王向东数学实验课后习题解答(第二篇2.1-2.10)

数学实验课后习题解答 配套教材 王向东 戎海武 文翰 编著数学实验 王汝军编写 实验一 曲线绘图 练习与思考练习与思考 画出下列常见曲线的图形 以直角坐标方程表示的曲线 1 立方曲线 3 xy clear x 2 0 1 2 y x 3 plot x y 2 1 5 1 0 500 511 52 8 6 4 2 0 2 4 6 8 2 立方抛物线 3 xy clear y 2 0 1 2 x y 3 plot x y grid on 8 6 4 202468 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 3 高斯曲线 2 x ey clear x 3 0 1 3 y exp x 2 plot x y grid on axis equal 3 2 10123 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 以参数方程表示的曲线 4 奈尔抛物线 3 2 23 xytytx clear t 3 0 05 3 x t 3 y t 2 plot x y axis equal grid on 25 20 15 10 50510152025 15 10 5 0 5 10 15 20 25 5 半立方抛物线 2323 xtytyx clear t 3 0 05 3 x t 2 y t 3 plot x y axis equal grid on 0123456789 30 20 10 0 10 20 30 6 迪卡尔曲线 2 33 22 33 30 11 atat xyxyaxy tt clear a 3 t 6 0 1 6 x 3 a t 1 t 2 y 3 a t 2 1 t 2 plot x y 5 4 3 2 1012345 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 蔓叶线 233 2 22 11 atatx xyy ttax clear a 3 t 6 0 1 6 x 3 a t 2 1 t 2 y 3 a t 3 1 t 2 plot x y 0123456789 60 40 20 0 20 40 60 8 摆线 cos1 sin tbyttax clear clc a 1 b 1 t 0 pi 50 6 pi x a t sin t y b 1 cos t plot x y axis equal grid on 024681012141618 6 4 2 0 2 4 6 8 9 内摆线 星形线 sin cos 3 2 3 2 3 2 33 ayxtaytax clear a 1 t 0 pi 50 2 pi x a cos t 3 y a sin t 3 plot x y 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 10 圆的渐伸线 渐开线 cos sin sin costttaytttax clear a 1 t 0 pi 50 6 pi x a cos t t sin t y a sin t t cos t plot x y grid on 20 15 10 5051015 20 15 10 5 0 5 10 15 20 11 空间螺线ctztbytax sin cos clear a 3 b 2 c 1 t 0 pi 50 6 pi x a cos t y b sin t z c t plot3 x y z grid on 4 2 0 2 4 2 1 0 1 2 0 5 10 15 20 以极坐标方程表示的曲线 12 阿基米德线0 rar clear a 1 phy 0 pi 50 6 pi rho a phy polar phy rho r 5 10 15 20 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 13 对数螺线 a er clear a 0 1 phy 0 pi 50 6 pi rho exp a phy polar phy rho 2 4 6 8 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 14 双纽线 2cos 22222222 yxayxar clear a 1 phy pi 4 pi 50 pi 4 rho a sqrt cos 2 phy polar phy rho hold on polar phy rho 0 2 0 4 0 6 0 8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 15 双纽线 2 2sin 222222 xyayxar clear a 1 phy 0 pi 50 pi 2 rho a sqrt sin 2 phy polar phy rho hold on polar phy rho 0 2 0 4 0 6 0 8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 16 四叶玫瑰线0 2sin rar clear close a 1 phy 0 pi 50 2 pi rho a sin 2 phy polar phy rho 0 2 0 4 0 6 0 8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 17 三叶玫瑰线0 3sin rar clear close a 1 phy 0 pi 50 2 pi rho a sin 3 phy polar phy rho 0 2 0 4 0 6 0 8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 18 三叶玫瑰线0 3cos rar clear close a 1 phy 0 pi 50 2 pi rho a cos 3 phy polar phy rho 0 2 0 4 0 6 0 