数学必修2第四章知识点+单元测试

1 高中数学必修高中数学必修 2圆与方程圆与方程 知识点总结知识点总结 习题 含答案 习题 含答案 4 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 圆心为 A a b 半径为 r 的圆的方程 2 点与圆的关系的判断方法 00 M xy 222 xaybr 1 点在圆外 2 点在圆上 22 00 xayb 2 r 22 00 xayb 2 r 3 点在圆内 22 00 xayb 2 r 4 1 2 圆的一般方程圆的一般方程 1 圆的一般方程 0 22 FEyDxyx 2 圆的一般方程的特点 1 x2 和 y2 的系数相同 不等于 0 没有 xy 这样的二次项 2 圆的一般方程中有三个特定的系数 D E F 因之只要求出这三个系数 圆的方程就确定 了 3 与圆的标准方程相比较 它是一种特殊的二元二次方程 代数特征明显 圆的标准方程则 指出了圆心坐标与半径大小 几何特征较明显 4 2 1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1 用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线 圆 圆的半径为 圆心l0 cbyaxC0 22 FEyDxyxr 到直线的距离为 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点 2 2 ED d 1 当时 直线 与圆相离 2 当时 直线 与圆相切 rd lCrd lC 3 当时 直线 与圆相交 rd lC 4 2 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为 则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点 l 1 当时 圆与圆相离 2 当时 圆与圆外切 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 1 C 2 C 3 当时 圆与圆相交 21 rr 21 rrl 1 C 2 C 2 4 当时 圆与圆内切 5 当时 圆与圆内含 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 1 C 2 C 4 2 3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 1 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 2 过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几何问题转化为 代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 将代数运算结果 翻译 成几何结论 4 3 1 空间直角坐标系空间直角坐标系 1 点 M 对应着唯一确定的有序实数组 分别是 P Q R 在 zyxxyzx 轴上的坐标yz 2 有序实数组 对应着空间直角坐标系中的一点 zyx 3 空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组来表示 该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系 zyx 中的坐标 记 M 叫做点 M 的横坐标 叫做点 M 的纵坐标 zyxxy 叫做点 M 的竖坐标 z 4 3 2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 1 空间中任意一点到点之间的距离公式 1111 zyxP 2222 zyxP 2 21 2 21 2 2121 zzyyxxPP O y x M M R P Q O y z x M P1 P2 N M1 N2 N1 M2 H 3 第四章测试第四章测试 时间 120 分钟 总分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知两圆的方程是 x2 y2 1 和 x2 y2 6x 8y 9 0 那么这两个圆的位置关系 是 A 相离 B 相交 C 外切 D 内切 2 过点 2 1 的直线中 被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的最长弦所在的直线方程为 A 3x y 5 0 B 3x y 7 0 C x 3y 5 0 D x 3y 1 0 3 若直线 1 a x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切 则 a 的值为 A 1 1 B 2 2 C 1 D 1 4 经过圆 x2 y2 10 上一点 M 2 的切线方程是 6 A x y 10 0 B x 2y 10 0 66 C x y 10 0 D 2x y 10 0 66 5 点 M 3 3 1 关于 xOz 平面的对称点是 A 3 3 1 B 3 3 1 C 3 3 1 D 3 3 1 6 若点 A 是点 B 1 2 3 关于 x 轴对称的点 点 C 是点 D 2 2 5 关于 y 轴对称的点 则 AC A 5 B C 10 D 1310 7 若直线 y kx 1 与圆 x2 y2 1 相交于 P Q 两点 且 POQ 120 其中 O 为坐 标原点 则 k 的值为 A B C 或 D 和 323322 8 与圆 O1 x2 y2 4x 4y 7 0 和圆 O2 x2 y2 4x 10y 13 0 都相切的直线 条数是 