直线和圆复习

1 学学 校 校 年年 级 级 教学课题 直线和圆教学课题 直线和圆 学员姓名 学员姓名 辅导科目 数学辅导科目 数学 学科教师 学科教师 教学目标教学目标 对直线和圆的复习对直线和圆的复习 教学内容教学内容 一 直线的倾斜角一 直线的倾斜角 1 定义定义 把轴绕着交点按逆时针方向转逆时针方向转到和直线直线 重合重合时所转的最小正角最小正角记为 就叫做直xl 线的倾斜角 当直线 与轴重合或平行时 规定倾斜角为 0 lx 2 倾斜角的范围倾斜角的范围 0 二 直线的斜率二 直线的斜率 1 定义定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 即k tan 90 倾斜角为 90 的直线没有斜率 k 2 斜率公式斜率公式 经过两点 的直线的斜率为 111 P x y 222 P xy 21 21 21 xx xx yy k 3 应用应用 证明三点共线 ABBC kk 三 直线的方程三 直线的方程 名称 已知条件 方程 说明 斜截式 斜率k 轴上的截距 yb bkxy 不包括垂直于 轴的直线 x 点斜式 点 P x y 斜 111 率 k k 1 yy 1 xx 不包括垂直于 轴的直线x 两点式 111 yxP 222 yxP 不包括坐标轴和平行于 坐标轴的直线 截距式 轴上的截距 ax 轴上的截距 b y 1 b y a x 不包括坐标轴 平行于 坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax By C 0 A B 不同时为 0 四 设直线方程的一些常用技巧四 设直线方程的一些常用技巧 1 知直线纵截距 常设其方程为 bykxb 2 知直线过点 当斜率存在时 常设其方程为 当斜率不存在时 则其 00 xyk 00 yk xxy k 方程为 0 xx 3 与直线平行的直线可表示为 0l AxByC 1 0AxByC 12 1 12 1 xx xx yy yy 2 4 与直线垂直的直线可表示为 0l AxByC 1 0BxAyC 注注 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式 利用待定系数法求解 五 点到直线的距离及两平行直线间的距离五 点到直线的距离及两平行直线间的距离 1 点到直线的距离 00 P xy0AxByC 00 22 AxByC d AB 2 两平行线间的距离为 1122 0 0lAxByClAxByC 12 22 CC d AB 六 两直线的位置关系六 两直线的位置关系 1 l 11 bxky 2 l 22 bxky x y 0 1 l 1 A 1 B 1 C x y 0 2 l 2 A 2 B 2 C 与组成的 1 l 2 l 方程组 平行 且 21 kk 21 bb 或 0 0 1221 1221 CACA BABA 无解 重合 且 21 kk 21 bb 有无数多解 相交 21 kk 垂直 1 21 kk0 2121 BBAA 有唯一解 典型例题 典型例题 一 倾斜角与斜率一 倾斜角与斜率 1 对于下列命题 若 是直线l的倾斜角 则 1800 若直线倾斜角为 则它斜率 tan k 任一直线都有倾斜角 但不一定有斜率 任一直线都有斜率 但不一定有倾斜角 其 中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 给出以下四个命题 若直线的斜率存在 则必有倾斜角与之对应 若直线的倾斜角存在 则必有斜率与之对应 1 2 坐标平面上所有的直线都有倾斜角 坐标平面上所有的直线都有斜率 3 4 其中正确的是 A B C D 1 2 3 4 1 3 2 4 3 判断下列命题的正确性 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 0 222 2 1 2 1 2 1 CBA C C B B A A 2 1 2 1 B B A A 3 1 任何一条直线都有倾斜角 也都有斜率 2 平行于 x 轴的直线倾斜角是或 0 180 3 直线斜率的范围是 4 直线的倾斜角越大 斜率越大 5 两直线的斜率相等 则它们的倾斜角相等 6 两条直线的倾斜角相等 则它们的斜率相等 4 下列命题中 正确命题的个数是 任意一条直线一定是某个一次函数的图象 函数 的图像是一条直线bkxy 0 x 以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上 则这个方程叫做这条直线的方程 若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解 则这条直线叫这个方程的直线 A 0B 1C 2D 3 5 若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解 则 A 这个方程叫直线的方程B 这条直线叫方程的直线 C 以方程的解为坐标的点都在直线上D 以上均不对 6 下列四个命题中真命题是 A 经过定点 P0 x0 y0 的直线都可以用方程 y y0 k x x0 表示 B 经过任意两个不同点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 C 不经过原点的直线都可以用方程 1 表示 a x b y D 经过定点 A 0 b 的直线都可以用方程 y kx b 表示 7 方程表示的图形是 0 22 yx A 两条直线B 一条直线C 一个点D 两个点 8 由方程 1 确定的曲线所围成的图形面积是 A 1 B 2 C D 411 yx 二 二 定点问题定点问题 1 若 kR 时 直线 y 2 k x 1 总通过一个定点 