8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 1800 实验二 极限与导数 练习与思考练习与思考 1 求下列各极限 1 2 3 n n n 1 1 lim nn n n3lim 3 122 limnnn n clear syms n y1 limit 1 1 n n n inf y2 limit n 3 3 n 1 n n inf y3 limit sqrt n 2 2 sqrt n 1 sqrt n n inf y1 1 exp 1 y2 3 y3 0 4 5 6 1 1 1 2 lim 2 1 xx x xx x 2cotlim 0 3 lim 2 xxx x clear syms x y4 limit 2 x 2 1 1 x 1 x 1 y5 limit x cot 2 x x 0 y6 limit sqrt x 2 3 x x x inf y4 1 2 y5 1 2 y6 3 2 7 8 9 x x x m coslim 1 11 lim 1 x x exx x x 11 lim 3 0 clear syms x m y7 limit cos m x x inf y8 limit 1 x 1 exp x 1 x 1 y9 limit 1 x 1 3 1 x x 0 y7 1 y8 exp 1 2 exp 1 1 y9 1 3 2 考虑函数 22 sin 3 32 xxxxf 作出图形 并说出大致单调区间 使用 diff 求 并求确切的单调区间 xf xf clear close syms x f 3 x 2 sin x 3 ezplot f 2 2 grid on 大致的单调增区间 2 1 7 1 3 1 2 1 7 2 大致的单点减区间 1 7 1 3 1 2 1 7 2 1 5 1 0 500 511 52 10 5 0 5 10 x 3 x2 sin x3 f1 diff f x 1 ezplot f1 2 2 line 5 5 0 0 grid on axis 2 1 2 1 60 120 f1 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 2 1 5 1 0 500 511 52 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 x 6 x sin x3 9 x4 cos x3 用 fzero 函数找的零点 即原函数的驻点 xf xf x1 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 2 1 7 x2 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 1 7 1 5 x3 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 1 5 1 1 x4 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 0 x5 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 1 1 5 x6 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 1 5 1 7 x7 fzero 6 x sin x 3 9 x 4 cos x 3 1 7 2 x1 1 9948 x2 1 6926 x3 1 2401 x4 0 x5 1 2401 x6 1 6926 x7 1 9948 确切的单调增区间 1 9948 1 6926 1 2401 1 2401 1 6926 1 9948 确切的单调减区间 2 1 9948 1 6926 1 2401 1 2401 1 6926 1 9948 2 3 对于下列函数完成下列工作 并写出总结报告 评论极值与导数的关系 i 作出图形 观测所有的局部极大 局部极小和全局最大 全局最小值点的粗略位置 iI 求所有零点 即的驻点 xf xf iii 求出驻点处的二阶导数值 xf iv 用 fmin 求各极值点的确切位置 v 局部极值点与有何关系 xfxf 1 2 2 2sin 22 xxxxxf 2 3 3 10203 35 xxxxf 3 3 0 2 23 xxxxxf clear close syms x f x 2 sin x 2 x 2 ezplot f 2 2 grid on f x 2 sin x 2 x 2 2 1 5 1 0 500 511 52 3 2 1 0 1 2 x x2 sin x2 x 2 局部极大值点为 1 6 局部极小值点为为 0 75 1 6 全局最大值点为为 1 6 全局最小值点为 3 f1 diff f x 1 ezplot f1 2 2 line 5 5 0 0 grid on axis 2 1 2 1 6 20 f1 2 x sin x 2 x 2 x 2 cos x 2 x 2 2 x 1 2 1 5 1 0 500 511 52 5 0 5 10 15 20 x 2 x sin x2 x 2 x2 cos x2 x 2 2 x 1 用 fzero 函数找的零点 即原函数的驻点 xf xf x1 fzero 2 x sin x 2 x 2 x 2 cos x 2 x 2 2 x 1 2 1 2 x2 fzero 2 x sin x 2 x 2 x 2 cos x 2 x 2 2 x 1 1 2 0 5 x3 fzero 2 x sin x 2 x 2 x 2 cos x 2 x 2 2 x 1 0 5 1 2 x4 fzero 2 x sin x 2 x 2 x 2 cos x 2 x 2 2 x 1 1 2 2 x1 1 5326 x2 0 7315 x3 3 2754e 027 x4 1 5951 ff x x 2 sin x 2 x 2 ff 2 ff x1 ff x2 ff x3 ff x4 ff 2 ff x x 2 sin x 2 x 2 ans 