A 4 B 3 C 2 D 1 9 直线 l 将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分 且与直线 x 2y 0 垂直 则直线 l 的方程是 A 2x y 0 B 2x y 2 0 C x 2y 3 0 D x 2y 3 0 10 圆 x2 y2 4m 2 x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心在直线 x y 4 0 上 那么 圆的面积为 4 A 9 B C 2 D 由 m 的值而定 11 当点 P 在圆 x2 y2 1 上变动时 它与定点 Q 3 0 的连结线段 PQ 的中点的轨迹方 程是 A x 3 2 y2 4 B x 3 2 y2 1 C 2x 3 2 4y2 1 D 2x 3 2 4y2 1 12 曲线 y 1 与直线 y k x 2 4 有两个交点 则实数 k 的取值范围是 4 x2 A 0 B 5 12 5 12 C D 1 3 3 4 5 12 3 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 把答案填在题中横线上 13 圆 x2 y2 1 上的点到直线 3x 4y 25 0 的距离最小值为 14 圆心为 1 1 且与直线 x y 4 相切的圆的方程是 15 方程 x2 y2 2ax 2ay 0 表示的圆 关于直线 y x 对称 关于直线 x y 0 对称 其圆心在 x 轴上 且过原点 其圆心在 y 轴上 且过原点 其中叙述 正确的是 16 直线 x 2y 0 被曲线 x2 y2 6x 2y 15 0 所截得的弦长等于 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或 演算步骤 17 10 分 自 A 4 0 引圆 x2 y2 4 的割线 ABC 求弦 BC 中点 P 的轨迹方程 18 12 分 已知圆 M x2 y2 2mx 4y m2 1 0 与圆 N x2 y2 2x 2y 2 0 相 交于 A B 两点 且这两点平分圆 N 的圆周 求圆 M 的圆心坐标 19 12 分 已知圆 C1 x2 y2 3x 3y 3 0 圆 C2 x2 y2 2x 2y 0 求两圆的 公共弦所在的直线方程及弦长 20 12 分 已知圆 C x2 y2 2x 4y 3 0 从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线 切 点为 M O 为坐标原点 且有 PM PO 求 PM 的最小值 21 12 分 已知 C x 3 2 y 4 2 1 点 A 1 0 B 1 0 点 P 是圆上动点 求 d PA 2 PB 2的最大 最小值及对应的 P 点坐标 22 12 分 已知曲线 C x2 y2 2kx 4k 10 y 10k 20 0 其中 k 1 1 求证 曲线 C 表示圆 并且这些圆心都在同一条直线上 2 证明曲线 C 过定点 3 若曲线 C 与 x 轴相切 求 k 的值 1 解析 将圆 x2 y2 6x 8y 9 0 5 化为标准方程得 x 3 2 y 4 2 16 两圆的圆心距 5 0 3 2 0 4 2 又 r1 r2 5 两圆外切 答案 C 2 解析 依题意知 所求直线通过圆心 1 2 由直线的两点式方程得 即 y 2 1 2 x 1 2 1 3x y 5 0 答案 A 3 解析 圆 x2 y2 2x 0 的圆心 C 1 0 半径为 1 依题意得 1 即 1 a 0 1 1 a 2 1 a 2 平方整理得 a 1 答案 D a 1 2 1 4 解析 点 M 2 在圆 x2 y2 10 上 kOM 6 6 2 过点 M 的切线的斜率为 k 6 3 故切线方程为 y x 2 6 6 3 即 2x y 10 0 答案 D 6 5 解析 点 M 3 3 1 关于 xOz 平面的对称点是 3 3 1 答案 D 6 解析 依题意得点 A 1 2 3 C 2 2 5 AC 答案 B 2 1 2 2 2 2 5 3 213 7 解析 由题意知 圆心 O 0 0 到直线 y kx 1 的距离为 1 2 k 答案 C 1 1 k2 1 23 8 解析 两圆的方程配方得 O1 x 2 2 y 2 2 1 O2 x 2 2 y 5 2 16 圆心 O1 2 2 O2 2 5 半径 r1 1 r2 4 O1O2 5 r1 r2 5 2 2 2 5 2 2 O1O2 r1 r2 两圆外切 故有 3 条公切线 答案 B 9 解析 依题意知 直线 l 过圆心 1 2 斜率 k 2 l 的方程为 y 2 2 x 1 即 2x y 0 答案 A 10 解析 x2 y2 4m 2 x 2my 4m2 4m 1 0 x 2m 1 2 y m 2 m2 圆心 2m 1 m 半径 r m 依题意知 2m 1 m 4 0 m 1 6 圆的面积 S 12 答案 B 11 解析 设 P x1 y1 Q 3 0 设线段 PQ 中点 M 的坐标为 x y 则 x y x1 2x 3 y1 2y x1 3 2 y1 2 又点 P x1 y1 在圆 x2 y2 1 上 2x 3 2 4y2 1 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 2x 3 2 4y2 1 答案 C 12 解析 如图所示 曲线 y 1 4 x2 变形为 x2 y 1 2 4 y 1 直线 y k x 2 4 过定点 2 4 当直线 l 与半圆相切时 有 2 解得 k 2k 4 1 k2 1 5 12 当直线 l 过点 2 1 时 k 3 4 因此 k 的取值范围是0 9 故方程表示圆心为 k 2k 5 半径为 k 1