这个定点是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 1 2 2 方程 y k x 2 xR 表示 A 通过点 2 0 的一切直线 B 通过点 2 0 的一切直线 C 通过点 2 0 且不垂直 x 轴的一切直线 D 通过点 2 0 且除去 x 轴的一切直线 3 已知直线 l 的方程为 2m 3 x y m 6 0 则对于任意的 mR 直线 l 恒过定点 4 无论 m n 取何实数值 直线 3m n x m 2n y n 0 都过定点 P 则 P 点坐标为 4 A 1 3 B C D 2 3 2 1 5 3 5 1 7 3 7 1 三三 截距问题截距问题 1 直线 mx ny 1 mn 0 与两坐标轴围成的面积是 A B C D 1 2 mn 1 2 mn 1 2mn 1 2 mn 2 过点 P 2 3 并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 3 过点 5 2 且在 x 轴上截距是 y 轴上截距两倍的直线方程是 4 过点 5 2 且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为 A x y 3 0 B x y 3 0 或 2x 5y 0 C x y 3 0 D x y 3 0 或 2x 5y 0 5 已知直线 L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 且此三角形的面积为 18 求直线 L 的方程 四 三个距离四 三个距离 1 已知直线 则 1 2 100lxy 2 3 2lx 1 点到 的距离为 2 点到的距离为 1 2 P 1 l 1 2 P 2 l 2 在直线到点距离最近的点的坐标是 02743 yx 1 2 P A B C D 3 5 0 9 5 3 3 5 3 若点 4 a 到直线 4x 3y 1 的距离不大于 3 则 a 的取值范围是 A B 0 10 C D 0 10 010 1 3 3 13 4 直线 在轴与轴上的截距相等 且到点的距离恰好为 4 求直线 的方程 lxy 43 Pl 5 求点到直线的最大距离及相应的值 6 7 P03 21 13 ayaxaa 6 在坐标平面内 与点 A 1 2 距离为 1 且与点 B 3 1 距离为 2 的直线共有 5 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 7 已知点 M1 3 5 M2 1 2 在直线 M1M2上有一点 N 使 M1N 15 则 N 点的坐标是 A 15 14 B 9 4 C 15 14 或 9 4 D 15 14 或 9 4 9 直线和间的距离是 01243 yx0343 yx 10 设直线若直线与既关于点 A 对称 又关于点 B 对称 A B 不重0443 043 21 yxlyxl 1 l 2 l 合 则 AB 所在的直线方程为 A B C D 043 yx0443 yx0243 yx0443 yx 11 若动点分别在直线和上移动 则中点到原 2211 yxByxA07 1 yxl 05 2 yxl AB 点的距离的最小值为 A B C D 23323324 12 两直线 L1与 L2关于直线 L y x 1 对称 且 L1的方程为y 3x 4 则 L2的方程为 A y x 6 B y x 2 C y x 6 D y x 2 3 1 3 1 3 1 3 1 13 如果直线与直线关于直线对称 那么的值分别是2yax 3yxb yx ab A 6 B 6 C 3 2 D 3 6 1 3 1 3 14 直线 过点 且被两平行直线和所截得的线段长为 9 则直线l360 xy 330 xy 的方程是 l 15 已知实数满足 那么的最小值是 x y250 xy 22 xy 16 在直线上求一点 使得到直线和直线的2 xyPP0843 yx013 yx 距离的平方和最小 17 位于第一象限的点 A 在直线 y 3x 上 直线 AB 交 x 轴的正半轴于点 C 已知点 B 3 2 求 OAC 面积的最小值 并求此时 A 点坐标 18 已知点 M 1 3 N 5 2 在 x 轴上取一点 P 使得 PM PN 最大 则 P 点坐标是 A 5 0 B 13 0 C 0 13 D 3 4 0 变式 若使 PM PN 最小呢 五 对称问题五 对称问题 1 点 A 4 5 关于直线 l 的对称点为 B 2 7 则 l 的方程为 6 2 点 A 1 2 关于直线 x 2y 2 0 的对称点 B 的坐标是 3 已知 M a b 与 N 关于 x 轴对称 点 P 与点 N 关于 y 轴对称 点 Q 与点 P 关于直线 x y 0 对称 则点 Q 的坐标为 A a b B b a C a b D b a 4 直线上有一点 它与两定点的距离之差最大 则点的坐标是042 yxP 4 3 1 4 BA P 六 易错题六 易错题 1 已知直线 L 的横截距为 a 纵截距为 b 斜率为 k 则下列命题正确的是 A 直线与坐标轴围成的面积是 B 直线的方程是 1 2 ab1 xy ab C 斜率 k D 以上都不对 b a 2 下列四个命题中属于真命题的是 A 经过定点的直线都可以用方程 00 yyk xx B 经过任意两个不同点的直线都可以用 111222 P xyP xy 表示 121121 yyxxxxyy C 不经过原点的直线都可以用表示 1 xy ab D 经过点的直线都可以用方程表示 0 Abykxb 3 直线的倾斜角是 tan y 1 0 7 x A B C D 7 7 7 5 7 6 4 若与只有一个公共点则 111 0LAxB yC 222 0LA xB yC A B C D 1122 A