电大工程数学形成性考核册答案

工程数学作业 一 答案 满分 100 分 第 2 章 矩阵 一 单项选择题 每小题 2 分 共 20 分 设 则 D aaa bbb ccc 123 123 123 2 aaa ababab ccc 123 112233 123 232323 A 4 B 4 C 6 D 6 若 则 A 0001 000 0200 100 1 a a a A B 1 C D 1 1 2 1 2 乘积矩阵中元素 C 11 24 103 521 c23 A 1 B 7 C 10 D 8 设均为阶可逆矩阵 则下列运算关系正确的是 B A B n A B ABAB 111 ABBA 1 1 C D ABAB 111 ABA B 111 设均为阶方阵 且 则下列等式正确的是 D A B nk 0k 1 A B ABAB ABn A B C D kAk A kAkA n 下列结论正确的是 A A 若是正交矩阵 则也是正交矩阵AA 1 B 若均为阶对称矩阵 则也是对称矩阵A B nAB C 若均为阶非零矩阵 则也是非零矩阵A B nAB D 若均为阶非零矩阵 则A B nAB 0 矩阵的伴随矩阵为 C 13 25 A B 13 25 13 25 C D 53 21 53 21 方阵可逆的充分必要条件是 B A A B C D A 0A 0A 0A 0 设均为阶可逆矩阵 则 D A B C n ACB 1 A B BA C 111 B CA 11 C D A CB 111 BCA 111 设均为阶可逆矩阵 则下列等式成立的是 A A B C n A B ABAABB 222 2 AB BBAB 2 C D 22 1111 ABCCBA 22ABCC B A 二 填空题 每小题 2 分 共 20 分 7 210 140 001 是关于的一个一次多项式 则该多项式一次项的系数是 2 111 11 111 xx 若为矩阵 为矩阵 切乘积有意义 则为 5 4 矩A34 B25 AC B C 阵 二阶矩阵 A 11 01 5 10 51 设 则 AB 12 40 34 120 314 AB 815 360 设均为 3 阶矩阵 且 则 72 A B AB 3 2AB 设均为 3 阶矩阵 且 则 3 A B AB 13 3 12 A B 若为正交矩阵 则 0 A a 1 01 a 矩阵的秩为 2 212 402 033 设是两个可逆矩阵 则 AA 12 AO OA 1 2 1 1 2 1 1 AO OA 三 解答题 每小题 8 分 共 48 分 设 求ABC 12 35 11 43 54 31 AB AC 23AC AB 5AB AB C 答案 答案 81 30 BA 40 66 CA 73 1617 32CA 012 2226 5BA 1223 77 AB 80151 2156 CAB 设 求 ABC 121 012 103 211 114 321 002 ACBC 解解 1022 1046 200 123 411 102 420 CBABCAC 已知 求满足方程中的 AB 310 121 342 102 111 211 32AXB X 解解 32AXB 2 5 2 11 2 7 1 2 5 1 1 2 3 4 5117 252 238 2 1 3 2 1 BAX 写出 4 阶行列式 1020 1436 0253 3110 中元素的代数余子式 并求其值 aa 4142 答案答案 0 352 634 020 1 14 41 a45 350 631 021 1 24 42 a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵 122 212 221 1234 2312 1111 1026 1000 1100 1110 1111 解 1 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 100 010 001 9 1 9 2 9 2 0 3 1 3 2 0 3 2 3 1 100 210 201 122 012 0 3 2 3 1 900 630 201 102 012 001 360 630 221 100 010 001 122 212 221 23 13 3 2 32 12 31 21 2 2 9 1 3 1 2 3 2 2 2 rr rr r r rr rr rr rr IA 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 1 A 2 过程略 3 3514 1201 1320517 1726622 1 A 1100 0110 0011 0001 1 A 求矩阵的秩 1011011 1101100 1012101 2113201 解解 0000000 0111000 1110110 1101101 0111000 0111000 1110110 1101101 1221110 0111000 1110110 1101101 1023112 1012101 0011011 1101101 43 4241 31 21 2 rr rrrr rr rr 3 AR 四 证明题 每小题 4 分 共 12 分 对任意方阵 试证是对称矩阵 AAA 证明 证明 AAAAAAAA 是对称矩阵 AA 若是阶方阵 且 试证或 AnAAI A 1 1 证明证明 是阶方阵 且 AnAAI 1 2 IAAAAA 或 A 11 A 若是正交矩阵 试证也是正交矩阵 A A 证明 证明 是正交矩阵 A AA 1 111 AAAA 即是正交矩阵 A 工程数学作业 第二次 满分 100 分 第 3 章 线性方程组 一 单项选择题 每小题 2 分 共 16 分 用消元法得的解为 C xxx xx x 123 23 3 241 0 