数值分析最佳习题(含答案)

2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 1 第一章第一章 绪论绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点 有效数字的计算 计算方法的比较选择 误差和误差限的计算 1 若误差限为 那么近似数 0 003400 有几位有效数字 有效数字的计算 5 105 0 解解 2 103400 0 x 325 10 2 1 10 2 1 xx 故具有 3 位有效数字 2 具有 4 位有效数字的近似值是多少 有效数字的计算 14159 3 解解 欲使其近似值具有 4 位有效数字 必需10314159 0 即 41 10 2 1 3 3 10 2 1 10 2 1 14209 3 14109 3 3 已知 是经过四舍五入后得到的近似值 问 有几位2031 1 a978 0 bba ba 有效数字 有效数字的计算 解解 而 3 10 2 1 aa 2 10 2 1 bb1811 2 ba1766 1 ba 2123 10 2 1 10 2 1 10 2 1 bbaababa 故至少具有 2 位有效数字 ba 2123 10 2 1 0065 0 10 2 2031 1 10 2 978 0 bbaaabbaab 故至少具有 2 位有效数字 ba 4 设 的相对误差为 求的误差和相对误差 误差的计算 0 xx xln 解解 已知 则误差为 x xx lnln x xx xx 则相对误差为 lnln 1 ln lnln xx xx xx xx 5 测得某圆柱体高度的值为 底面半径的值为 已知hcmh20 r cmr5 求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差cmhh2 0 cmrr1 0 hrv 2 限 误差限的计算 解 解 2 2 hhrrrhrrhvrhv 绝对误差限为 252 051 02052 5 20 2 vrhv 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 2 相对误差限为 4 20 1 205 25 5 20 5 20 2 v vrhv 6 设的相对误差为 求的相对误差 函数误差的计算 x a n xy 解解 a x xx na x xx n x xx y yy n nn 7 计算球的体积 为了使体积的相对误差限为 问度量半径时允许的相对误差限为多 1r 大 函数误差的计算 解解 球体积为 3 3 4 rrv 3 3 4 rrv 欲使 必须 13 3 4 4 3 2 r rr r rrr rv rvrv 3 1 r rr 8 设 求证 1 0 1 dxexeI xn n 1 2 1 0 1 1 nnII nn 2 利用 1 中的公式正向递推计算时误差逐步增大 反向递推计算时误差逐步减小 计算方法的比较选择 解解 1 1 0 11 1 0 1 1 0 1 1 0 1 11 n xnxnxnxn n nIdxexnedxexnexedexeI 11 1 0 1 0 1 1 eeedxeeI x 如果初始误差为 若是向前递推 有 000 II 02 2 1 11 1 1 1 1 1 nnnnnInIII n nnnnnnn 可见 初始误差的绝对值被逐步地扩大了 0 如果是向后递推 其误差为 nn I nn I 11 1 n n n II 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 110 可见 初始误差的绝对值被逐步减少了 n 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 3 第二章第二章 插值法插值法 姓名 学号 班级 习题主要考察点 拉格朗日插值法的构造 均差的计算 牛顿插值和埃尔米特插值构造 插值 余项的计算和应用 1 1 已知已知 求 求的拉氏插值多项式 拉格朗日插值 的拉氏插值多项式 拉格朗日插值 1 2 1 1 2 1 fff xf 解法一 待定系数法 解法一 待定系数法 设 设 由插值条件 有 由插值条件 有 cbxaxxL 2 124 1 2 cba cba cba 解得 解得 3 4 2 1 6 1 cba 故故 3 4 2 1 6 1 2 xxxL 解法二 基函数法 解法二 基函数法 由插值条件 有 由插值条件 有 1 12 12 1 1 1 21 11 2 1 2 21 11 2 1 xxxxxx xL 1 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 xxxxxx 3 4 2 1 6 1 2 xx 2 2 已知已知 用线性插值求用线性插值求的近似值 的近似值 拉格朗日线性插值 拉格朗日线性插值 9 4 10 xxxy7 解解 由插值节点与被插函数 可知 由插值节点与被插函数 可知 其线性插值函数为 其线性插值函数为24 0 y39 1 y 5 6 5 1 3 49 4 2 94 9 x xx xL 的近似值为的近似值为 76 2 5 13 5 6 5 7 7 L 3 若为互异节点 且有 1 0 njxj 1110 1110 njjjjjjj njj j xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xl 试证明 拉格朗日插值基函数的性质 1 0 0 nkxxlx n j k j k j 解解 考虑辅助函数 其中 n j k j k j xxlxxF 0 nk 0 x 