高数(b)常用公式手册

高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 1 页页 共共 11 页页 常用高数公式常用高数公式 1 乘法与因式分解公式乘法与因式分解公式 2 三角不等式三角不等式 3 一元二次方程一元二次方程 的解的解 4 某些数列的前某些数列的前 n 项和项和 5 二项式展开公式二项式展开公式 6 基本求导公式 基本求导公式 7 基本积分公式 基本积分公式 8 一些初等函数 一些初等函数 两个重要极限两个重要极限 9 三角函数公式 三角函数公式 正余弦定理正余弦定理 10 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 11 中值定理 中值定理 1212 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 1313 多元函数微分法及应用 多元函数微分法及应用 1414 多元函数的极值 多元函数的极值 1515 级数 级数 1616 微分方程的相关概念 微分方程的相关概念 1 1 乘法与因式分解公式 乘法与因式分解公式 1 1 1 2 1 4 为奇数 123221 nnnnnnn abab aabababb n 2 2 三角不等式 三角不等式 2 1 2 2 2 3 2 4 2 6 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 2 页页 共共 11 页页 3 3 一元二次方程 一元二次方程 的解的解 3 2 韦达定理 根与系数的关系 4 4 某些数列的前 某些数列的前 n n 项和项和 4 2 4 3 4 7 5 5 二项式展开公式 二项式展开公式 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 3 页页 共共 11 页页 6 6 基本求导公式 基本求导公式 7 7 基本积分公式 基本积分公式 8 8 一些初 一些初 等函数 等函数 两个重要极两个重要极 限 限 x xx xx xx x x ax x eeaaa xx CC a xxxx 2 2 1 cos 1 sec tan sin cos cos sin 1 ln ln 1 log ln 0 为实数 为常数 2 2 2 2 2 2 1 1 cot 1 1 arctan 1 1 arccos 1 1 arcsin cotcsc csc tansec sec sin 1 csc cot x xarc x x x x x x xxx xxx x xx Cxxdxx Cxdxxx Cxxdx x dx Cxxdx x dx Cx x dx Cx x dx Cxxxdx Cxxxdx csccotcsc sectansec cotcsc sin tansec cos arcsin 1 arctan 1 cotcsclncsc tanseclnsec 2 2 2 2 22 2 Cxxdx Cxxdx C a a dxa Cedxe Cxdx x C x dxx Cdx x x xx cossin sincos ln ln 1 1 1 0 1 x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 4 页页 共共 11 页页 9 9 三角函数公式 三角函数公式 诱导公式 诱导公式 函数 角 A sincostancot sin cos tan cot 90 cos sin cot tan 90 cos sin cot tan 180 sin cos tan cot 180 sin cos tan cot 270 cos sin cot tot 270 cos sin cot tan 360 sin cos tan cot 360 sin cos tan cot 和差角公式 和差角公式 和差化积公式 和差化积公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin cotcot 1cotcot cot tantan1 tantan tan sinsincoscos cos sincoscossin sin 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 5 页页 共共 11 页页 倍角公式 倍角公式 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 cot cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin 正弦定理 正弦定理 余弦定理 余弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin Cabbaccos2 222 反三角函数性质 反三角函数性质 xarcxxxcot 2 arctanarccos 2 arcsin 1010 高阶导数公式 高阶导数公式 莱布尼兹 莱布尼兹 LeibnizLeibniz 公式 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 1111 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 拉格朗日中值定理 时 柯西中值定理就是当 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 2 3 3 3 tan31 tantan3 3tan cos3cos43cos sin4sin33sin 2 2 2222 tan1 tan2 2tan cot2 1cot 2cot sincossin211cos22cos cossin22sin 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 6 页页 共共 11 页页 1212 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 例 线速度 两向量之间的夹角 是一个数量 轴的夹角 与是向量在轴上的投影 点的距离 空间 cos sin cos cos PrPr Pr cosPr 2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 马鞍面 双叶双曲面 单叶双曲面 双曲面 同号 抛物面 椭球面 二次曲面 参数方程 其中空间直线的方程 面的距离 平面外任意一点到该平 截距世方程 一般方程 其中 点法式 平面的方程 1 1 3 22 2 11 13 02 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 7 页页 共共 11 页页 1313 多元函数微分法及应用 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隐函数 隐函数 隐函数的求导公式 时 当 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算 全微分 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 3 0 2 1 0 0 0 0 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 过此点的法线方程 过此点的切平面方程 过此点的法向量 则 上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为 处的法平面方程 在点 处的切线方程 在点空间曲线 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 8 页页 共共 11 页页 1414 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 则 令 设 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 1515 级数 级数 常数项级数 常数项级数 是发散的调和级数 等差数列 等比数列 n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 1 321 1 1 1 12 级数审敛法 级数审敛法 散 存在 则收敛 否则发 定义法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 比值审敛法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 别法 根植审敛法 柯西判 正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 的绝对值其余项 那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理 的审敛法或交错级数 11 1 3214321 0lim 0 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 9 页页 共共 11 页页 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 时收敛 时发散 级数 收敛 级数 收敛 发散 而调和级数 为条件收敛级数 收敛 则称发散 而如果 收敛级数 肯定收敛 且称为绝对收敛 则如果 为任意实数 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数 幂级数 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 设 称为收敛半径 其中 时不定 时发散 时收敛 使在数轴上都收敛 则必存 收敛 也不是在全 如果它不是仅在原点 对于级数 时 发散 时 收敛于 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式 充要条件是 可以展开成泰勒级数的余项 函数展开成泰勒级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 10 页页 共共 11 页页 欧拉公式 欧拉公式 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 16 微分方程的相关概念 微分方程的相关概念 即得齐次方程通解 代替分离变量 积分后将 则设 的函数 解法 即写成程可以写成齐次方程 一阶微分方 称为隐式通解 得 的形式 解法 为 一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程 u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy 0 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 1 0 2 0 0 1 nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP 贝努力方程 时 为非齐次方程 当 为齐次方程 时当 一阶线性微分方程 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 11 页页 共共 11 页页 二阶微分方程 二阶微分方程 时为非齐次 时为齐次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 21 22 2 0 1 0 rr yyyrrqprr qpqy