2 x x x 1 2 3 A B 1 02 7 22 C D 11 22 1122 线性方程组 B xxx xx xx 123 13 23 232 6 334 A 有无穷多解 B 有唯一解 C 无解 D 只有零解 向量组的秩为 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 4 A 3 B 2 C 4 D 5 设向量组为 则 B 是极大无关组 1234 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 A B C D 12 123 124 1 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 若这个方程组无解 则AA D A 秩秩 B 秩秩 A A A A C 秩秩 D 秩秩 A A A A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解 则该线性方程组 A A 可能无解 B 有唯一解 C 有无穷多解 D 无解 以下结论正确的是 D A 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D 齐次线性方程组一定有解 若向量组线性相关 则向量组内 A 可被该向量组内其余向量线 12 s 性表出 A 至少有一个向量 B 没有一个向量 C 至多有一个向量 D 任何一个向量 9 设 A 为阶矩阵 既是 又是 的特征值 既是 又是 的属于的特征向n x 量 则结论 成立 是 AB 的特征值 是 A B 的特征值 是 A B 的特征值 是 A B 的属于的特征向量 x 10 设 为阶矩阵 若等式 成立 则称 和 相似 n BAAB ABAB BPAP 1 BPPA 二 填空题 每小题 2 分 共 16 分 当 时 齐次线性方程组有非零解 xx xx 12 12 0 0 向量组线性 相关 12 0 0 01 1 1 向量组的秩是 1 2 31 2 01 0 00 0 0 设齐次线性方程组的系数行列式 则这个方 112233 0 xxx 123 0 程组有 无穷多 解 且系数列向量是线性 相关 的 123 向量组的极大线性无关组是 123 1 00 10 0 21 向量组的秩与矩阵的秩 相同 12 s 12 s 设线性方程组中有 5 个未知量 且秩 则其基础解系中线性无关的解AX 0 A 3 向量有 个 设线性方程组有解 是它的一个特解 且的基础解系为 AXb X0AX 0XX 12 则的通解为 AXb 22110 XkXkX 9 若是 的特征值 则是方程 的根 0 AI 10 若矩阵 满足 则称 为正交矩阵 AA 1 三 解答题 第 1 小题 9 分 其余每小题 11 分 1 用消元法解线性方程组 xxxx xxxx xxxx xxxx 1234 1234 1234 1234 326 3850 2412 432 解 解 26121000 90392700 188710 48231901 84310 01850 188710 61231 23141 121412 05183 61231 41 32 12 41 31 21 5 3 2 3 rr rr rr rr rr rr A 3311000 41100 4615010 12442001 136500 41100 188710 48231901 136500 123300 188710 48231901 43 23 13 34 34 5 7 19 3 1 2 1 3 rr rr rr rr rr 方程组解为 31000 10100 10010 20001 31000 41100 4615010 12442001 34 24 14 4 15 42 11 1 rr rr rr r 3 1 1 2 4 3 2 1 x x x x 设有线性方程组 11 11 11 1 2 x y z 为何值时 方程组有唯一解 或有无穷多解 解 解 2 2 32 2 22 2 1 1 1 2 00 1 110 11 1110 110 11 111 11 11 11 11 111 32 31 21 31 rr rr rr rr A 当且时 方程组有唯一解 1 2 3 ARAR 当时 方程组有无穷多解1 1 ARAR 判断向量能否由向量组线性表出 若能 写出一种表出方式 其中 123 8 3 7 10 2 7 1 3 3 5 0 2 5 6 3 1 123 解解 向量能否由向量组线性表出 当且仅当方程组有解 321 332211 xxx 这里 571000 1171000 41310 7301 10123 7301 3657 8532 321 A ARAR 方程组无解 不能由向量线性表出 321 计算下列向量组的秩 并且 1 判断该向量组是否线性相关 1234 1 1 2 3 4 3 7 8 9 13 1 3 0 3 3 1 9 6 3 6 解解 0000 0000 18000 2110 1131 63134 3393 6082 9371 1131 4321 该向量组线性相关 求齐次线性方程组 xxxx xxxx xxxx xxx 1234 1234 1234 124 320 5230 11250 3540 的一个基础解系 解 解 3000 0000 73140 2 1 14 5 01 103140 73140 73140 2131 4053 52111 3215 2131 42 32 12 41 31 2114 3 3 5 rr rr rr rr rr rr A 0000 1000 0 14 3 10 0 14 5 01 0000 1000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 0000 