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 4 是次数不超过的多项式 在节点 处 有 xFn i xx ni 0 0 0 k i k i k iii k i n j k iij k ji xxxxlxxxlxxF 这表明 有 n 1 个互异实根 xF 故 从而对于任意的均成立 0 xF n j k j k j xxlx 0 nk 0 4 已知 用抛物线插值计352274 0 36 0 sin 333487 0 34 0 sin 314567 0 32 0 sin 算的值并估计截断误差 拉格朗日二次插值 3367 0sin 解解 由插值条件 其抛物线插值函数为 314567 0 36 0 32 0 34 0 32 0 36 0 34 0 xx xL 333487 0 36 034 0 32 0 34 0 36 0 32 0 xx 352274 0 34 0 36 0 32 0 36 0 34 0 32 0 xx 将代入 计算可得 3367 0 x3304 0 3367 0 L 其余项为 其中 36 0 34 0 32 0 3 sin xxxxr 36 0 32 0 36 0 34 0 32 0 6 1 xxxxr 故误差的上界为 7 1014 2 36 03367 0 34 0 3367 0 32 03367 0 6 1 3367 0 r 5 5 用余弦函数用余弦函数在在 三个节点处的值 写出二次拉格朗日插三个节点处的值 写出二次拉格朗日插xcos0 0 x 4 1 x 2 2 x 值多项式值多项式 并近似计算并近似计算及其绝对误差与相对误差 且与误差余项估计值比较 拉及其绝对误差与相对误差 且与误差余项估计值比较 拉 6 cos 格朗日二次插值 格朗日二次插值 解解 由插值条件 二次拉格朗日插值多项式为 0 4 2 02 4 0 2 1 2 4 04 2 0 1 2 0 4 0 2 4 xxxxxx xL 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 5 22 2 28 2 4 8 xxxx 8508 0 9 242 2 6 6 28 2 6 4 6 8 6 22 L 绝对误差为 0153 0 18 28439 9 242 2 3 6 6 cos L 相对误差为 0179 0 284 28439 6 6 6 cos L L 余项为 其中 2 4 3 sin xxxxr2 0 其余项的上界为 2 4 6 1 xxxxr 0239 0 6 26 46 66 1 6 4 3 r 比较可知 实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些 6 已知函数值 求函数的四阶均 212 6 82 4 46 3 10 1 6 0 fffff 差和二阶均差 均差的计算 6 4 3 1 0 f 3 1 4 f 解解 采用列表法来计算各阶均差 有 xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差 06 1104 3461814 3 4823661 3 62126529 311 151 15 从表中可查得 15 1 6 4 3 1 0 f xy一阶均差二阶均差 482 11072 3 346186 故 其实 根据均差的对称性 该值在第一个表6 3 1 4 f6 4 3 1 3 1 4 ff 中就可以查到 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 6 7 设求之值 其中 而节点 10n xxxxxxxf 1 0p xxxf 1 np 互异 均差的计算 1 1 0 nixi 解解 由均差可以表示成为函数值的线性组合 有 p i pipiiiiiii i p xxxxxxxxxxxx xf xxxf 0 11110 1 0 而 故 0 i xfpi 00 1 0 p xxxf 8 如下函数值表 x 0124 xf 19233 建立不超过三次的牛顿插值多项式 牛顿插值多项式的构造 解解 先构造均差表 xf x 一阶均差二阶均差三阶均差 01 198 223143 43 10 8 11 4 故 2 1 4 11 1 381 xxxxxxxN 9 求一个次数小于等于三次多项式 满足如下插值条件 xp2 1 p4 2 p 插值多项式的构造 3 2 p 12 3 p 解法一 待定系数法 解法一 待定系数法 设 则 dcxbxaxxp 23 由插值条件 有cbxaxxp 23 2 123927 3412 4248 2 dcba cba dcba dcba 解得 6 15 9 2 dcba 故 61592 23 xxxxp 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 7 解法二 带重节点的均差法 解法二 带重节点的均差法 据插值条件 造差商表 xy一阶差商二阶差商三阶差商 12 242 2431 312852 故 61592 2 1 2 2 1 1 22 232 xxxxxxxxxp 10 构造一个三次多项式 使它满足条件 xH 埃尔米特插值 1 1 1 2 0 1 1 0 HHHH 解解 设 dcxbxaxxH 23 cbxaxxH 23 2 利用插值条件 有 123 1248 0 1 cba dcba dcba d 解得 1 4 4 1 dcba 144 23 xxxxH 11 设 1 试求在上的三次埃尔米4 9 1 4 1 210 2 3 xxxxxf xf 4 9 4 1 特插值多项式 