斐波那契数列的启示

Xxxxxxxxxxx 大学 课程论文 2013 2014 学年春季学期 论文题目 论文题目 课程名称 课程名称 任课教师 任课教师 班班 级 级 学学 号 号 姓姓 名 名 成绩成绩 浅谈斐波那契数列 1 浅谈斐波那契数列浅谈斐波那契数列 摘要 摘要 斐波那契数列 又称作黄金分割数列 指的是这样一个数列 1 1 2 3 5 8 13 21 这个数列从第三项开始 每一项 都等于前两项之和 斐波那契数列的发明者 是意大利数学家列 昂纳多 斐波那契 Leonardo Fibonacci 本文主要就斐波那契 数列的提出与特征进行简要分析 通过举例重点说明斐波那契数 列在实际生活当中的表现与应用 进而得到启示 关键词 关键词 斐波那契数列 特征 应用 ResearchResearch onon FibonacciFibonacci sequencesequence Institute of Technology China Agricultural University FENG Wei Abstract Abstract Fibonacci sequence also known as the golden series referring to such a sequence 1 1 2 3 5 8 13 21 this sequence beginning from the third term each of which equal to the sum of the first two terms The inventor of Fibonacci series was an Italian mathematician Leonardo Fibonacci This tractate focuses on the characteristics of Fibonacci sequence and has a brief analysis as well as giving examples to analyze the performance and application of Fibonacci sequence in real life and then get inspirations KeyKey words words Fibonacci sequence Characteristics Application 浅谈斐波那契数列 2 走进斐波那契走进斐波那契 斐波那契 Leonardo Pisano Fibonacci 1175 年 1259 年 意大利数学家 被 称作 比萨的列昂纳多 是西方第一个研究斐波那契数并将现代书写数和乘数的 位值表示法系统引入欧洲的数学家 是欧洲黑暗时代以后第一位有影响的数学家 是中世纪最具有影响力的数学家 斐波那契的父亲威廉是当时某商业团体的外交领事 派驻北非一带 斐波那契 年轻时随父协助其工作 因此有机会接触并学习阿拉伯数字 斐波那契还从师阿拉 伯人 向其学习研究数学习算 回国后有感使用阿拉伯数字比罗马数字更方便有效 斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习 后又游历地中海沿岸诸 国 1202 年回意大利后 27 岁的他将其所学即写成 算经 亦译作 算盘书 这 本书通过在记帐 重量计算 利息 汇率和其他的应用 显示了新的数字系统的实 用价值 大大影响了欧洲人的思想 其他数学专著有 几何实践 平方数书 等 均对当时数学的发展产生了积极的推动作用 斐波那契的 算经 介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数 分数 平方根 立方根的运算方法 这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响 并且改变了当时数学 的面貌 算经 是中世纪欧洲出现的最具有影响力的数学作品之一 是欧洲数学 在经历了漫长黑夜之后走向复苏的号角 其中就引进了著名的 斐波那契数列 斐波那契数列的提出斐波那契数列的提出 斐波那契的名字与一个无穷的数列联系在了一起 这个数列用来解决 算经 中提到的一个有趣的 兔子问题 如果每对兔子每月能繁殖一对子兔 而子兔在出生后第二个月就有了生殖能力 第三个月就生产一对兔子 以后每个月生产一对 假定每对兔子都是一雌一雄 试 问一对兔子一年能繁殖多少兔子 最开始的那对兔子在第一个月末生出第 2 对兔子 到第二个月小兔子长大成熟 具有繁殖能力 而本月中一开始的那对兔子又生育出新的兔子 使得兔子的总数增 加到 5 对 每个月末增加的新生兔子的对数应该等于至少两个月大的兔子的总对数 根据这样的规律 斐波那契确定 到第 12 个月的月末 共有 377 对兔子 其中出 浅谈斐波那契数列 3 现的每一个数都叫做斐波那契数 若第 n 个斐波那契数记为 n F 则 53211 43210 FFFFF 这个序列有下面的递推关系 2 1 0n n1n2n FFF 由此出发借助数学归纳法可推得通项公式 nn n 2 5 1 2 51 5 1 F 该公式最早由法国数学家比内 Binet 求出 因此又称为 比内公式 是用无理 数表示有理数的一个范例 斐波那契数列的特征斐波那契数列的特征 从上面我们得知 斐波那契数列 各项值为 1 1 2 3 5 8 13 21 其最显 而易见的数列特征为从第三项开始 每一项都等于前两项之和 除此之外还有 1 第 3 第 6 