断裂力学讲义第三章： 弹性力学的平面问题

26 第 3 章 弹性力学的平面问题 任何弹性力学问题都是空间问题 但是在某些条件下 它们可以简化为平面问题 在平面问题中 我们以 x y z 表示直角坐标系的三个坐标 以 u v w 表示相应的位移分量 而 以 和 分别表示相应的应力分量和应变分量 xx yy xx yy 3 1 平衡方程与变形协调方程 在平面问题里 所有位移量都只是 x y 的函数 与 z 无关 因而所有应变和应力分量也都只 是 x y 的函数 与 z 无关 平衡方程平衡方程 2 40 可简化为 3 1 0 0 y yyxy x xy xx f yx f yx 变形协调方程变形协调方程 2 63 只余下 3 2 yxxy xyyy xx 2 2 2 2 2 2 3 2 平面应力与平面应变 3 2 1 平面应力问题 平面应力问题是指 发生在物体某一方向 z 方向 的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中 即物体是一个很薄的平板 此外还要求板的厚度均匀 所有外力都作用在板的中面内 或者所有 外力都作用在与中面平行的平面内 且载荷对中面对称 根据这些前提条件 在物体的两个端面 上下底面 上 进而整个物体内 0 其它应力分量应力分量中 zz 0 zyzx 平面应力的应变分量应变分量 根据虎克定律 2 95 式 有 0 zxyz 3 3 yyxxzz E 利用 2 95 式 虎克定律虎克定律可以写成 3 4 xyxyxy xxyyyy yyxxxx E E E 1 2 1 1 1 3 2 2平面应变问题 平面应变问题是指 在弹性体沿某一方向 z 方向 的尺度远大于其余两个方向的尺度 而且 物体形状及载荷沿 z 方向不变的情况下 在任一远离端部且与 xoy 平行的平面内 物体的变形都 是相同的 此外 由于 z 方向尺度极大 不能产生 z 方向的位移 即 因此 物体内的变0 w 形只发生在与 xoy 平行的平面内 这类弹性力学问题称之为平面应变问题 由应变与位移的关系 直接得出 其它应变分量应变分量中 0 zz 0 zxyz 27 平面应变的应力分量应力分量 根据虎克定律 3 15 式 有0 zxyz 3 5 yyxxzz 利用 2 95 式 虎克定律虎克定律可以写成 3 6 xyxyxy xxyyyy yyxxxx E E E 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 虎克定律的统一形式 引入符号 3 7 1 2 平面应力 平面应变 E E E 1 平面应力 平面应变 代入 3 4 和 3 6 式 虎克定律虎克定律可以统一写成 3 8 xyxyxy xxyyyy yyxxxx E E E 1 2 1 1 1 以应力表示的变形协调方程变形协调方程为 3 9 yxxxxy xy xx yyyy xx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 也可改写为 3 10 y f x f y x yyxx 1 2 其中为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 yx 由 3 7 还可以得到一个常用的关系式 3 11 2 1 E 在后面我们还经常用到一个材料常数 它的定义是 3 12 1 3 43 平面应力 平面应变 利用弹性常数之间的关系式 2 97 还可以得到常用的关系式 3 13 4 2 1 E 1 2 2 1 E 3 3 iry 应力函数 应力函数有许多种 本节只介绍平面问题中常用的 Airy 应力函数 在 3 10 中引入体力的势函数 V 满足 28 3 14 x V fx y V fy 和 Airy 函数函数使 yxU 3 15 V y U xx 2 2 V x U yy 2 2 yx U xy 2 则平衡方程自动满足 代入协调方程 得到 3 16 VUU 2422 1 式中 3 17 4 4 22 4 4 4 224 2 yyxx 当体力势为零时 U 满足双调和方程双调和方程 3 18 0 4 U 应力分量与 Airy 函数的关系成为 3 19 2 2 y U xx 2 2 x U yy yx U xy 2 Airy 函数可以取多种形式 例如多项式 三角函数等 