使得 以升幂形 xH 2 1 0 11 xfxHjxfxH jj xH 式给出 2 写出余项写出余项的表达式 的表达式 埃尔米特插值及其余项的计算 xHxfxR 解解 8 1 4 1 f1 1 f 8 27 4 9 f 2 1 2 3 xxf 2 3 1 f 设 dcxbxaxxH 23 cbxaxxH 23 2 2 3 23 8 27 4 9 16 81 64 729 1 8 1 4 1 16 1 64 1 cba dcba dcba dcba 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 8 解得 225 14 a 450 263 b 450 233 c 25 1 d 故 25 1 450 233 450 263 225 14 23 xxxxH 其中 4 9 1 4 1 128 3 2 2 5 xxxxR 4 9 4 1 12 若 试证明 0 2 bfafbacxf 插值余项的应用 max 8 1 max 2 xfabxf bxabxa 解解 以为插值条件 作线性插值多项式 有0 bfaf 0 bf ab ax af ba bx xL 其余项为 2 bxax f xfxLxfxR 故 max 8 1 2 2 max 2 1 max 2 xfab ba ba ba xfxf bxabxabxa 13 设求使 2 2 1 0 1 2 fff xp 2 1 0 ixfxp ii 又设 则估计余项的大小 插值误差的估计 Mxf xpxfxr 解 解 由插值条件 有 224 1 124 cba c cba 解得 1 4 3 8 1 c b a 从而 1 4 3 8 1 2 xxxp 其余项为 2 2 2 2 3 xxx f xpxfxr M M xx M xr 27 38 3 9 16 6 4 6 3 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 9 第三章第三章 函数逼近函数逼近 姓名 学号 班级 习题主要考察点 最小二乘法 最佳平方逼近 正交多项式的构造 1 设 求于上的线性最佳平方逼近多项式 最佳平方逼近 xxf sin xf 1 0 解解 1 spanx 1 1 0 11 dx 2 1 1 0 21 xdx 3 1 1 0 2 22 dxx 2 sin 1 0 1 xdxf 1 sin 1 cossin 1 0 2 1 0 2 xx x xdxxf 法方程组为 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1 a a 解得 2 1 a0 2 a 线性最佳平方逼近多项式为 2 2 令 且设 求使得为于 11 xexf x xaaxp 10 10 a a xp xf 1 1 上的最佳平方逼近多项式 最佳平方逼近 解解 1 spanx 2 1 1 11 dx 0 1 1 21 xdx 3 2 1 1 2 22 dxx 1 1 1 1 eedxef x 1 1 1 2 2 edxxef x 法方程组为 1 1 2 1 2 3 2 0 02 e ee a a 解得 2 1 1 1 eea 3 1 2 e a 线性最佳平方逼近多项式为 x eee xp 32 11 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 10 3 证明 切比雪夫多项式序列 arccoscos xkxTk 在区间上带权正交 正交多项式的证明 1 1 2 1 1 xx 解解 对于 有kl dxxkxl x TT kl arccoscos arccoscos 1 1 1 1 2 0 0 2 cos cos sin cos cos cos1 1 dtktltdttktlt t 0 cos cos 2 1 dttkltkl 0 sin 1 sin 1 2 1 0 tkl kl tkl kl 对于 有kl dxxk x TT kk arccos cos 1 1 2 1 1 2 0 22 0 2 cos sin cos cos1 1 dtktdttkt t 2 2sin 2 1 2 1 2cos 1 2 1 0 0 tk k tdttk 故 序列在 1 1 上带权正交 xTk 2 1 1 x x 4 求矛盾方程组 的最小二乘解 最小二乘法 2 42 3 21 21 21 xx xx xx 解法一解法一 求与 使得 1 x 2 x 2 21 2 21 2 2121 2 42 3 xxxxxxxxf 达到最小 于是 令 0 2 2 42 2 3 2 212121 1 xxxxxx x f 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 11 0 1 2 22 42 2 3 2 212121 2 xxxxxx x f 即 其最小二乘解为 962 923 21 21 xx xx 6429 0 5714 2 2 1 x x 解法二解法二 记作 该矛盾方程组的最小二乘解 应满足以下方程组 2 4 3 11 21 11 2 1 x x bAX 即bAAXA TT 9 9 62 23 2 1 x x 解之 得 6429 0 5714 2 2 1 x x 5 已知一组试验数据 k x 22 53455 5 k y 44 5688 59 试用直线拟合这组数据 计算过程保留 3 位小数 最小二乘线性逼近 解解 作矩阵 5 51 51 41 31 5 21 21 A 9 5 8 8 6 5 4 4 y 法方程为 yAXAA TT 即 25 161 40 5 9022 226 b a 解得 