第七章章末检测

第七章第七章 章末检测章末检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 2011 山东 设集合 M x x2 x 6b c d 则 ac bd B 若 a b 则 a2 b2 C 若 a b 则 a2 b2 D 若 a b 则 a2 b2 3 若实数 a b 满足 a b 2 则 3a 3b的最小值是 A 18 B 6 C 2 D 2 3 4 3 4 不等式 y x 表示的平面区域是 5 2011 北京 如果x y 0 那么 1 2 log 1 2 log A y x 1 B x y 1 C 1 x y D 1 y x 6 若实数 x y 满足不等式组Error 则 x y 的最大值为 A 9 B C 1 D 15 7 7 15 7 点 P a 3 到直线 4x 3y 1 0 的距离等于 4 且在 2x y 3n 都成 sin 1 2 sin 2 22 sin n 2n 立的是 A an am m n 2 C an am 1 2n 9 今有一台坏天平 两臂长不等 其余均精确 有人要用它称物体的重量 他将物体 放在左右托盘各称一次 取两次称量结果分别为 a b 设物体的真实重量为 G 则 A G B G C G D 0 的解集是 x x4 则实数 a b 的值 分别为 14 2011 陕西 如图 点 x y 在四边形 ABCD 内部和边界上运动 那么 2x y 的最 小值为 15 2011 汤阴模拟 已知正数 a b 满足 ab a b 3 则 ab 的取值范围为 a b 的取值范围是 16 2011 山东 设函数 f x x 0 观察 x x 2 f1 x f x x x 2 f2 x f f1 x x 3x 4 f3 x f f2 x x 7x 8 f4 x f f3 x x 15x 16 根据以上事实 由归纳推理可得 当 n N 且 n 2 时 fn x f fn 1 x 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 10 分 解关于 x 的不等式 其中 a 0 且 a 1 3 1x x a 1 a 18 12 分 2011 惠州月考 函数 f x 对一切实数 x y 均有 f x y f y x 2y 1 x 成立 且 f 1 0 1 求 f 0 2 求 f x 3 当 0 xax 5 恒成立 求 a 的取值范围 19 12 分 2011 汕头月考 设数列 an 是公比为 q 的等比数列 Sn是它的前 n 项和 1 求证 数列 Sn 不是等比数列 2 数列 Sn 是等差数列吗 为什么 20 12 分 2011 嘉兴月考 某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项 目可能的最大盈利率分别为 100 和 50 可能的最大亏损率分别为 30 和 10 投资人 计划投资金额不超过 10 万元 要求确保可能的资金亏损不超过 1 8 万元 问投资人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的盈利最大 21 12 分 先阅读下列不等式的证法 再解决后面的问题 已知 a1 a2 R a1 a2 1 求证 a a 2 12 2 1 2 证明 构造函数 f x x a1 2 x a2 2 f x 2x2 2 a1 a2 x a a 2x2 2x a a 2 12 22 12 2 因为对一切 x R 恒有 f x 0 所以 4 8 a a 0 从而得 a a 2 12 22 12 2 1 2 1 若 a1 a2 an R a1 a2 an 1 请写出上述问题的推广式 2 参考上述证法 对你推广的问题加以证明 22 12 分 2009 山东 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知对任意的 n N 点 n Sn 均 在函数 y bx r b 0 且 b 1 b r 均为常数 的图象上 1 求 r 的值 2 当 b 2 时 记 bn 2 log2an 1 n N 证明 对任意的 n N 不等式 成立 b1 1 b1 b2 1 b2 bn 1 bnn 1 第七章第七章 章末检测章末检测 1 A x2 x 6 0 3 x 2 M x 3 x 2 又 N x 1 x 3 M N x 1 x 2 2 D 3 B 由基本不等式 得 3a 3b 2 2 6 当且仅当 a b 1 时取等号 3a 3b3a b 所以 3a 3b的最小值是 6 4 A 5 D 不等式转化为 1 y x 6 A 画出可行域如图 令 z x y 可变为 y x z 作出目标函数线 平移目标函数线 显然过点 A 时 z 最大 由Error 得 A 4 5 zmax 4 5 9 7 C 由题意Error 解得 a 3 8 C an am sin n 1 2n 1 sin n 2 2n 2 sin m 2m sin n 1 2n 1 sin n 2 2n 2 sin m 2m G a b 2ab 10 D M 1 1 1 1 a 1 b 1 c 8 b c a a c b a b c 2 bc a 2 ac b 2 ab c 当且仅当 a b c 时 等号成立 1 3 M 8 11 A 当 x 0 时 对任意实数 a 不等式都成立 当 x 0 时 a f x x2 1 x x 1 x 问题等价于 a f x max f x max 2 故 a 2 综上可知 a 的取值范围是 2 12 B x2 2y2 x2 2y2 1 x2 2y2 1 2 3 2 1 x2 1 y2 2y2 x2 x2 y2 2y2 x2 x2 y2 3 2 当且仅当 时等号成立 2 2y2 x2 x2 y2 13 4 1 解析 由题意知 1 4 为方程 x2 a 1 x ab 0 的两根 a 1 3 ab 4 a 4 b 1 14 1 解析 令 b 2x y 则 y 2x b 如图所示 作斜率为 2 的平行线 y 2x b 当经过点 A 时 直线在 y 轴上的截距最大 为 b 此时 b 2x y 取得最小值 为 b 2 1 1 1 15 9 6 解析 a b 2 ab 3 2 abab 解得 3 或 1 舍 ab 9 abab a b ab 3 6 16 x 2n 1 x 2n 解析 依题意 先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式 由 1 3 7 15 可推知该数列的通项公式为 an 2n 1 又函数结果的分母中常数项依次为 2 4 8 16 故其通项公式为 bn 2n 所以当 n 2 时 fn x f fn 1 x x 2n 1 x 2n 17 解 当 a 1 时 有 x 1 1 3 x x 2 0 0 3 x x2 2x 3 x 0 x 3 或 0 x 1 6 分 x 3 x 1 x 当 0 a 1 时 有 x 1 1 3 x 0 3 x1 时 x 3 0 1 当 0 aax 5 化为 x2 x 2 ax 5 ax x2 x 3 x 0 2 a 1 x 8 分 x2 x 3 x 3 x 当 x 0 2 时 1 x 1 2 当且仅当 x 即 x 时取等号 由 0 2 3 x3 3 x33 得 1 x min 1 2 3 x3 a0 且 b 1 所以 n 2 时 an 是以 b 为公比的等比数列 又 a1 b r a2 b b 1 所以 b 所以 r 1 5 分 b b 1 b r 2 证明 由 1 知 an 2n 1 因此 bn 2n n N 所证不等式为 2 1 2 4 1 4 2n 1 2nn 1 6 分 当 n 1 时 左式 右式 3 22 左式 右式 所以结论成立 7 分 假设 n k k N 时结论成立 即 则当 n k 1 时 2 1 2 4 1 4 2k 1 2kk 1 2 1 2 4 1 4 2k 1 2k 2k 3 2 k 1 k 1 2k 3 2 k 1