 点到 的距离 又 所以l 2 00 2 0 2 4 yx d x 2 00 1 2 4 yx 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 0 时取等号 所以 O 点到 距离的最小值为 2 2 0 xl 21 解解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线的斜率为 且过点 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 1 x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考虑函数 则 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 2 2 1 1 2 kxx h x x i 设 由知 当时 而 故0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 1 0h 当时 可得 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 当 x 1 时 h x 0 2 1 1 x 51 从而当 x 0 且 x1 时 f x 0 即 f x 1 ln x x x k 1 ln x x x k ii 设 0 k0 故 h x 0 而 h 1 0 故当 k 1 1 x 1 时 h x 0 可得h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 2 1 1 x h x 0 与题设矛盾 综合得 k 的取值范围为 0 22 解 I 设 P x y 则由条件知 M 由于 M 点在 C1上 所以 2 2 YX 即 sin22 2 cos2 2 y x sin44 cos4 y x 从而的参数方程为 为参数 2C 4cos 44sin x y 曲线的极坐标方程为 曲线的极坐标方程为 1C4sin 2C8sin 射线与的交点的极径为 3 1CA14sin 3 射线与的交点的极径为 3 2CB28sin 3 所以 21 2 3AB 23 解 当时 可化为 1a 32f xx 1 2x 由此可得 或 3x 1x 故不等式的解集为或 32f xx 3x x 1 x 由的 0f x 30 xax 此不等式化为不等式组 或 30 xa xax 30 xa axx 52 即 或 4 xa a x 2 xa a a 因为 所以不等式组的解集为0a 2 a x x 由题设可得 故 2 a 1 2a 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学模拟试卷 六 理科数学模拟试卷 六 第一卷第一卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给同的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 已知集合 则中所含元素 1 2 3 4 5 A Bx y xA yA xyA B 的个数为 A3 B6 C D 2 将名教师 名学生分成个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 242 每个小组由 名教师和名学生组成 不同的安排方案共有 12 种 种 种 种 A12 B10 C D 3 下面是关于复数的四个命题 其中的真命题为 2 1 z i 的共轭复数为 的虚部为 1 2pz 2 2 2pzi 3 pz1 i 4 pz1 A 23 pp B 12 p p C pp D pp 4 设 12 FF是椭圆的左 右焦点 为直线 22 22 1 0 xy Eab ab P 3 2 a x 上一点 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 E A 1 2 B 2 3 C D 5 已知 n a为等比数列 56 8a a 则 110 aa 47 2aa 53 A7 B5 C D 6 如果执行右边的程序框图 输入正整数 2 N N 和实数 12 n a aa 输出 则 A B 为 12