2288 1 a4831 1 b 其直线拟合函数为 xy4831 1 2288 1 6 用最小二乘原理求一个形如的经验公式 使与下列数据相拟合 2 bxay 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 12 k x19253138 44 k y1932 34973 397 8 最小二乘二次逼近 解解 等价于对数据表 2 k x3616259611444 1936 k y1932 34973 397 8 作线性拟合 其法方程组为 5 369321 4 271 72776995327 53275 b a 解得 9726 0 a0500 0 b 故经验公式为 2 05 0 9726 0 xy 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 13 第四章第四章 数值积分数值积分 姓名 学号 班级 习题主要考察点 代数精度的计算 构造插值型求积公式 梯形 辛甫生公式 复化求积的计 算 高斯公式的构造 1 给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能 0 hcfbfhafdxxf h h cba 高 代数精度的应用和计算 解解 分别取 使上述数值积分公式准确成立 有 2 1 xxxf 3 2 0 2 322 hhcha hcha hcba 解得 3 3 4 3 h c h b h a 故求积公式为 3 0 3 4 3 hf h f h hf h dxxf h h 再取 左边 右边 3 xxf h h dxx0 3 0 3 0 3 4 3 33 h hh h h 再取 左边 右边 4 xxf h h h dxx 5 2 5 4 3 2 3 0 3 4 3 5 44 h h hh h h 此求积公式的最高代数精度为 3 2 求积公式 试确定系数 及 使该求 0 1 0 010 1 0 fBfAfAdxxf 0 A 1 A 0 B 积公式具有尽可能高的代数精确度 并给出代数精确度的次数 代数精度的应用和计算 解解 分别取 使求积公式准确成立 有 2 1 xxxf 3 1 2 1 1 1 01 10 A BA AA 解得 6 1 3 1 3 2 010 BAA 求积公式为 0 6 1 1 3 1 0 3 2 1 0 fffdxxf 再取 左边 右边 3 xxf 0 6 1 1 3 1 0 3 2 4 1 1 0 3dx x 故该求积公式的最高代数精度为 2 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 14 3 数值积分公式 是否为插值型求积公式 为什么 又该公式 2 1 2 3 3 0 ffdxxf 的代数精确度为多少 插值型求积公式特征 解 令 1 xf 2 1 2 3 11 2 3 3 3 0 ffdx xxf 2 1 2 3 21 2 3 2 9 3 0 ffxdx 2 xxf 2 1 2 3 21 2 3 2 15 9 2 3 0 2 ffdxx 故代数精度为 1 由于求积节点个数为 2 代数精度达到 1 次 故它是插值型的求积公式 4 如果 证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大 并说明其0 x f b a dxxf 几何意义 梯形求积 解解 梯形求积公式 2 bfaf ab T 是由过点 的线性插值函数 afa bfb bf ab ax af ba bx xL 在 a b 上的定积分 注意到 在区间 a b 上 而 有0 x f0 bxax 0 2 dxbxax f dxxLxfdxxLdxxfTI b a b a b a b a 从而 TI 其几何意义可作以下解释 在区间 a b 上 故曲线下凹 直线位于曲线之上 因0 x f xfy xLy 此 曲边梯形的面积小于梯形面积 b a dxxfI b a dxxLT 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 15 5 用的复化梯形公式计算积分 并估计误差 复化梯形求积 4 n 2 1 1 dx x 解解 取求积节点为 4 1 4 12 h 4 1 0 4 1 1 iixi 2 1 2 1 2 11 432101 3 0 2 1 3 0 1 xfxfxfxfxfhxfxf h dx x dx x ii ii x x i i 6970 0 1680 1171 8 4 2 1 7 4 6 4 5 4 4 4 2 1 4 1 因 则误差大约为 2ln 1 2 1 dx x 0039 0 6970 0 2ln 6 设 则用复化辛甫生公式计算 2 1 9 5 0 6 0 4 5 0 1 1 fffff 若有常数使 则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限 1 1 dxxfMMf 4 复化辛甫生公式 解解 1 0 0 1 1 1 dxxfdxxfdxxf 1 6 1 5 0 6 4 0 6 1 0 6 1 5 0 6 4 1 6 1 ffffff 1667 11 6 67 29466441 6 1 1 0 22 4 0 1 21 4 2 1 5 0 0 4 0 5 0 1 4 dxxxx f dxxxx f SI 1 5 0 0 0 5 0 1 24 1 0 2 0 1 2 dxxxxdxxxx M 0042 0 6 25 0 6 1 5 0 0 12 2 5 0 0 2 1 0 2 M dttt M dxxxx M M008 0 