3000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 23 13 3 43 2 2 1 2 1 3 1 14 1 rr rr r rr r 方程组的一般解为 令 得基础解系 0 14 3 14 5 4 32 31 x xx xx 1 3 x 1 0 14 3 14 5 求下列线性方程组的全部解 xxxx xxxx xxx xxxx 1234 1234 124 1234 52311 3425 9417 5361 解 解 00000 00000 2872140 1 2 1 7 9 01 56144280 2872140 2872140 113251 11635 174091 52413 113251 42 32 12 41 31 21 2 14 5 5 3 rr rr rr rr rr rr A 方程组一般解为 00000 00000 2 2 1 7 1 10 1 2 1 7 9 01 2 14 1 r 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 432 431 xxx xxx 令 这里 为任意常数 得方程组通解 13 kx 24 kx 1 k 2 k 0 0 2 1 1 0 2 1 2 1 0 1 7 1 9 7 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 21 2 1 21 21 4 3 2 1 kk k k kk kk x x x x 试证 任一 维向量都可由向量组 4321 aaaa 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 1 4 线性表示 且表示方式唯一 写出这种表示方式 证明 证明 0 0 0 1 1 0 0 1 0 12 0 1 0 0 23 1 0 0 0 34 任一 维向量可唯一表示为 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 344233122114321 4 3 2 1 aaaaaaaa a a a a 44343232121 aaaaaaa 试证 线性方程组有解时 它有唯一解的充分必要条件是 相应的齐次线性方程组 只有零解 证明 证明 设为含个未知量的线性方程组BAX n 该方程组有解 即nARAR 从而有唯一解当且仅当BAX nAR 而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是0 AXnAR 有唯一解的充分必要条件是 相应的齐次线性方程组只有零解 BAX 0 AX 9 设是可逆矩阵 的特征值 且 试证 是矩阵的特征值 0 1 1 A 证明 证明 是可逆矩阵 的特征值 存在向量 使 A 1111 AAAAAAI 1 1 A 即是矩阵的特征值 1 1 A 10 用配方法将二次型化为标 43324221 2 4 2 3 2 2 2 1 2222xxxxxxxxxxxxf 准型 解 解 42 2 4423 2 3 2 21433242 2 4 2 3 2 21 2 2 222 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf 2 2 2 423 2 21 xxxxxx 令 211 xxy 4232 xxxy 23 xy 44 yx 即 44 4323 32 311 yx yyyx yx yyx 则将二次型化为标准型 2 3 2 2 2 1 yyyf 工程数学作业 第三次 满分 100 分 第 4 章 随机事件与概率 一 单项选择题 为两个事件 则 B 成立 A B A B ABBA ABBA C D ABBA ABBA 如果 C 成立 则事件与互为对立事件 AB A B AB ABU C 且 D 与互为对立事件AB ABU AB 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券 每人购买 1 张 则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的 概率为 D A B C D C10 32 0703 03 0703 2 30703 2 4 对于事件 命题 C 是正确的 A B A 如果互不相容 则互不相容A B A B B 如果 则AB AB C 如果对立 则对立A B A B D 如果相容 则相容A B A B 某随机试验的成功率为 则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为 D 10 pp A B C D 3 1 p 3 1p 1 3p 1 1 1 223 ppppp 6 设随机变量 且 则参数与分别是 A XB n p E XD X 48096np A 6 0 8 B 8 0 6 C 12 0 4 D 14 0 2 7 设为连续型随机变量的密度函数 则对任意的 A f x Xa b ab E X A B xf xx d xf xx a b d C D f xx a b d f xx d 8 在下列函数中可以作为分布密度函数的是 B A B f x xx sin 2 3 2 0其它 f x xx sin 0 2 0 其它 C D f x xx sin 0 3 2 0 其它 f x xx sin 0 0 其它 9 设连续型随机变量的密度函数为 分布函数为 则对任意的区间 Xf x F x a b 则 D bXaP A B F aF b F xx a b d C D f af b f xx a b d 10 设为随机变量 当 C 时 有 XE XD X 2 E YD Y 01 A B YX YX C D Y X