2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算教案文新人教A版.docx

第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) 提醒f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x(x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)提醒求导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：，(cos x)sin x.常用结论1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数周期函数的导数还是周期函数2函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”二、习题改编1(选修11P85A组T5改编)已知函数f(x)2xf(1)xln x，则f(1)()AeB1C1 De答案：C2(选修11P85A组T6改编)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以a10，得a1，所以f(x)x3x，f(x)3x21，所以f(0)1，f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yf(0)f(0)x，即yx.故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)混淆平均变化率与导数的区别；(2)导数的运算法则运用不正确1函数f(x)x2在区间1，2上的平均变化率为 ，在x2处的导数为 解析：函数f(x)x2在区间1，2上的平均变化率为3；因为f(x)2x，所以f(x)在x2处的导数为224.答案：342函数y的导函数为 解析：y.答案：y导数的运算(多维探究)角度一求已知函数的导数 求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)yln x.【解】(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).注意求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量角度二求抽象函数的导数值 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2) 【解析】因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).【答案】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)f(x0)g(x)h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f(x)，令xx0，即可得到f(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值1下列求导运算正确的是()A.xB(x2ex)2xexC(xcos x)sin x D1解析：选D.对于A：(ln x)，对于B：(x2ex)(x22x)ex，对于C：(xcos x)cos xxsin x，对于D：1.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)()A2 B4C6 D8解析：选C.由已知得，f(x)6x2f(2)，令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)30246.3求下列函数的导数：(1)yx(ln xcos x)；(2)y；(3)yln x.解：(1)yln xcos xxln xcos xxsin x1.(2)y.(3)yln x.导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程 (2020湖南省湘东六校联考)已知曲线f(x)exx2，则曲线在(0，f(0)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 【解析】由题意，得f(x)ex2x，所以f(0)1.又f(0)1，所以曲线在(0，f(0)处的切线方程为y11(x0)，即xy10，所以该切线与x，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为11.【答案】求曲线切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率(2)由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)注意“过”与“在”：曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点角度二求切点坐标 若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是 【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为yln x1，所以切线的斜率kln x01，由题意知k2，得x0e，代入曲线方程得y0e.故点P的坐标是(e，e)【答案】(e，e)【迁移探究】(变条件)若本例变为：若曲线yxln x上点P处的切线与直线xy10垂直，则该切线的方程为 解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为yln x1，由题意得ln x011，所以ln x00，x01，即点P(1，0)，所以切线方程为yx1，即xy10.答案：xy10求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (2019高考全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1【解析】因为yaexln x1，所以y|x1ae1，所以切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，与切线方程y2xb对照，可得解得故选D.【答案】D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上1(2019高考全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10解析：选C.依题意得y2cos xsin x，y|x(2cos xsin x)|x2cos sin 2，因此所求的切线方程为y12(x)，即2xy210，故选C.2如图，已知直线l是曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线，则直线l的方程是 ；f(2)f(2)的值为 解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k，可得直线l的方程为yx4，即为x2y80；由导数的几何意义可得f(2)，则f(2)f(2)3.答案：x2y803(2020郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)ln xax(aR)的图象与直线xy10相切，则实数a的值为 解析：设直线xy10与函数f(x)ln xax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f(x)a，所以由题意，得，解得a1.答案：1核心素养系列7数学运算求曲线的切线方程数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等 已知曲线yx3上一点P，则过点P的切线方程为 【解析】(1)当P为切点时，由yx2，得y|x24，即过点P的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y4(x2)，即12x3y160；(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为yxx(xx0)，因为切线过点P，把P点的坐标代入切线方程，求得x01或x02(即点P，舍去)，所以切点为Q，即所求切线方程为3x3y20.综上所述，过点P的切线方程为12x3y160或3x3y20.【答案】12x3y160或3x3y20求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标1(2019高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 解析：设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm)又切线过点(e，1)，所以有n1(me)再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1)答案：(e，1)2(2020安徽安庆期末改编)已知函数yf(x)对任意的xR都有f(1x)2f(x)x21，则f(1) ，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 解析：由题可得解得f(x)x2x.所以f(1)1，f(x)2x，所以f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即8x3y50.答案：18x3y50 基础题组练1下列求导数的运算中错误的是()A(3x)3xln 3B(x2ln x)2xln xxC.D(sin xcos x)cos 2x解析：选C.因为，C项错误2已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3B2C1 D解析：选A.因为y，令y，解得x3，即切点的横坐标为3.3已知函数f(x)可导，则 等于()Af(x) Bf(2)Cf(x) Df(2)解析：选B.因为函数f(x)可导，所以f(x) ，所以 f(2)4函数g(x)x3x23ln xb(bR)在x1处的切线过点(0，5)，则b的值为()A. B.C. D解析：选B.当x1时，g(1)1bb，又g(x)3x25x，所以切线斜率kg(1)35311，从而切线方程为y11x5，由于点在切线上，所以b115，解得b.故选B.5已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”给出下列四个函数：f(x)x2；f(x)ex；f(x)ln x；f(x)tan x.其中有“巧值点”的函数的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B.对于，若f(x)x2，则f(x)2x，令x22x，得x0或x2，这个方程显然有解，故符合要求；对于，若f(x)ex，则f(x)ex，即exex，此方程无解，不符合要求；对于，若f(x)ln x，则f(x)，若ln x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，符合要求；对于，若f(x)tan x，则f(x)，令f(x)f(x)，即sin xcos x1，变形可sin 2x2，无解，不符合要求故选B.6(2020江西南昌一模)设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且f(ln x)xln x，则f(1) 解析：因为f(ln x)xln x，所以f(x)xex，所以f(x)1ex，所以f(1)1e11e.答案：1e7(2020四川绵阳一诊改编)若函数f(x)x3(t1)x1的图象在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，则t ，切线方程为 解析：因为函数f(x)x3(t1)x1，所以f(x)3x2t1.因为函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，所以f(1)3(1)2t12t0，解得t2.此时f(x)x33x1，f(1)1，切线方程为y1.答案：2y18已知函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，则曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为 解析：由题意知，f(2)2213，所以g(2)437，因为g(x)2xf(x)，f(2)2，所以g(2)2226，所以曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为y76(x2)，即6xy50.答案：6xy509求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)ysin(12cos2)；(3)y.解：(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)因为ysin(cos)sin x，所以y(sin x)(sin x)cos x.(3)y.10(2020甘肃会宁一中模拟)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解：(1)由yx3x2，得y3x21.令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4)(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为.因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.综合题组练1.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C3 D4解析：选B.由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率为，即f(3)，又g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3