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 16 7 已知高斯求积公式 将区间 0 1 二等分 用复 57735 0 57735 0 1 1 ffdxxf 化高斯求积法求定积分的近似值 高斯公式 1 0 dxx 解解 dxxdxxdxx 1 2 1 2 1 0 1 0 对于作变量换 有dxx 2 1 0 tx 4 1 4 1 57735 0 157735 0 1 8 1 1 8 1 1 1 2 1 0 dttdxx 对于作变量换 有dxx 1 2 1 tx 4 1 4 3 57735 0 357735 0 3 8 1 3 8 1 1 1 1 2 1 dttdxx 6692 0 57735 0 357735 0 357735 0 157735 0 1 8 1 1 0 dxx 8 试确定常数 A B C 和 使得数值积分公式有a 0 2 2 aCfBfaAfdxxf 尽可能高的代数精度 试问所得的数值积分公式代数精度是多少 它是否为高斯型的 代数精度的应用和计算 高斯点的特征 解解 分别取 使上述数值积分公式准确成立 有 432 1 xxxxxf 5 64 0 3 16 0 4 44 33 22 aCaA aCaA aCaA aCaA CBA 整理得 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 17 5 64 3 16 4 4 2 CAa CAa CA CBA 解得 5 12 9 16 9 10 aBCA 数值求积公式为 5 12 9 10 0 9 16 5 12 9 10 2 2 fffdxxf 再取 左边 右边 5 xxf 2 2 5 0dxx0 5 12 9 10 0 9 16 5 12 9 10 55 再取 左边 右边 6 xxf 2 2 6 7 256 dxx 25 768 5 12 9 10 0 9 16 5 12 9 10 66 可见 该数值求积公式的最高代数精度为 5 由于该公式中的节点个数为 3 其代数精度达 到了次 故它是高斯型的 5132 9 设是 0 1 区间上带权的最高次幂项系数为 1 的正交多项式系 xPnxx 1 求 2 xP 2 构造如下的高斯型求积公式 高斯求积 1100 1 0 xfAxfAdxxxf 解 解 1 1 采用施密特正交化方法 来构造带权且在 0 1 上正交的多项式序列xx 取 设 且它与在 0 1 上带权正交 于是1 0 xP 001 xPxxP 0 xPxx 0 000010 PPPxPP 3 2 1 0 1 0 2 00 0 0 xdx dxx PP Px 故 3 2 3 2 01 xxPxxP 设 且它与 在 0 1 上带权正交 0011 2 2 xPxPxxP 0 xP 1 xPxx 于是 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 18 0 0000 2 20 PPPxPP 2 1 1 0 1 0 3 00 0 2 0 xdx dxx PP Px 0 1111 2 21 PPPxPP 5 6 3 2 3 2 1 0 2 1 0 3 11 1 2 1 dxxx dxxx PP Px 10 3 5 6 2 1 3 2 5 6 2 1 5 6 22 01 2 2 xxxxxPxPxxP 解 解 2 2 的零点为 10 3 5 6 2 2 xxxP 10 66 2 1 x 设 10 66 10 66 10 1 0 fAfAdxxxf 分别取 使上述求积公式准确成立 有xxf 1 即 3 1 10 66 10 66 2 1 10 10 AA AA 63 1 2 1 10 10 AA AA 解得 66 1 4 1 0 A 66 1 4 1 1 A 高斯型求积公式为 10 66 66 1 4 1 10 66 66 1 4 1 1 0 ffdxxxf 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 19 第五章第五章 非线性方程求根非线性方程求根 姓名 学号 班级 习题主要考察点 二分法 迭代法 牛顿法和弦截法求根 迭代法求根的收敛性和收敛速度的 讨论 1 用二分法求方程的正根 要求误差小于 0 05 二分法 01 2 xx 解解 在 0 2 连续 故 0 2 为1 2 xxxf01 0 f01 2 f xf 函数的有根区间 1 计算 故有根区间为 1 2 01 1 f 2 计算 故有根区间为 0 4 1 1 2 3 2 3 2 3 2 f 2 2 3 3 计算 故有根区间为 0 16 5 1 4 7 4 7 4 7 2 f 4 7 2 3 4 计算 故有根区间为 0 64 1 1 8 13 8 13 8 13 2 f 8 13 2 3 5 计算 故有根区间为 0 64 1 1 8 13 8 13 8 13 2 f 8 13 2 3 6 计算 故有根区间为 0 256 31 1 16 25 16 25 16 25 2 f 8 13 16 25 7 计算 故有根区间为 0 1024 55 1 32 51 32 51 32 51 2 f 8 13 32 51 8 若取中点作为取根的近似值 其误差小于 64 103 c032 0 32 1 32 51 8 13 取近似根 可满足精度要求 6094 1 64 103 x 2 说明方程 在区间 1 2 内有惟一根 并选用适当的迭代法求 精04ln 2 xx x x 确至 3 位有效数 并说明所用的迭代格式是收敛的 迭代法 解解 4ln 2 xxxf 2 1 x 故函数单调增加 因此 03 1 