3 0272 ans 2 2364 ans 0 3582 ans 9 7549e 054 ans 2 2080 ans 0 实验三 级数 练习与思考练习与思考 1 用 taylor 命令观测函数的 Maclaurin 展开式的前几项 然后在同一坐标系里作出函数 xfy 和它的 Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数的图形 观测这些多项式函数的图形向 xfy 的图形的逼近的情况 xfy 1 xxfarcsin clear syms x y asin x y1 taylor y 0 1 y2 taylor y 0 5 y3 taylor y 0 10 y4 taylor y 0 15 x 1 0 1 1 y subs y x y1 subs y1 x y2 subs y2 x y3 subs y3 x y4 subs y4 x plot x y x y1 x y2 x y3 x y4 linewidth 3 y1 0 y2 x 3 6 x y3 35 x 9 1152 5 x 7 112 3 x 5 40 x 3 6 x y4 231 x 13 13312 63 x 11 2816 35 x 9 1152 5 x 7 112 3 x 5 40 x 3 6 x 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 xxfarctan clear syms x y atan x y1 taylor y 0 3 y2 taylor y 0 5 y3 taylor y 0 10 y4 taylor y 0 15 x 1 0 1 1 y subs y x y1 subs y1 x y2 subs y2 x y3 subs y3 x y4 subs y4 x plot x y x y1 x y2 x y3 x y4 linewidth 3 y1 x y2 x x 3 3 y3 x 9 9 x 7 7 x 5 5 x 3 3 x y4 x 13 13 x 11 11 x 9 9 x 7 7 x 5 5 x 3 3 x 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 3 2 x exf clear syms x y exp x 2 y1 taylor y 0 3 y2 taylor y 0 5 y3 taylor y 0 10 y4 taylor y 0 15 x 1 0 1 1 y subs y x y1 subs y1 x y2 subs y2 x y3 subs y3 x y4 subs y4 x plot x y x y1 x y2 x y3 x y4 linewidth 3 y1 x 2 1 y2 x 4 2 x 2 1 y3 x 8 24 x 6 6 x 4 2 x 2 1 y4 x 14 5040 x 12 720 x 10 120 x 8 24 x 6 6 x 4 2 x 2 1 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 4 xxf 2 sin clear syms x y sin x 2 y1 taylor y 0 1 y2 taylor y 0 5 y3 taylor y 0 10 y4 taylor y 0 15 x pi 0 1 pi y subs y x y1 subs y1 x y2 subs y2 x y3 subs y3 x y4 subs y4 x plot x y x y1 x y2 x y3 x y4 linewidth 3 y1 0 y2 x 2 x 4 3 y3 x 8 315 2 x 6 45 x 4 3 x 2 y4 4 x 14 42567525 2 x 12 467775 2 x 10 14175 x 8 315 2 x 6 45 x 4 3 x 2 4 3 2 101234 25 20 15 10 5 0 5 5 x e xf x 1 clear syms x y exp x 1 x y1 taylor y 0 3 y2 taylor y 0 5 y3 taylor y 0 10 y4 taylor y 0 15 x 1 0 1 0 y subs y x y1 subs y1 x y2 subs y2 x y3 subs y3 x y4 subs y4 x plot x y x y1 x y2 x y3 x y4 linewidth 3 y1 5 x 2 2 2 x 1 y2 65 x 4 24 8 x 3 3 5 x 2 2 2 x 1 y3 98641 x 9 36288 109601 x 8 40320 685 x 7 252 1957 x 6 720 163 x 5 60 65 x 4 24 8 x 3 3 5 x 2 2 2 x 1 y4 47395032961 x 148463398743 x 13 3113510400 260412269 x 12 95800320 13563139 x 11 4989600 9864101 x 10 3628800 98641 x 9 36288 109601 x 8 40320 685 x 7 252 1957 x 6 720 163 x 5 60 65 x 4 24 8 x 3 3 5 x 2 2 2 x 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 10 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 6 1ln 2 xxxf clear syms x y log x sqrt 1 x 2 y1 taylor y 0 3 y2 taylor y 0 5 y3 taylor y 0 10 y4 taylor y 0 15 x 1 0 1 1 y subs y x y1 subs y1 x y2 subs y2 x y3 subs y3 x y4 subs y4 x plot x y