二次根式化简和运算

二次根式化简和运算二次根式化简和运算 本周内容本周内容 二次根式的化简和运算二次根式的化简和运算 本周重点 难点 二次根式的化简和运算 本周重点 难点 二次根式的化简和运算 本周重点 难点分析 本周重点 难点分析 1 1 最简二次根式最简二次根式 1 最简二次根式的概念最简二次根式的概念 我们已经知道 根据二次根式的性质可以把二次根式化简 就是把一个二次根式化成 最简单的形式 那么 什么是最简二次根式呢 满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式 1 被开方数的因数是整数 因式是整式 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 对应上面两个条件 最简二次根式可以这样理解 1 被开方数不含分母 2 被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方 1 下列式子哪些是最简二次根式 哪些不是 为什么 分析 分析 根据最简二次根式的条件来判断 不满足其一个条件的 都不是最简二次根 式 解 解 因数 被开方数含有能开得尽方的因数 的被开方数不是整 数 被开方数含有能开得尽方的因式 被开方数 不是整数 2 将二次根式化为最简二次根式的方法步骤 将二次根式化为最简二次根式的方法步骤 把一个二次根式化成最简二次根式 有以下两种情况 1 如果被开方数是分式或分数 包括小数 先利用商的算术平方根的性质把它写成分 式的形式 然后再分母有理化化简 2 如果被开方数是整式或整数 先将它分解因式或分解质因数 然后把开得尽方的因 式或因数开出来 从而将式子化简 化二次根式为最简二次根式的步骤 1 把被开方数 式 分解质因数 式 化为积的形式 2 把根号内能开得尽方的因数 或 式 移到根号外 3 化去根号内的分母 若被开方数的因数中有带分数要化成假分数 小数 化成分数 2 把下列各式化成最简二次根式 分析 分析 根据化简二次根式的方法步骤 进行化简 解法 解法 3 分母有理化时有理化因式的选择 分母有理化时有理化因式的选择 对于分母中含有根号的二次根式 把分母中的根号化去 叫做分母有理化 根据分式的基本性质 把一个分式的分子 分母同乘以一个不等于零的整式 分式的 值不变 因此化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数 或代数式 用这个数 或代数 式 去乘分式的分子和分母 可以使分母不含根号 如 一般地 两个含有二次根式的代数式相乘时 如果它们的积不含二次根式 我们就说 这两个代数式互为有理化因式 例如 常用有互为有理化因式有以下几种 注 注 分母有理化的因式不是惟一的 3 把下列各式分母有理化 分析 分析 第 1 题分母是 先化简 再分母有理化 第 2 题分母的有理化 因式仍是 第 3 题分母的有理化因式是 第 4 题分子 x y 可以 分解成后 直接与分母约分 从而化去分母 第 5 题若直接分母有 理化比较麻烦 根据本题特点 分子 分母分别分解因式 然后约分 解 解 点评 点评 分母有理化是化简二次根式的一种重要方法 分母有理化时 应结合题目的具 体特点 选择适当的方法 如上面第 1 题若使分母 分子都乘以 虽然可以达到分母 有理化的目的 但计算比较繁 所以 当分子 分母中二次根式可以化简时应选将其化 简 再如第 4 5 两题分子或分母可以分解因式 并且分解后的因式能够约分的 最好不 要直接分母有理化 注 注 形如的式子 分母有理化时 不宜采用分子 分母都乘以 因为有可能等于零 此题也可以这样解 2 2 二次根式的加减乘除混合运算二次根式的加减乘除混合运算 1 二次根式的加减运算 二次根式的加减运算 二次根式的加减 首先要化简二次根式 化简之后 就类似整式的加减运算了 整式 的加减实质就是去括号和合并同类项 二次根式的加减也是如此 合并同类二次根式与合 并同类项类似 如 4 计算 分析 分析 先化简二次根式 再合并同类二次根式 2 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是本章学习的落脚点 是前面学过的二次根乘法 除法及加减法 的综合运用 学习二次根式的混合运算应注意以下几点 1 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有 括号先算括号里 面的 2 对于二次根式混合运算 原来学过的所有运算律 运算法则及乘法公式仍然适用 3 在二次根式混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根式的性质 选择恰当 的解题途径 往 往能事半功倍 5 计算 分析 分析 这里可以把二次根式看成是一个 单项式 或者 多项式 利用整式乘法或除 法法则进行运算