f02ln 2 f022 1 2 x xxf 该方程在 1 2 之间存在着惟一的实根 取迭代函数 xxln4 2 1 x 显然 且21ln4 2ln431 x 1 3 1 ln4 1 ln4 1 exx x 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 20 故迭代 对任意初始值收敛 kk xxln4 1 2 1 k 2 1 1 x 对于初值 其迭代值分别为5 1 1 x 8959 1 2 x8331 1 3 x8423 1 4 x8409 1 5 x 由于 故作为近似值 已精确到了 3 位有效数 31 54 10 2 1 0014 0 xx8409 1 5 x 字 3 设有解方程的迭代法 1 证明均有0cos2312 xx nn xxcos 3 2 4 1 Rx 0 为方程的根 2 此迭代法的收敛阶是多少 证明你的结论 3 取 limxxn n x 用此迭代法求方程根的近似值 误差不超过 列出各次迭代值 和收敛性讨4 0 x 3 10 论 解解 1 1 故该迭代对任xxcos 3 2 4 1 3 2 sin 3 2 xx x 意初值均收敛于方程的根 x 解解 2 由 故有 cos 3 2 4xx 3 2 3 14 3 2 4 3 2 4 3 10 x 故该迭代的收敛速度是 1 阶的 0sin 3 2 xx 解解 3 取 代入迭代式 可计算出以下结果 4 0 x 5642 3 1 x3920 3 2 x3541 3 3 x3483 3 4 x3475 3 5 x 由于 取可满足精度要求 3 45 100008 0 xx3475 3 x 4 设 试证明 由 得到的序 xx 1 max x 1 0 1 nxx nn 列收敛于 收敛性证明 n x x 证明证明 由知 方程有根 xx xx 0 1 1 2 1 xxxxxxxxxx n nnnn 由 当时 有 即序列收敛于 10 n0 1 xxn n x x 5 设方程在 0 1 内的根为 若采用迭代公式 试0sin233 xx x nn xxsin 3 2 1 1 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 21 证明 均有为方程的根 此迭代的收敛阶是多少 证明你的结论 Rx 0 limxxxn n 迭代法和收敛性讨论 解解 迭代函数xxsin 3 2 1 当 3 2 cos 3 2 xx x 故迭代在区间上整体收敛 设 则 且 limxxn n sin 3 2 1xx 2 3 3 14 3 2 4sin 3 2 1 3 2 4 3 10 xsx 故 0cos 3 2 xx 故该迭代的收敛速度为 1 阶的 6方程在附近有根 把方程写成 3 种不同的等价形式 01 23 xx 5 1 0 x 1 对应迭代格式 2 1 1 x x 2 1 1 1 n n x x 2 对应迭代格式 23 1xx 3 2 1 1 nn xx 3 对应迭代格式 1 1 2 x x 1 1 1 n n x x 讨论这些迭代格式在时的收敛性 若迭代收敛 试估计其收敛速度 选一种收敛5 1 0 x 格式计算出附近的根到 4 位有效数字 收敛速度的计算和比较 5 1 0 x 解解 1 23 xxxf 2 3 1 x 故方程在上有根 01 1 f0 8 1 2 3 f 2 3 1 x 故方程在上有根 0 64 39 4 5 f 2 3 4 5 x 故方程在上有根 0 512 149 8 11 f 2 3 8 11 x 对于迭代式 1 2 1 1 x x 3 2 x x 1 1331 1024 11 8 2 2 3 3 x x 而 故该迭代局部收敛 且收敛速度为 1 阶的 0 2 3 x x 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 22 对于迭代式 2 在上 2 1 x 3 12 1 xx 3 22 1 3 2 x x x 又 故该迭代在1 3 4 3 2 2 3 2 3 3 3 3 2 x x x x 0 1 3 2 3 2 2 x x x 上整体收敛 且收敛速度为一阶的 2 1 x 对于迭代式 3 在 1 2 上的值域为 该迭代式不收敛 1 1 x x 1 取迭代式 进行计算 其结果如下 3 2 1 1 nn xx 5 1 0 x 4812 1 1 x4727 1 2 x4688 1 3 x4670 1 4 x 4662 1 5 x4659 1 6 x4657 1 7 x4656 1 8 x 取为近似值具有 4 位有效数字 41 78 10 2 1 0001 0 xx4656 1 8 x 7 设 23 axxf 1 写出解 的牛顿迭代格式 0 xf 2 证明此迭代格式是线性收敛的 牛顿迭代的构造与收敛速度 解解 牛顿迭代式为 2 1 66 5 n nn x a xx 方程的根为 3 ax 2 66 5 x a xx 3 36 5 x a x 0 2 1 3 a 因 故迭代局部收敛 又因 故迭代收敛速度为 1 阶 1 2 1 3 a 0 2 1 3 a 8 设计一个计算的牛顿迭代法 且不用除法 其中 牛顿迭代法 a 1 0 a 解解 考虑方程 0 1 x axf 2 1 x xf 2 2 2 1 1 xax x xa xx 2 1 2 nnn xaxx 而 该迭代局部收敛 0 1 22 1 a a a 9 用牛顿法求的近似值 取或 11 为初始值 计算过程保留 4 位小数 牛顿11510 0 x 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 23 迭代的构造 