x y1 x y2 x y3 x y4 linewidth 3 y1 x y2 x x 3 6 y3 35 x 9 1152 5 x 7 112 3 x 5 40 x 3 6 x y4 231 x 13 13312 63 x 11 2816 35 x 9 1152 5 x 7 112 3 x 5 40 x 3 6 x 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 2 求公式中的数的值 2 1 1 2 1 2 k mn k k n k 8 7 6 5 4 kmk k 4 5 6 7 8 syms n symsum 1 n 2 k 1 inf ans pi 8 9450 pi 10 93555 691 pi 12 638512875 2 pi 14 18243225 3617 pi 16 325641566250 3 利用公式来计算的近似值 精确到小数点后 100 位 这时应计算到这个无穷级数的前多少e n n 0 1 e 项 请说明你的理由 解 Matlab 代码为 clear clc close epsl 1 0e 100 ep 1 fn 1 a 1 n 1 while ep epsl a a fn n n 1 fn fn n ep fn end fn vpa a 100 n fn 8 3482e 101 ans 2 71828182845904553488480814849026501178741455078125 n 70 精确到小数点后 100 位 这时应计算到这个无穷级数的前 71 项 理由是误差小于 10 的负 100 次方 需要最 后一项小于 10 的负 100 次方 由上述循环知 n 70 时最后一项小于 10 的负 100 次方 故应计算到这个无穷级 数的前 71 项 4 用练习 3 中所用观测法判断下列级数的敛散性 1 1 32 1 n nn clear clc epsl 0 000001 N 50000 p 1000 syms n Un 1 n 2 n 3 s1 symsum Un 1 N s2 symsum Un 1 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 1 n 3 n 2 收敛 clear close syms n s for k 1 100 s k symsum 1 n 3 n 2 1 k end plot s 0102030405060708090100 0 5 0 52 0 54 0 56 0 58 0 6 0 62 0 64 0 66 2 1 2 1 n n n clear clc epsl 0 000001 N 50000 p 1000 syms n Un 1 n 2 n s1 symsum Un 1 N s2 symsum Un 1 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 1 2 n n 收敛 clear close syms n s for k 1 100 s k symsum 1 2 n n 1 k end plot s 0102030405060708090100 0 5 0 52 0 54 0 56 0 58 0 6 0 62 0 64 0 66 0 68 0 7 3 1 1 sin n n clear clc epsl 0 00000000000001 N 50000 p 100 syms n Un 1 sin n s1 symsum Un 1 N s2 symsum Un 1 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if abs sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 1 sin n 发散 clear close syms n s for k 1 100 s k symsum 1 sin n 1 k end plot s 0102030405060708090100 120 100 80 60 40 20 0 20 发散 4 3 1 ln n n n clear clc epsl 0 0000001 N 50000 p 1000 syms n Un log n n 3 s1 symsum Un 1 N s2 symsum Un 1 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 log n n 3 收敛 clear close syms n s for k 1 100 s k symsum log n n 3 1 k end plot s 0102030405060708090100 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 0 14 0 16 0 18 0 2 5 1 n n n n clear close syms n s he 0 for k 1 100 he he factorial k k k s k he end plot s 0102030405060708090100 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 6 3 ln 1 n n n clear clc epsl 0 0000001 N 50000 p 1000 syms n Un 1 log n n s1 symsum Un 3 N s2 symsum Un 3 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 1 log n n 收敛 clear close syms n s for k 3 100 s k symsum 1 log n n 3 k end plot s 0102030405060708090100 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 7 1 ln 1 