第 9 第 12 项的数字 能够被 2 整除 2 第 4 第 8 第 12 项的数字 能够被 3 整除 3 第 5 第 10 项的数字 能够被 5 整除 以此类推 4 连续 10 个斐波那契数之和等于第 7 个数的 11 倍 除此之外 斐波那契数列在数列关系当中也有许多重要的特种 1 求和 2 奇数项求和 偶数项求和 3 平方求和 4 和项数公式 5 奇数项与前后的平方 6 偶数项与前后的平方 7 隔项关系 浅谈斐波那契数列 4 生活中斐波那契数列的体现与应用生活中斐波那契数列的体现与应用 人类很早就从自然界中看到了数学特征 蜜蜂的繁殖规律 树的分枝 钢琴音 阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘 整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称 状 所有这一切都向我们展示了美丽的数学模式 而对这些自然 社会以及生活 中的许多现象的解释 最后往往都能归结到斐波那契数列上来 1 斐波那契数列与植物斐波那契数列与植物 斐波那契数列在自然科学的其他分支 有许多应用 例如 树木的生长 由于新生的枝条 往往需要一段 休息 时间 供自身生长 而后才能萌发新枝 所以 一株树苗在一段间隔 例如一年 以后长出一条新枝 第二年新枝 休息 老枝依旧萌发 此后 老枝与 休 息 过一年的枝同时萌发 当年生的新枝则次年 休息 这样 一株树木各个年份的枝桠数 便构成斐波那契数 列 这个规律 就是生物学上著名的 鲁德维格定律 植物花瓣数是极有特征的 多数情况下花瓣的数目都是 3 5 8 13 21 34 55 这些数恰好是斐波那契数列的某些项 例如 百合花有 3 瓣花瓣 至良属的植物有 5 瓣花瓣 许多翠雀属植物有 8 瓣花瓣 万寿菊的花瓣有 13 瓣 向日葵种子的排列方式也体现出斐波那契数列特征 仔细观察向日葵花盘 你就会 发现两组螺旋线 一组顺时针方向盘旋 另一组则逆时针方向盘旋 并且彼此相嵌 虽 然不同的向日葵品种中 种子顺 逆时针方向和螺旋线的数量有所不同 但往往不会超 出 34 和 55 55 和 89 或者 89 和 144 这 3 组数字 这每组数字就是斐波那契数列中相邻 的两个数 前一个数字是顺时针盘旋的线数 后一个数字是逆时针盘旋的线数 另外许多植物叶片鳞片的排列也是斐波那契数 菠萝果实上的菱形鳞片 一行行排 列起来 8 行向左倾斜 13 行向右倾斜 挪威云杉的球果在一个方向上有 3 行鳞片 在另一个方向上有 5 行鳞片 常见的落叶松是一种针叶树 其松果上的鳞片在两个方向 上各排成 5 行和 8 行 美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成 3 行和 5 行 2 斐波那契数列与杨辉三角 黄金分割斐波那契数列与杨辉三角 黄金分割 1 斐波那契与中国杨辉三角还有重要的联系 在杨辉三角当中也体现出斐波那 浅谈斐波那契数列 5 契数列的存在 2 菲波那契数列为 1 1 2 3 5 8 13 21 从中我们可以发现 随着数列 项数的增加 前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值 0 6180339887 因此 斐波纳契数列 又被称为 黄金分割数列 3 斐波那契数列与斐波那契数列与 台阶问题台阶问题 所谓 台阶问题 是指问到某层台阶时理论上有多少种走法 解析过程如下 当只有一个台阶时 只有一种走法 F1 1 当有两个台阶 走法有 2 种 一阶一阶或者一步上两个台阶 所以 F2 2 有三个台阶时 走法有一步一阶 2 阶再 1 阶 1 阶再 2 阶 因此 F3 3 有四个台阶时 走法有 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 共 5 种方法 故 F4 5 以此类推 有数列 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 完全符 合斐波那契数列的特征 4 影视作品中的斐波那契数列影视作品中的斐波那契数列 斐波那契数列在欧美可谓是人尽皆知 以至于在电影这种通俗艺术中也时常出现 比如在风靡一时的 达芬奇密码 里它就作为一个重要的符号和情节线索出现 在 魔 法玩具城 里又是在店主招聘会计时随口问的问题 由此可见此数列就像黄金分割一样 流行 已经成为日常生活的一部分而被人们所接受 从另一方面来分析 斐波那契数列 以其独特的广泛性无时无刻不成为我们生活的主角 斐波那契与自然 生活 科学上的联系其实还有很多 例如在编程当中菲波那契数 列的应用 斐波那契弧线 螺旋线 扇形线在解决数学问题时的重要性以及在日常生活 当中的体现 斐波那契数列与蜜蜂的家谱的关系 本文举例虽少 但是仅仅从这几个例 子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性 由此我们可以看到数学其实是无处 不在的 它是一门科学 同时也是一种语言 更是一种艺术 另外 数学与自然 生活 将杨辉三角左对齐 成如图所示 排列 将同一斜行的数加起来 即得 一数列 1 1 2 3 5 8 浅谈斐波那契数列 6 相伴相随 共同发展 写在最后写在最后 毕达哥拉斯说过 数学统治着宇宙 他之所以这样说的就是因为数学以其不可 比拟的广泛性浸入到生活的各个领域当中 并在其中扮演至关重要的角色 如今 数学 已经与其他学科交叉互融 彻彻底底