解解 考虑方程 0115 2 xxfxxf2 115 2 1 2 115 2 x x x x xx 115 2 1 1 n nn x xx 取为初始值 计算其迭代值如下 10 0 x 7500 10 1 x7238 10 2 x7238 10 3 x 取为初始值 计算其迭代值如下 11 0 x 7272 10 1 x7238 10 2 x7238 10 3 x 10 设是非线性方程的 m 重根 试证明 迭代法 x0 xf 1 n n nn xf xf mxx 具有至少 2 阶的收敛速度 收敛速度证明 解解 设是非线性方程的 m 重根 则 x0 xf 且及 其牛顿迭代函数为 xgxxxf m 0 xg2 m 1 xgxxxmg xgxxm x xgxxxgxxm xgxx mx xf xf mxx mm m 牛顿迭代式 1 nnn nn nn xgxxxmg xgxxm xx 11 nnn nn nnnn xgxxxmg xgxxm xxxxxxe 2 2 n nnn n nnn nn e xgxxxmg xg xgxxxmg xgxx limlim 2 1 xmg xg xgxxxmg xg e e nnn n n n n n 故该迭代的收敛速度至少是 2 阶的 11 设是非线性方程的 m 重根 证明 用牛顿迭代法求只是线性收敛 收 x0 xf x 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 24 敛速度证明 解解 设是非线性方程的 m 重根 则 x0 xf 且及 其牛顿迭代函数为 xgxxxf m 0 xg2 m 1 xgxxxmg xgxx x xgxxxgxxm xgxx x xf xf xx mm m 牛顿迭代式 1 nnn nn nn xgxxxmg xgxx xx n nnn n nnn e xgxxxmg xg xxxxe 1 11 0 1 1 1 1 limlim 1 mxmg xg xgxxxmg xg e e nnn n n n n n 故收敛速度为 1 阶的 12 设 在附近有直到阶的连续导数 且 aa x ap0 1 aa p 试证 迭代法在附近是阶收敛的 收敛速度证明 0 a p 1nn xx ap 解解 将在点附近作泰勒展式 有 x a p p p p ax p ax p a ax a ax a ax 1 2 1 1 1 2 其中 在与之间 p p ax p a xa 于是 其中 在与之间 p n n p p n n p nnn e p ax p axaxe 1 11 n n xa 由于 故 从而axn n lima n n lim limlim 1 p a pe e pp n p n n n 因此 迭代的收敛速度为 p 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 25 第六章第六章 常微分方程数值解常微分方程数值解 姓名 学号 班级 习题主要考察点 欧拉方法的构造 单步法的收敛性和稳定性的讨论 线性多步法中亚当姆 斯方法的构造和讨论 1 用改进的欧拉公式 求以下微分方程 1 0 1 0 2 x y y x yy 的数值解 取步长 并与精确解作比较 改进的尤拉公式的应用 2 0 h 解解 原方程可转化为 令 有xyyy2 2 2 2 y z xz dx dz 22 解此一阶线性微分方程 可得 12 xy 利用以下公式 4 3 2 1 0 2 1 2 2 0 2 2 0 1 i yyy y x yyy y x yyy cpi p i pic i i iip 求在节点处的数值解 其中 初值为 5 4 3 2 1 2 0 iixi i y1 0 00 yx MATLAB 程序如下 x 1 0 初值节点 y 1 1 初值 fprintf x d f y d f yy d f n 1 x 1 1 y 1 1 y 1 for i 1 5 yp y i 0 2 y i 2 x i y i 预报值 yc y i 0 2 yp 2 x i yp 校正值 y i 1 yp yc 2 改进值 x i 1 x i 0 2 节点值 yy i 1 sqrt 2 x i 1 1 精确解 fprintf x d f y d f yy d f n i 1 x i 1 i 1 y i 1 i 1 y y i 1 end 程序运行的结果如下 x 1 0 000000 y 1 1 000000 yy 1 1 000000 x 2 0 200000 y 2 1 220000 yy 2 1 183216 x 3 0 400000 y 3 1 420452 yy 3 1 341641 x 4 0 600000 y 4 1 615113 yy 4 1 483240 x 5 0 800000 y 5 1 814224 yy 5 1 612452 x 6 1 000000 y 6 2 027550 yy 6 1 732051 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 26 2 用四阶龙格 库塔法求解初值问题 取 求时的数值解 0 0 1 y yy 2 0 h4 0 2 0 x 要求写出由直接计算的迭代公式 计算过程保留 3 位小数 龙格 库塔方 nn yxh 1 n y 法的应用 解解 四阶龙格 库塔经典公式为 11234 22 6 nn h yykkkk 1 nn kf xy 21 11 22 nn kf xh yhk 32 11 22 nn kf xh yhk 43 nn kf xh yhk 由于 在各点的斜率预报值分别为 yyxf 1 n yk 