n nn clear clc epsl 0 0000001 N 50000 p 100 syms n Un 1 log n n s1 symsum Un 3 N s2 symsum Un 3 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 1 n log n 发散 clear close syms n s for k 3 300 s k symsum 1 n log n 2 k end plot s 050100150200250300 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 8 1 2 1 1 n n n n clear clc epsl 0 0000001 N 50000 p 100 syms n Un 1 n n n 2 1 s1 symsum Un 3 N s2 symsum Un 3 N p sa vpa s2 s1 sa setstr sa sa str2num sa fprintf 级数级数 disp Un if sa epsl disp 收敛收敛 else disp 发散发散 end 级数 1 n n n 2 1 收敛 clear close syms n s for k 3 300 s k symsum 1 n n n 2 1 2 k end plot s 050100150200250300 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 实验四 积分 练习与思考练习与思考 1 不定积分 用 int 计算下列不定积分 并用 diff 验证 dxxx 2 sin x dx cos1 1 x e dx xdxarcsin xdx 3 sec 解 Matlab 代码为 syms x y1 x sin x 2 y2 1 1 cos x y3 1 exp x 1 y4 asin x y5 sec x 3 f1 int y1 f2 int y2 f3 int y3 f4 int y4 f5 int y5 dy simplify diff f1 f2 f3 f4 f5 dy x sin x 2 tan x 2 2 2 1 2 1 exp x 1 asin x cot pi 4 x 2 tan pi 4 x 2 2 2 1 2 2 1 2 cos x tan x 2 cos x f1 cos x 2 2 f2 tan x 2 f3 x log exp x 1 f4 x asin x 1 x 2 1 2 f5 log tan pi 4 x 2 2 tan x 2 cos x 2 定积分 用 trapz quad int 计算下列定积分 1 0 sin dx x x 1 0 dxx x 2 0 2sin dxxe x 1 0 2 dxe x 解 Matlab 代码为 clear x 0 eps 0 05 1 y1 sin x x f1 trapz x y1 f1 0 9460 fun1 x sin x x f12 quad fun1 0 eps 1 f12 0 9461 f13 vpa int sin x x 0 1 5 f13 0 94608 3 椭圆的周长 用定积分的方法计算椭圆的周长1 49 22 yx 解 椭圆的参数方程为 ty tx sin2 cos3 由参数曲线的弧长公式得 22 2222 00 9sin4cossx ty tdtttdt 2 2 0 5sin4tdt Matlab 代码为 s vpa int sqrt 5 sin t 2 4 t 0 2 pi 5 s 15 865 4 二重积分 计算数值积分 yyx dxdyyx 2 22 1 解 fxy x y 1 x y ylow x 1 sqrt 1 x 2 yup x 1 sqrt 1 x 2 s quad2d fxy 1 1 ylow yup s 6 2832 或符号积分法 syms x y xi int 1 x y y 1 sqrt 1 x 2 1 sqrt 1 x 2 s int xi x 1 1 s 2 pi 5 假奇异积分 用 trapz quad8 计算积分 会出现什么问题 分析原因 并求出正确的 1 1 3 1 cos xdxx 解 解 Matlab 代码为 clear x 1 0 05 1 y x 1 3 cos x s1 trapz x y fun5 x x 1 3 cos x s2 quad fun5 1 1 int x 1 3 cos x x 1 1 s1 0 9036 0 5217i s2 0 9114 0 5262i Warning Explicit integral could not be found ans int x 1 3 cos x x 1 1 原函数不存在 不能用 int 函数运算 用梯形法和辛普森法计算数值积分时 由于对负数的开三次方运算结果为复数 所以导致结果错误且为 复数 显然被积函数为奇函数 在对称区间上的积分等于 0 此时可以这样处理 1 重新定义被积函数 fun5 m function y fun5 x m n size x for k 1 m for l 1 n y k l nthroot x k l 3 cos x k l end end end 用辛普森法 s quad fun5 1 1 s 0 用梯形法 clear x 1 0 01 1 y fun5 x s trapz x y s 1 3878e 017 6 假收敛现象 考虑积分 k dxxkI 0 sin 1 用解析法求 kI clear syms x k Ik int abs sin x 0 k pi Warning Explicit integral could not be found Ik int abs sin x x 0 pi k 2 分别用 trapz quad 和 quad8 求和 发现什么问题 6 4 II 8 I clear for k 4 2 8 x 0 pi 1000 k pi y abs sin x trapz x y end ans 8 