这里只介绍一些矩形的平面问题 并 取应力函数为多项式的形式 由 3 18 可知 U 必须是二次以上的多项式 因为一次多项式只能使应力为零 在以下例子 中 我们都假定 0 V 表 3 3 1 列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布 各应力函数相应的 矩形板的边界条件如表 3 3 1 第 4 列显示 表表 3 3 13 3 1 应力函数 U应 力矩形板的边界条件 1 2 2 1 ax 0 0 xy yy xx a 2 2 2 1 cy 0 0 xy yy xx c 3ybx b xy yy xx 0 0 4 yx e 2 2 ex ey xy yy xx 0 5 3 6 y g 0 0 xy yy xx gy 当 U 是一个高于三次的多项式时 则不能任取一项 此多项式的系数必须满足某种关系时 29 才能取为应力函数 3 4 极坐标系中平面问题的基本方程 应力应力 根据 2 1 的应力张量坐标变换的方法 可以得出极坐标中应力分量与直角坐标系中应 力分量的转换关系 3 20 sin coscossin cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 xyxxyyr xyyyxx xyyyxxrr 反过来 3 21 sin coscossin cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 rrrxy rrryy rrrxx 由 3 20 还可以得到下面的关系式 3 22 i xyxxyyrrr yyxxrr eii 2 2 2 极坐标的位移分量位移分量与直角坐标系中的位移分量间有如下关系 uur 3 23 v u u ur cossin sincos 上式也可表示为 3 24 i r eivuiuu 应力应变关系应力应变关系 统一写成 3 25 rr rr rrrr E E E 1 2 1 1 1 r 其中 参见 3 7 式 E 平衡方程平衡方程 3 26 0 12 0 1 f rrr f rrr rr r rrrrr 3 5 应力函数的复变函数表示 弹性力学的复变函数解法由 Muskhelishvili 1953 等系统研究 并形成了一套完整的解法 这些方法在断裂力学中也得到广泛应用 在以下讨论中 我们假定体力为零 在 3 3 节 我们已经引进了应力函数使各应力 yxU 30 分量满足 3 13 从而使成为双调和函数 进一步 我们选择解析函数和 U0 4 U z zg 将 U 表示为 3 27 RezgzzU 记 可以验证 zgz 3 28 22 Re 4 zzzi z xyxxyy xxyy 上式称为柯洛索夫公式柯洛索夫公式 利用虎克定律求出应变和 然后利用应变与位移的关系作积分 xx yy 得到位移的复变函数表示为 3 29 2zzzzivu 其中和分别表示和的共轭函数 的定义参见 3 12 式 z z z z 利用坐标变换可以得出 在极坐标系中 柯洛索夫公式可以表示为 3 30 i r i rrr rr ezzzziuu ezzzi z 2 22 Re 4 2 将上式中的第一式减第二式得到另一个相当有用的公式 3 31 i rrr ezzzzzi 2 3 27 的另一种写法为 3 32 2 1 zgzgzzzzU 称之为古莎公式古莎公式 3 6 边界条件的复变函数表示 3 6 1 力的边界条件 通常给定物体边界上应力矢量 利用 Cauchy 公式 2 9 x T y T 3 33 yyxyy yxxxx mlT mlT 由图 3 1 可知 dsdyxNl cos dsdxyNm cos 再利用 3 19 式 将应力用应力函数表示 得到 ds dx y U xds dy y U yds dx yx U ds dy y U Tx 2 2 2 所以 图 3 1 31 3 34 y U ds d Tx x U ds d Ty 参照柯洛索夫公式 我们用应力矢量的复数表达式 y U i x U ds d i x U ds d i y U ds d iTT yx 利用古莎公式 3 32 有 2 1 zgzgzzzzU 2 2 1 zgzgzzzzzz i y U zgzgzzzzzz x U 记 得到 zgz 3 35 zzzz y U i x U 因此得 