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 12 h yy h yk h yk nnnn 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 23 hh y h y h yk h yk nnnn 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 34 hh hy hh yhyhkyk nnnn 四阶经典公式可改写成以下直接的形式 4 36 1 6 3 2 1 h hhy h yy nnn 在处 有2 0 1 xx 1813 0 4 2 0 2 0 2 036 01 6 2 0 0 3 2 1 y 在处 有4 0 2 xx 3297 0 4 2 0 2 0 2 036 1813 0 1 6 2 0 1813 0 3 2 2 y 注 这两个近似值与精确解在这两点的精确值十分接近 x ey 1 3 用梯形方法解初值问题 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 27 1 0 0 y yy 证明其近似解为 n n h h y 2 2 并证明当时 它收敛于原初值问题的准确解 0 h x ey 解解 显然 是原初值问题的准确解 x ey 求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为 2 111 nnnnnn yxfyxf h yy 对于该初值问题 其梯形公式的具体形式为 2 11 nnnn yy h yy nn y h y h 2 1 2 1 1 nn y h h y 2 2 1 于是 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 nn nnn h h y h h y h h y h h y 亦即 n n h h y 2 2 注意到 令 有nhnhxn 0 h x n n h h t 2 2 2 111 th 22 1 1 1 2 2 1 nnnn n x t xx t x h x n ttt h h y 从而 n nn x x t t x t n h etty 2 000 1 lim 1 limlim 即 当时 收敛于原初值问题的准确解 0 h n y n x n exy 4 对于初值问题 证明当时 欧拉公式绝对稳定 显式和隐式欧拉 1 0 10 y yy 2 0 h 公式的稳定性讨论 证明 显式的欧拉公式为 nnnnn yhyxhfyy 101 1 从而 由于 nn ehe 101 1 2 00 h11011 h nn ee 1 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 28 因此 显式欧拉公式绝对稳定 隐式的欧拉公式为 1111 10 nnnnnn hyyyxhfyy h y y n n 101 1 h e e n n 101 1 由于 h 01 101 1 0 h nn ee 1 因此 隐式的欧拉公式也是绝对稳定的 5 证明 梯形公式无条件稳定 梯形公式的稳 2 111 nnnnnn yxfyxf h yy 定性讨论 解解 对于微分方程初值问题 0 1 0 y yy 其隐式的梯形公式的具体形式可表示为 2 11 nnnn yy h yy nn y h y h 2 1 2 1 1 nn y h h y 2 2 1 从而 nn e h h e 2 2 1 由 可知 故隐式的梯形公式无条件稳定 0 h0 nnn ee h h e 2 2 1 6 设有常微分方程的初值问题 试用泰勒展开法 构造线性两步法数值计算 00 yxy yxfy 公式 使其具有二阶精度 并推导其局部截断误 11011 nnnnn ffhyyy 差主项 局部截断误差和主项的计算 解解 假设 利用泰勒展式 有 nn xyy 11 nn xyy 32 11 6 2 h xy h xy hxyxyxyy nn nnnn nnnnnn xyxyxfyxff 2 111111 2 h xy hxyxyxyxyxfyxff n nnnnnnnn 312 1101 26 2 2hxyhxyhxyxyy nnnnn 2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编 29 又 32 1 6 1 2 1 hxyhxyhxyxyxy nnnnn 欲使其具有尽可能高的局部截断误差 必须 12 1 10 2 1 2 1 从而 2 1 4 7 0 4 1 1 于是数值计算公式为 4 1 4 7 2 1 111 nnnnn ffhyyy 该数值计算公式的局部截断误差的主项为 331 11 24 5 266 1 hxyhxyyxy nnnn 7 已知初值问题 01 0 1 0 0 0 2 y y xy 取步长 利用阿当姆斯公式 求此微分方程在 0 10 1 0 h 3 2 11 nnnn ff h yy 上的数值解 求此公式的局部截断误差的首项 阿当姆斯公式的应用 解解 假设 利用泰勒展开 有 nn xyy 11 nn xyy nn xyy nn xyf 2 11 2 h xy hxyxyxyf n nnnn 32 1 4 2 1 h xy hxyhxyxyy n nnnn 而 32 1 6 1 2 1 hxyhxyhxyxyxy nnnnn 33 11 12 5 4 1 6 1 hxyhxyyxy nnnn 该阿当姆斯两步公式具有 2 阶精度 其局部截断误差的主项为 3 12 5 hxy n 取步长