朱玲06信本泰勒公式的应用毕业论文

目目 录录 内容摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key words 1 1 引言 2 2 泰勒公式 2 2 1 具有拉格朗日余项的泰勒公式 2 2 2 带有皮亚诺型余项的泰勒公式 2 2 3 带有积分型余项的泰勒公式 2 2 4 带有柯西型余项的泰勒公式 3 3 泰勒公式的应用 3 3 1 利用泰勒公式求未定式的极限 3 3 2 利用泰勒公式判断敛散性 6 3 3 利用泰勒公式证明中值问题 11 3 4 利用泰勒公式证明不等式和等式 13 4 结束语 19 参考文献 21 1 泰勒公式的应用泰勒公式的应用 内容摘要 内容摘要 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容 不仅在 理论上占有重要的地位 在近似计算 极限计算 函数凹凸性判断 敛散性的判断 等式与不等式的证明 中值问题以及行列式的计算等 方面有重要的应用 本文着重对极限计算 敛散性的判断 中值问题 以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述 关键词 关键词 泰勒公式 皮亚诺余项 级数 拉格朗日余项 未定式 ApplicationsApplications ofof TaylorTaylor formulaformula AbstractAbstract In the mathematical analysis Taylor formula is a very important contents not only plays an important role in theory but also in the approximate calculation the limit calculation the function bump Judgement convergence and div ergence of judgments proof of identity and inequality the problem of mid value and calculation of the determinant This aticle focuses on four aspects the Limit Calculation the judgement of Convergence and Divergence the the problem of mid value as well as the prove of equality and inequality KeyKey wordswords Taylor formula Peano remainder Series Lagrange Remainder indeterminte form 2 1 1 引言引言 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容 微分学理论中最一 般的情形是泰勒公式 它建立了函数的增量 自变量增量与一阶及高 阶导数的关系 将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数 这种化繁为简的功能 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆 我们可以使用泰勒公式 来很好的解决某些问题 如求某些极限 确 定无穷小的阶 证明等式和不等式 判断收敛性 判断函数的凹凸性 以及解决中值问题等 本文着重论述泰勒公式在极限 敛散性判断 中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法 2 2 泰勒公式泰勒公式 2 12 1 具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有 n 1 阶导数 则对该邻域内 xf 0 x 异于的任意点 x 在和 x 之间至少一个 使得 0 x 0 x 当 0 时 上式称为麦克劳林公式 0 x 2 22 2 带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有 n 阶导数 则对此邻域内的 xf 0 x 点 x 有 3 2 32 3 带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式 如果函数 f 在点的某邻域内具有 n 1 阶导数 令 x 0 x 0 xU 则对该邻域内异于的任意点 x 在和 x 之间至少一个 t 使 0 xU 0 x 0 x 得 dttxtf n xx n xf xxxfxfxf n x x n n n 0 1 0 0 00 0 1 其中就是泰勒公式的积分型余项 dttxtf n n x x n 0 1 1 2 42 4 带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式 如果函数 f 在点的某邻域内具有 n 1 阶导数 令 x 0 x 0 xU 则对该邻域内异于的任意点 x 有 0 xU 0 x xRxx n xf xxxfxfxf n n n0 0 00 0 1 000 1 n 1x 1 nn n xxxxf n xR 10 当 0 时 又有 0 x xRn 10 1 1 11 n n n xxf n 3 3 泰勒公式的应用 泰勒公式的应用 3 13 1 利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式求未定式的极限 未定式是指呈等形式的极限 100 0 0 00 一般是用洛比达法则求解 当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的 话 必须进行多次洛比达法则 或是分子分母都是带根号项的话 越 4 微分会越复杂 此时若使用泰勒公式解决 会更简单 明了 例 1 求极限 分析 此式分子含有根号项 用洛比达法则也可以求解 不过比 较繁琐 若使用泰勒公式可以将问题大大简化 解 将 在 x 0 点的麦克劳林公式展开到项得 x1 x1 2 x 2 2 82 x 11x x x 2 2 82 x 11x x x 原式 2 0 111x1 lim x x x 2 2222 0 x 8 1 2 1 x 8 1 2 1 lim x xxxx x 4 1 x 8 1 8 1 lim 2 222 0 x xx x 用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代 来计算极限的方法 我们知道当 时 等 0 x xxxx tan sin 这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项 有些问题用 泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合 问题又能进一 步简化 例 2 求极限 lim 0 x 22 1 sin 1 xx 解 lim 0 x 22 1 sin 1 xx lim 0 x xx x 22 22 sin sinx 5 又 将 cos2x 用泰勒公式展开 2 2cos1 sin 2 x x Cos2x 4 42 4 16 2 x4 1x x 则 lim 0 x xx x 22 22 sin sinx lim 0 x 4 4 4 3 x x x 3 1 假如细心思考 这一题目的结果可以引起我们的兴趣 当 时 易知 两个互为等价无穷0 x xx sin nn xxN sin n 小的函数 它们倒数之差的极限为 