2019-2020学年临沂市蒙阴县实验中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省临沂市蒙阴县实验中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1设，则下列各不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】利用作差法比较即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：.【点睛】本题考查作差法比较式子的大小，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.2已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）A6B-6C4D-4【答案】D【解析】求出向量的坐标，利用向量共线定理即可得出【详解】解：，又因为向量与向量平行所以存在实数，使得解得故选：【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.4已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，则的值为（ ）A16B32C8D【答案】A【解析】利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出【详解】解：等比数列为单调递增数列，设其前项和为，解得，故选：【点睛】本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题5下列不等式或 命题一定成立的是（ ）； ； 最小值为2.ABCD【答案】C【解析】根据基本不等式的性质一一验证.【详解】解：，由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确； 可以取负值，故不成立，故错误；由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确；当时故错误.故选：【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.6已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.【详解】由题意知，关于的不等式的解集为.（1）当，即当时，不等式化为，合乎题意；当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；（2）当，即时关于的不等式的解集为.，解得综上可得，实数的取值范围是故选：C【点睛】本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.7设为数列的前项和，满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据可求数列的通项公式，利用等比数列的前项和求.【详解】解：当时，解得，当时，故是以，的等比数列，故选：【点睛】本题考查利用求，以及等比数列的前项和，属于基础题.8已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由结合椭圆离心率的定义可得，可求得，而，从而可求得离心率的取值范围【详解】解：依题意，得，又，不等号两端同除以得，解得，又，即故选：【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得，利用解决问题是关键，也是难点，属于中档题9在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是（ ）A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C此人第三天走的路程占全程的D此人后三天共走了42里路【答案】C【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案二、多选题10给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.A若，则；B若则；C若，则；D若，则.【答案】AD【解析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B，C错误.【详解】解：对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确； 对于选项B，当时，显然不成立，即选项B错误；对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；对于选项D，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为AD，故答案为：AD.【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.11若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）ABCD【答案】CD【解析】分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断.【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.故选：.【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）A异面直线与所成的角为BC是等边三角形D二面角的平面角正切值是【答案】ABCD【解析】作出正方形翻折后的立体几图形，再对选项进行逐个分析.【详解】如图所示，设正方形的边长为2，对，设三角形运动到，连接交于，连，因为，所以为正三角形，所以 异面直线与所成的角为，故正确；对，因为，所以平面，平面，所以，故正确；对，由选项的证明，同理可得，所以可推理得是等边三角形，故正确；对，取的中点，连接，为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，所以为二面角的平面角，所以，故正确；故选：.【点睛】本题考查空间中图形的翻折问题、线面、面面位置关系、异面直线所成角、二面角等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量.三、填空题13命题“，都有”的否定：_.【答案】，使得【解析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是：，有；故答案为：，有【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14不等式的解集是_【答案】【解析】将分式不等式转化为整式不等式，解得.【详解】解：故不等式的解集为：故答案为：【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.15已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 【答案】 【解析】试题分析：因为双曲线的离心率为2，所以1+ =4，=3，又双曲线焦点与椭圆的焦点相同，即焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为。【考点】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。点评：基础题，圆锥曲线中A,b,c,e的关系要熟悉，并做到灵活运用。16已知，那么的最小值为_.【答案】10【解析】先根据条件消掉，即将代入原式得，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值【详解】解：因为，所以，因此，当且仅当：，即时，取“”，即的最小值为：，故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题四、解答题17已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得 （2）由（1）得 18设集合，若“”是“”的充分不必要条件，试求满足条件的实数组成的集合.【答案】【解析】解一元二次方程化简集合，再由求得答案.【详解】，由于“”是“”的充分不必要条件.当时，得；当时，由题意得或.当时，得；当时，得.综上所述，实数组成的集合是.【点睛】本题考查充分条件与必要条件、一元二次方程和一次方程的求解，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.19已知，函数（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a1时，解不等式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可【详解】（1）f（x）2x对x（0，2）恒成立，a+2x对x（0，2）恒成立，+2x2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，a（2）当a=1时，f（x）=1，f（x）2x，12x，若x0，则12x可化为：2x2x+10，所以x；若x0，则12x可化为：2x2x10，解得：x1或x，x0，x，由可得12x的解集为：（，【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题20在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1.(1)求曲线的方程；(2)若直线 与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点的轨迹；（2）设直线与抛物线方程联立化为，由于，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线与直线的斜率之和0，即可证明【详解】（1）曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1，所以动点到直线的距离与它到点的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线；（2）证明：设.联立，得，（），,，直线线与直线的斜率之和：因为直线与直线的斜率之和为，直线与直线的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21在长方体中，为中点 （）证明：（）求与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：根据已知中长方体中，是侧棱的中点，结合长方体的几何特征，我们可得,结合线面垂直的判定定理即可得到平面,即可得出结论。建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求与平面所成角的正弦值。解析：证明：连接是长方体，平面又平面，在长方形中，又平面而平面,如图建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则令则所以与平面所成角的正弦值为22已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1）求的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）或【解析】分析：（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程.（2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程.详解：（1）依题意可知，即，由右顶点为得，解得，所以的标准方程