0000 ans 12 0000 ans 16 0000 for k 4 2 8 fun6 x abs sin x quad fun6 0 k pi end ans 8 0000 ans 12 0000 ans 16 0000 7 Simpson 积分法 编制一个定步长 Simpson 法数值积分程序 计算公式为 42424 3 114321 nnnn fffffff h SI 其中为偶数 n 1 2 1 1 nihiaff n ab h i 解 Matlab 代码为 fun7 m function y fun7 f name a b n f name 为被积函数 a b 为积分区间 n 为偶数 用来确定步长 h b a n if mod n 2 0 disp n 必须为偶数 return end if nargin 4 n 100 end if nargin In fmincon at 445 Local minimum possible Constraints satisfied fmincon stopped because the predicted change in the objective function is less than the default value of the function tolerance and constraints were satisfied to within the default value of the constraint tolerance No active inequalities x 161 9676 182 0320 fval 715 4403 100150200250300350400 100 150 200 250 300 350 400 400 450 500 550 600 650 700 heigh 和 height 两个函数分别定义如下 应写在 m 文件中 heigh m function f heigh beta xdata xx1 xdata 1 xx2 xdata 2 f beta 1 beta 2 xx1 beta 3 xx2 beta 4 xx1 2 beta 5 xx2 2 end height m function y height x y 538 4375 1 4901 x 1 0 6189 x 2 0 0046 x 1 2 0 0017 x 2 2 end 实验六实验六 多元函数的极值多元函数的极值 练习与思考练习与思考 1 求的极值 并对图形进行观测 14 44 xyyxz 解 Maltab 代码为 syms x y z x 4 y 4 4 x y 1 dzx diff z x dzy diff z y s solve dzx dzy x y x s x y s y x 0 1 1 1 3 4 1 3 4 i i 1 3 4 i 1 3 4 i y 0 1 1 1 1 4 1 1 4 i i 1 1 4 i 1 1 4 i 经计算可知 函数的驻点为 0 0 1 1 1 1 ezmeshc z 2 2 2 2 从图形上观测可知 1 1 1 1 为极值点 0 0 不是极值点 clear syms x y z x 4 y 4 4 x y 1 dzx diff z x A diff z x 2 B diff dzx y C diff z y 2 A 12 x 2 B 4 C 12 y 2 由判别法可知 1 1 1 1 均为极小值点 2 求函数在圆周的最大值和最小值 22 2 yxyxf 1 22 yx 解 构造 Lagrange 函数 1 2 2222 yxyxyxL 求 Lagrange 函数的自由极值 先求关于的一阶偏导数 再解正规方程可得所求的极值点 Matlab 代L yx 码为 clear syms x y k L x 2 2 y 2 k x 2 y 2 1 dlx diff L x dly diff L y dlk diff L k s solve dlx dly dlk x y k k s k x s x y s y k 1 2 1 2 x 1 0 1 0 y 0 1 0 1 t 0 pi 50 2 pi x cos t y sin t z x 2 2 y 2 plot3 x y z 1 0 5 0 0 5 1 1 0 5 0 0 5 1 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 可得点 1 0 0 1 1 0 0 1 为函数的条件极值点 经判断函数在 22 2 yxyxf 1 0 1 0 取得极小值 在 0 1 0 1 取得极大值 3 在球面求出与点 3 1 1 距离最近和最远点 1 222 zyx 解 设球面上的点为 x y z 则此点与点 3 1 1 的距离为 且 x y z 满足 构造 Lagrange 函 222 1 1 3 zyxzyxd1 222 zyx 数 1 1 1 3 222222 zyxzyxzyxL 求 Lagrange 函数的自由极值 先求关于的一阶偏导数 再解正规方程可得所求的极值点 MatlabL zyx 代码为 clear clear syms x y z k L x 3 2 y 1 2 z 1 2 k x 2 y 2 z 2 1 dlx diff L x dly diff L y dlz diff L z dlk diff L k s solve dlx dly dlz dlk x y z k x s x y s y z s z k s k x 3 11 1 2 11 3 11 1 2 11 y 11 1 2 11 11 1 2 11 z 11 1 2 11 11 1 2 11 k 11 1 2 1 11 1 2 1 vpa eval L 5 ans 5 3668 18 633 得到条件极值点为 经判断 球面 3 111111 111111 3 111111 111111 上与点 3 1 1 距离最近的点为 最远的点1 222 zyx 3 111111 111111 3 111111 111111 4 求函数在平面与柱面的交线上的最大值 