为什么是 是什么因素造成 3 1 3 1 这一结果 如果是 情况会怎么样 3 1 lim 0 x n xx 1 sin 1 n 定理 1 当 时 有 0 x Nn 1 当 n3 时 是关于 x 的 n 2 阶无穷大 n xx 1 sin 1 n 2 当 n 2 时 22 1 sin 1 xx 3 1 3 当 n 1 时 是关于 x 的一阶无穷小 xx 1 sin 1 4 当 n 0 时 0 00 1 sin 1 xx 证明 2 在上题已经证明了 4 是显然成立的 这里只证明 1 3 先证明 3 当 n 1 时 lim 0 x xx 1 sin 1 x 1 lim 0 x xx sin xsinx 2 lim 0 x 3 sinx x x 在这里 利用洛必达法则可以解出这个极限 但用泰勒公式则更 便捷 因为我们知道 6 Nkx k xxx xx k k k 12 1 5 3 sin 22 12 1 53 即 lim 0 x xx 1 sin 1 x 1 lim 0 x 3 3 3 3 x x x 6 1 在证明 1 当 n3 时 lim 0 x n xx 1 sin 1 n 2 x n lim 0 x xx x n nn sin sinx 2 lim 0 x 2 sinx n nn x x lim 0 x 1 121 3 sinsinxsinx n nnn x xxx x x lim 0 x 3 sinx x x lim 0 x 66 1 sinsin 1 1 1 n n x x x x n n 命题得证 从以上定理可以看到 当时 互为等价无穷小的函数的倒0 x 数之差 或更一般的说法 这些函数的乘方之差 的趋向情况 无穷 大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点 由函数本身在 x 0 处的泰 勒展开式决定 同时容易推得 在以上结论中 的条件还可0 x 以推广为 这时相关特点将由函数本身在处的泰勒 0 xx 0 xx 展开式决定 综上所述 在求未定式极限时 要灵活运用等价无穷小与泰勒公 式 并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可 对于泰勒余项形式的选择 要根据具体题目而定 一般而言极限的计 算题应该选择皮亚若型余项 3 23 2 利用泰勒公式判断敛散性利用泰勒公式判断敛散性 3 2 13 2 1 数项级数的敛散性判断数项级数的敛散性判断 7 当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时 往 往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式 以便利用敛判准则 例 3 讨论级数的敛散性 1 1 ln 1 n n n n 分析 直接根据通项去判断级数是正项级数还是非正项级数比较 困难 因而也就无法恰当选择判敛方法 注意到 n n1 ln 若将泰勒展开为的幂的形式 开二次方后将 n 1 1ln 1 1 ln n n 1 与相呼应 则判断收敛就容易进行了 n 1 解 1 1 132 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 ln n nn nn n x x n xxxx 取有 n 1 x 32 3 1 2 11 n 1 1 ln nnnn 1 所以0 故该级数是正项 n n1 ln n 1 n U n 1 n n1 ln 级数 因为 n n1 ln 1 3 1 2 11 332 nnnn 32 4 111 nnn 2 3 2 11 n n 所以 0 利用此要点 可以证明一些不等式 n n ax n f 例 13 求证 x x x x sin tan 2 0 x 证明 原不等式等价为 0tansin 2 xxxxf 因为 0 0 0 0 fff 0secsin 1sec5 sin 0 432 xxbxxf 而 2 0 0 6 0 3 3 3 x x fx f xf 原式获证 要点二 应用泰勒公式可得 nnkk n k axf n axaf k xf 1 1 1 0 xabax 可得如下一般性结果 1 时 对有 0baxxf n bax xf kk n k axaf k 1 1 0 2 时 对有 0baxxf n bax xf kk n k axaf k 1 1 0 例 13 设 证明不等式 ba 0 abab ab ba a1lnln2 22 19 分析 这题我们可以使用要点二的结论来证 首先将不等式化简 方便我们得出解题思路 其次 我们要构造函数 利用泰勒公式展开 式解题 证明 等价为 abab ab ba a1lnln2 22 b a a b a b a b a b a ln ln 1 1 b 2 2 令 ln 1 b 2 f a a b 1 ln2 g 则只需证明 210 11 1 2 g f 而 1 ln2 f 0 1 3ln2 2 f 0 22 3 f 应用泰勒公式可知 存在使 ba 3 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 fffff 进而当时 1 20 2 1 1 2 1 1 1 1 ffff 2 1120 12 即 1 得证 对于 2 因为 0 1 1 1 1 1 2 g 2 2 所以 即 2 得证 1 0 1 gg 对于代数不等式的证明 可以将不等式转化成不等式组 再构造 合适的函数 利用泰勒公式展开求解 这时要记住灵活运用要点 2 中的结论 将会使解题过程大大简化 4 4 结束语结束语 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容 不仅在理论上占有 重要的地位 在近似计算 极限计算 函数凹凸性判断 敛散性的判 断 等式与不等式的证明 中值问题以及行列式的计算等方面有重要 的应用 通过本文对极限计算 敛散性的判断 中值问题以及等式与 不等式的证明这四个方面的论述 我们可以了解到高阶 二阶及二阶 以上 导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一 只要题中 条件给出函数二阶及二阶以上可导 不妨先把函数在指定点展成泰勒 公式再说 一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式 然后根据题 设条件恰当选择展开点 展开点未必一定是具体数值点 有时以 X 为 佳 只要在解题训练中注意分析 研究题设条件及其形式特点 并 把握上述处理原则 就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧 21 参考文献参考文献 1 唐清干 泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用 J 桂 林电子工业学院学报 2002 22 3 44 46 2 黄宗文 简灵锋 泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 J 玉 林师范学院学报 2001 22 3 21 23 3 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 M 2 版 北京 高等 教育出版社 2006 4 2009 重印 4 华东师范大学数学系编 数学分析 M 3 版 北京 高等教 育出版社 2001 2006 重印 22 5 薛宗慈等编 数学分析习作课讲义 M 一北京 北京师范大 学出版社 1984 3 6 朱永生 刘莉 基于泰勒公式应用的几个问题 J 长春师范学 院学报 2OO6 25 4 30 32 7 刘云 王阳 崔春红 浅谈