Y X 2 二 填空题 从数字 1 2 3 4 5 中任取 3 个 组成没有重复数字的三位数 则这个三位数是偶数的概率 为 5 2 2 已知 则当事件互不相容时 0 8 P AP B 0305A B P AB 0 3 P AB 3 为两个事件 且 则 A B BA P AB AP 4 已知 则 P ABP ABP Ap P B P 1 5 若事件相互独立 且 则 A B P Ap P Bq P AB pqqp 6 已知 则当事件相互独立时 0 65 P AP B 0305A B P AB 0 3 P A B 7 设随机变量 则的分布函数 XU 0 1XF x 11 10 00 x xx x 8 若 则 6 XB 20 03E X 9 若 则 XN 2 P X 3 3 2 10 称为二维随机变量的 协方差 EXE XYE Y X Y 三 解答题 1 设为三个事件 试用的运算分别表示下列事件 A B C A B C 中至少有一个发生 A B C 中只有一个发生 A B C 中至多有一个发生 A B C 中至少有两个发生 A B C 中不多于两个发生 A B C 中只有发生 A B C C 解解 1 2 3 CBA CBACBACBA CBACBACBACBA 4 5 6 BCACAB CBA CBA 2 袋中有 3 个红球 2 个白球 现从中随机抽取 2 个球 求下列事件的概率 2 球恰好同色 2 球中至少有 1 红球 解解 设 2 球恰好同色 2 球中至少有 1 红球 AB 5 2 10 13 2 5 2 2 2 3 C CC AP 10 9 10 36 2 5 2 3 1 2 1 3 C CCC BP 3 加工某种零件需要两道工序 第一道工序的次品率是 2 如果第一道工序出次品则此 零件为次品 如果第一道工序出正品 则由第二道工序加工 第二道工序的次品率是 3 求加工出来的零件是正品的概率 解 解 设 第 i 道工序出正品 i 1 2 i A 9506 0 03 0 1 02 0 1 12121 AAPAPAAP 4 市场供应的热水瓶中 甲厂产品占 50 乙厂产品占 30 丙厂产品占 20 甲 乙 丙厂产品的合格率分别为 90 85 80 求买到一个热水瓶是合格品的概率 解 解 设 1 产品由甲厂生产 A 2 产品由乙厂生产 A 3 产品由丙厂生产 A 产品合格 B 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 865 0 80 0 2 085 0 3 09 05 0 5 某射手连续向一目标射击 直到命中为止 已知他每发命中的概率是 求所需设计次p 数的概率分布 X 解 解 PXP 1 PPXP 1 2 PPXP 2 1 3 PPkXP k 1 1 故 X 的概率分布是 ppppppp k k 12 1 1 1 321 6 设随机变量的概率分布为X 0123456 01015020301201003 试求 P XPXP X 4253 解 解 87 0 12 0 3 02 015 0 1 0 4 3 2 1 0 4 XPXPXPXPXPXP 72 0 1 012 0 3 02 0 5 4 3 2 52 XPXPXPXPXP 7 03 01 3 1 3 XPXP 7 设随机变量具有概率密度X f x xx 201 0其它 试求 P XPX 1 2 1 4 2 解 解 4 1 2 2 1 2 1 0 2 2 1 0 2 1 xxdxdxxfXP 16 15 2 2 4 1 1 4 1 2 1 4 1 2 4 1 xxdxdxxfXP 8 设 求 Xf x xx 201 0其它 E XD X 解 解 3 2 3 2 2 1 0 3 1 0 xxdxxdxxxfXE 2 1 4 2 2 1 0 4 1 0 222 xxdxxdxxfxXE 18 1 3 2 2 1 222 xEXEXD 9 设 计算 6 0 1 2 NXPX 0218 P X 0 解 解 8164 0 19082 0 21 33 1 2 33 1 33 1 33 1 2 0 1 33 1 8 12 0 X PXP 0475 0 9525 0 1 67 1 1 67 1 6 0 1 0 X PXP 10 设是独立同分布的随机变量 已知 设XXXn 12 E XD X 11 2 求 X n Xi i n 1 1 E XD X 解 解 1 1 1 2121 1 nn n i i XEXEXE n XXXE n X n EXE n n 1 1 1 1 21 2 21 2 1 nn n i i XDXDXD n XXXD n X n DXD 22 2 11 n n n 工程数学作业 第四次 第 6 章 统计推断 一 单项选择题 设是来自正态总体 均未知 的样本 则 A 是统xxxn 12 N 2 2 计量 A B C D x1x1 x1 2 2 x1 设是来自正态总体 均未知 的样本 则统计量 D 不xxx 123 N 2 2 是的无偏估计 A B max xxx 123 1 2 12 xx C D 2 12 xx xxx 123 二 填空题 1 统计量就是 不含未知参数的样本函数 2 参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩 估计法 和 最大似然估计 两种方法 3 比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 有效性 4 设是来自正态总体 已知 的样本值 按给定的显著性xxxn 12 N 2 2 水平检验 需选取统计量 HH 0010 n x U 0 5 假设检验中的显著性水平为事件 u 为临界值 发生的概率 ux 0 三 解答题 1 设对总体得到一个容量为 10 的样本值X 4 5 2 0 1 0 1 5