B A B 0 1221 A B A B 0 12 12 AA BB 11 22 AB AB 5 若直线 L 过点 1 2 且两截距相等 则直线 L 的斜率 k 是 A k 1 或 k 2 B k 1 或 k 2 C k 1 D k 1 或 k 2 6 当是第四象限角时 直线和直线的位置关系是 sin1 cos a 0 xy 1 cos b 0 xy A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 与角有关 7 若直线 L1 x ay 6 0 与直线 L2 a 2 x 3y 2a 0 互相平行 则 a 的值为 A 1 或 3 B 1 或 3 C 1 D 以上都不对 7 8 过 x1 y1 和 x2 y2 两点的直线方程是 A B 11 2121 yyxx yyxx 12 2112 yyxx yyxx C D 211211 0yyxxxxyy 211211 0 xxxxyyyy 9 下列命题 若有斜率的两条直线斜率不相等 则这两条直线不平行 1 若两条直线平行 则这两条直线的斜率相等 2 若两条直线都有斜率 且斜率相等 则这两条直线必定平行 3 其中不正确的命题是 10 已知两点 A 1 2 B m 3 1 求直线 AB 的斜率 k 2 求直线 AB 的方程 3 已知实数 m 求直线 Ab 的倾斜角的取值范围 3 1 31 3 m 11 求过点 P 5 4 且分别满足下列条件的直线方程 1 倾斜角的正弦值是 4 5 2 倾斜角是直线 l 的倾斜角的一半 3 1 4 yx 3 与 x 轴和 y 轴分别交于 A B 两点 且 3 5 AP BP 圆与方程圆与方程 知识归类 8 1 圆的两种方程 1 圆的标准方程 表示 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 FEyDxyx 当 D2 E2 4F 0 时 方程 表示 1 当时 表示 04 22 FED 当时 方程只有实数解 即只表示 04 22 FED 2 D x 2 E y 当时 方程 04 22 FED 综上所述 方程表示的曲线不一定是圆 0 22 FEyDxyx 2 点与圆的关系的判断方法 00 M xy 222 xaybr 1 点在 2 点在 22 00 xayb 2 r 22 00 xayb 2 r 3 点在 22 00 xayb 2 r 3 直线与圆的位置关系 设直线 圆 圆的半径为 圆心到直线的l0 cbyaxC0 22 FEyDxyxr 2 2 ED 距离为 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点 d 1 当时 直线 与圆 2 当时 直线 与圆 rd lCrd lC 3 当时 直线 与圆 rd lC 4 圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为 则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点 l 1 当时 圆与圆 2 当时 圆与圆 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 1 C 2 C 3 当时 圆与圆 4 当时 圆与圆 5 当 21 rr 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 1 C 2 C 时 圆与圆 21 rrl 1 C 2 C 题型一 求圆的方程题型一 求圆的方程 1 以点 2 1 为圆心且与直线 3x 4y 5 0 相切的圆的方程为 A x 2 2 y 1 2 3B x 2 2 y 1 2 3 C x 2 2 y 1 2 9 D x 2 2 y 1 2 9 2 圆 x2 y2 2x 4y 3 0 的圆心到直线 x y 1 的距离为 A B 1 C D 2 2 2 2 9 3 过点 A 1 1 B 1 1 且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 A x 3 2 y 1 2 4 B x 3 2 y 1 2 4 C x 1 2 y 1 2 4 D x 1 2 y 1 2 4 4 根据下列条件求圆的方程 经过坐标原点和点 P 1 1 并且圆心在直线 2x 3y 1 0 上 变式 求过两点 4 1 A 2 3 B且圆心在直线0 y上的圆的标准方程并判断点 4 2 P与圆的关系 题型二 圆的切线问题题型二 圆的切线问题 1 自点 的切线 则切线长为 1 3 2 4 1 22 yxA作圆 A B 3 C D 5 510 2 若直线 1 a x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切 则 a 的值为 A 1 1 B 2 2 C 1 D 1 3 过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 0 2 5 24 22 yxyx 4 已知圆4 22 yxO 求过点 42 P 与圆O相切的切线 5 过圆 x 1 2 y 1 2 1 外一点 P 2 3 向圆引两条切线切点为 A B 求经过两切点的直线 方l 程 圆的对称 圆的对称 切线问题 切线问题 1 圆关于直线250 xy 对称的圆的方程是 22 2690 xyxy 2 变式练习 自点 A 3 3 发出的光线 L 射到x轴上 被x轴反射 其反射光线 m 所在直线与圆 C x 2 y 2 4x 4y 7 0 相切 求光线 L m 所在的直线方程 10 题型三 有关直线与圆的线段计算问题 弦长 弧问题 题型三 有关直线与圆的线段计算问题 弦长 弧问题 1 直线 3x 4y 4 0 被