zyxzyxf32 1 zyx1 22 yx 解 构造 Lagrange 函数 1 1 32 22 21 yxzyxzyxzyxL 求 Lagrange 函数的自由极值 先求关于的一阶偏导数 再解正规方程可得所求的极值点 L 21 zyx Matlab 代码为 clear syms x y z k1 k2 L x 2 y 3 z k1 x y z 1 k2 x 2 y 2 1 dlx diff L x dly diff L y dlz diff L z dlk1 diff L k1 dlk2 diff L k2 s solve dlx dly dlz dlk1 dlk2 x y z k1 k2 x s x y s y z s z k1 s k1 k2 s k2 x 2 29 1 2 29 2 29 1 2 29 y 5 29 1 2 29 5 29 1 2 29 z 1 7 29 1 2 29 7 29 1 2 29 1 k1 3 3 k2 29 1 2 2 29 1 2 2 eval L ans 3 29 1 2 29 1 2 3 经判断可知 函数在平面与柱面的交线上的最zyxzyxf32 1 zyx1 22 yx 大值为 329 5 求函数在三条直线所围区域上的最大值和最小值 22 yxz 1 1 1 yxyx 解 显然此函数的驻点为 0 0 不在此区域内 因此该函数的最大值和最小值点应在三条边界上 下面分别 求此函数在这三条边界上的最大值和最小值 Matlab代码如下 1 求函数在直线边界x 1 0 y 1上的最大值和最小值 将x 1代入原函数 则二元函数变为一元函数 z 1 y2 0 y 1 最大值点为y 1 最大值为2 最小值点为y 0 最小值为1 2 求函数在直线边界y 1 0 x 1上的最大值和最小值 将x 1代入原函数 则二元函数变为一元函数 z 1 x2 0 x 1 最大值点为x 1 最大值为2 最小值点为x 0 最小值为1 3 求函数在直线边界x y 1 0 x 1上的最大值和最小值 将y 1 x代入原函数 则二元函数变为一元函数 z 1 x 2 x2 0 x 1 用Matlab命令求此函数的最大和最小值点 先求驻点 clear syms x z 1 x 2 x 2 dzx diff z x x solve dzx x x 1 2 z1 eval z 计算在驻点处的函数值 z1 1 2 计算在区间端点处的函数值 z2 subs z 0 z3 subs z 1 z2 1 z3 1 比较函数在各点处的函数值可知函数的最大值点为 1 1 对应的最大值为 2 最小值点为 1 2 1 2 最小值为 1 2 实验七实验七 常微分方程常微分方程 练习与思考练习与思考 1 求下列微分方程的解析解 a 一阶线性方程2 3 yxy dsolve Dy x 3 y 2 x ans C2 exp x 4 4 exp x 4 4 int 2 exp x 4 4 x b 贝努利方程0 2 yxyy dsolve Dy x y 2 y 0 x ans 0 exp x C4 exp x x 1 c 高阶线性齐次方程02 3 yyyy dsolve D3y D2y 3 Dy 2 y 0 ans C8 exp 2 t C6 exp t 5 1 2 2 1 2 C7 exp t 5 1 2 2 1 2 d 高阶线性非齐次方程xyyysin32 3 dsolve D2y 3 Dy 2 y 3 sin x x ans 9 cos x 10 3 sin x 10 C11 exp x C10 exp 2 x e 欧拉方程 223 4 3 xxyyxyx dsolve x 3 D3y x 2 D2y 3 x Dy 4 x 2 x ans C13 C15 x 3 1 2 1 C14 x 1 3 1 2 x 2 x 1 3 1 2 x 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 1 x 1 3 1 2 x 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 求方程 3 0 1 0 2 1 2 yyxyyx 的解析解和数值解 并进行比较 解 解析解为 y dsolve 1 x 2 D2y 2 x Dy y 0 1 Dy 0 3 x y x x 2 3 1 数值解 设则原方程化为微分方程组 12 yy yy 12 2 2 2 2 1 yy xy y x 定义函数 m 文件 fun7 2 m 如下 function f fun7 2 x y f y 2 2 x y 2 1 x 2 再用 ode45 求解 x y ode45 fun7 2 0 5 1 3 plot x y 1 ro hold on ezplot x x 2 3 1 0 5 00 511 522 533 544 55 0 50 100 150 x x x2 3 1 3 分别用 ode45 和 ode15s 求解 Van del Pol 方程 1 0 0 0 0 1 1000 2 2 2 xx x dt dx x dt xd 的数值解 并进行比较 解 设则原方程化为微分方程组 12 xx xx 12 2 2121 1000 1 xx xxxx 定义函数 m 文件 fun7 3 m 如下 function f fun7 3 t x f x 2 1000 1 x 1 2 x 2 x 1 再用 ode45 和 ode15s 分别求解此方程 并绘图比较 clear clf t1 x1 ode45 fun7 3 0 0 1 0 1 t2 x2 ode15s fun7 3 0 0 1 0 1 plot t1 x1 1 ro t2 x2 1 00 010 020 030 040 050 060 070 080 090 1 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 4 单摆运动的近似解析解 当单摆初始角度较小时 也较小 从 单摆运动微分方 0 0 sin 程可近似写为 0 0 0 0 mgml 求此方程的解析解 并与练习 3 中的数值解进