高中数学 《正弦定理（1）》教案1 苏教版必修5

1 第第 1 1 课时 课时 1 1 1 1 正弦定理 正弦定理 1 1 三维目标 一 知识与技能 1 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容和推导过程 2 能解决一些简单的三角形度量问题 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问 题 能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 3 通过三角函数 正弦定理 向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 4 在问题解决中 培养学生的自主学习和自主探索能力 二 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 三 情感 态度与价值观 1 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 2 培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力 通过三角函数 正弦定理 向量的数量积等知识 间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点与难点 重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 学法与教学用具 1 学法 引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系 接着就一般斜三角 sinsinsin abc ABC 形进行探索 发现也有这一关系 分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导 让学生发现向量知 识的简捷 新颖 2 教学用具 多媒体 实物投影仪 直尺 计算器 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 1 在直角三角形中的边角关系是怎样的 2 这种关系在任意三角形中也成立吗 3 介绍其它的证明方法 二 研探新知二 研探新知 1 正弦定理的推导 1 在直角三角形中 c a A sin1sin sin C C B B 即 c A a sin c B b sin c C c sinA a sinB b sinC c sin 能否推广到斜三角形 2 斜三角形中 证明一 等积法 利用三角形的面积转换 在任意斜 中 先作出三边上的高 ABCAD 则 所以BECFsinADcB sinBEaC sinCFbA 2 每项同除以即得 111 sinsinsin 222 ABC SabCacBbcA 1 2 abc sinsinsin abc ABC 证明二 外接圆法 如图所示 AD 同理 RCD D a A a 2 sinsin B b sin R2 C c sin R2 证明三 向量法 过作单位向量垂直于 由 两边同乘以单位向量得Aj AC AC CB ABj 则 j AC CBj ABj ACj CBj AB cos90 cos 90 cos 90 j ACj CBCj ABA AcCasinsin A a sinC c sin 同理 若过作垂直于得 Cj CB C c sinB b sinsinsinsin abc ABC 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 2 理解定理 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即存在正数 使 kCkcBkbAkasin sin sin 2 等价于 即可得正弦定理 A a sinB b sinC c sinA a sinB b sinB b sinC c sinA a sinC c sin 的变形形式 1 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 2 sin sin sin 222 abc ABC RRR 3 sinsinsin ABCa b c 3 利用正弦定理和三角形内角和定理 可解决以下两类斜三角形问题 1 两角和任意一边 求其它两边和一角 如 B Ab a sin sin 2 两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其它的边和角 如 B b a Asinsin 一般地 已知两边和其中一边的对角解斜三角形 有两解或一解 见图示 a b c O B C A D 3 Abasin baAb sinba ba 一解 两解 一解 一解 注意 1 正弦定理的叙述 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦比相等 即 A a sinB b sin 它适合于任何三角形 C c sin 2 可以证明 为 外接圆半径 A a sinB b sinC c sin R2 RABC 3 每个等式可视为一个方程 知三求一 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 已知在BbaCAcABC和求中 30 45 10 00 解 由得 00 30 45 10 CAc 00 105 180 CAB C c A a sinsin 由得210 30sin 45sin10 sin sin 0 0 C Ac a C c B b sinsin 2565 4 26 2075sin20 30sin 105sin10 sin sin 0 0 0 C Bc b 例 2 在CAacBbABC 1 60 3 0 和求中 解 为锐角 2 1 3 60sin1sin sin sinsin 0 b Bc C C c B b CBCBcb 60 0 00 90 30 BC2 22 cba 例 3 CBbaAcABC 2 45 6 0 和求中 解 2 3 2 45sin6sin sin sinsin 0 a Ac C C c A a 00 12060 sin或 CcaAc 13 60sin 75sin6 sin sin 7560 0 0 00 C Bc bBC时 当 13 60sin 15sin6 sin sin 15120 0 0 00 C Bc bBC时 当 或 00 60 75 13 CBb 00 120 15 13 CBb 例 4 试判断下列三角形解的情况 4 1 已知 0 60 12 11 Bcb 2 已知 0 110 3 7 Aba 3 已知 0 45 9 6 Bcb 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 1 在中 三个内角之比 那么等于 ABC 3 2 1 CBAcba 2 在中 则此三角形的最大边长为 ABC 5 15 135 00 ACB 3 在中 已知 如果利用正弦定理解三角形有两解 则的取值范围是ABC 0 45 2 Bcmbxcma 4 在中 已知 求的度数ABC Bcbsin2 C 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 1 用三种方法证明了正弦定理 1 转化为直角三角形中的边角关系 2 利用向量的数量积 3 外接圆法 2 理论上正弦定理可解决两类问题 1 两角和任意一边 求其它两边和一角 2 两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其它的边和角 3 1 判断三角形的形状特征 必须深入研究边与边的大小关系 是否两边相等 是否三边相等 还要研究角