zzzz ds d iiTT yx 或者 3 36 zzzz ds d iTTi yx 将上式沿物体边界对弧长积分 例如从 A 到 B 图 3 1 则得 3 37 B A B Ayx zzzzdsiTTi 上式中等于在边界上 AB 段内应力矢量的主矢量 其中 X Y 分别为 AB 段上 B A yx dsiTTi iYX 应力矢量得主矢 R 在 x y 方向上的投影 如果选定 A 点为边界上的某一基点 定点 B 点为边界上的任意点 动点 则记为 z 而式 B z 3 37 可写成 3 38 A zz B A yx zzzzdsiTTizzzz 可以证明 参见尹祥础 1995 如果取 0 A zz zzzz 并不影响应力和位移 因而可以使 3 38 简化为 3 39 B A yx dsiTTizzzz 上式就是用 表示的力的边界条件 其中 A 点为边界上的某一固定点 B 点代表动点 z z x y 同理可得 3 40 B AAB zz zzzzgM Re 其中表示作用在边界 AB 段上所有外力对原点的合力矩 AB M 3 6 2 位移的边界条件 对于边界上的位移给定为 yxuu yxvv 的情况 按柯洛索夫公式 可立即得到其边界条件为 3 41 2 yxivyxuzzzz 32 3 7 用复变函数方法解弹性力学平面问题的若干实例 3 7 1 均匀应力场 取复应力函数 3 42 Hz zH 其中 H H 为复常数 iCBH iCBH 其中 B B C C 为实常数 按柯洛索夫公式 2 2 22 4 Re 4 iCBHzzzi Bz xyxxyy xxyy 由上式可得 3 43 2BB xx 2BB yy C xy 可见 应力函数 3 42 代表均匀应力场 适当地选择各常数的值 可以得到不同的应力状态 另 外 由 3 43 可知 C 的值对应力值不起作用 故取 0 C 1 沿方向的单向拉伸 拉应力为 x 1 远场边界条件为 代入 3 43 得 因 1 xx 0 xyyy 4 1 B2 1 B0 C 此复应力函数为 3 44 4 1z z 2 1z z 2 沿两个方向双向拉伸 拉应力分别为和 yx 1 2 远场边界条件为 代入 3 43 得到 1 xx2 yy 0 xy 4 21 B 因此复应力函数为2 12 B0 C 3 45 4 21 zz 2 12 zz 3 纯剪 剪应力为 0 远场边界条件为 类似地得到 复应力函数为0 yyxx 0 xy 0 BB 0 C 3 46 0 z ziz 3 最一般的情况 主应力为 与 x 轴的夹角为 1 2 1 由柯洛索夫公式 2 2 4 2 21 21 iCBei B i xyxxyy xxyy 解之得 3 47 4 21 B 2cos 2 21 B 2sin 2 21 C 相应的复应力函数为 3 48 i zez zz 2 21 21 2 4 位移 将式 3 42 代入位移的柯洛索夫公式 3 29 将实部与虚部分开得到 3 49 1 1 2 1 1 1 2 1 yBBxCCv yCCxBBu 33 3 7 2 无限大平板中有一圆孔 孔壁受均匀压力 p 图 3 2 取 3 50 0 z zz 按柯洛索夫公式 rezzzziuu rezezzzi z i r ii rrr rr 2 2 2 22 0 Re 4 222 解之得 2 r rr 2 r 0 r 2 rur 0 u 利用孔壁内边界条件 时 得 最后得到Rr p rr 2 pR 3 51 0 22 22 r rr rpR rpR 0 2 2 u rpRur 在孔壁上 即Rr p rr 3 52 p 在岩体中钻孔后施加压力 p 只要能测出在 p 作用下孔壁的径向位移 就可求出 Rrr u 3 7 3 带圆孔无限大平板受到单向拉力的问题 如图 3 3 所示 在无限大平板中有一圆孔 半径为 R 在无限远处受到单向拉力的作用 1 并取此方向为 x 轴 取如下的解 3 53 3 1 1 2 4 z C z B zz z A zz 其中 A B C 均为实常数 本问题的边界条件为 时 Rr 0 rr 0 r 可求出 3 54 2 2RA 2 RB 4 RC 最后得 2sin 32 1 2 2cos 3 1 2 1 2 2cos 34 1 2 1 2 4 4 2 2 1 4 4 1 2 2 1 4 4 2 2 1 2 2 1 r R r R r R r R r R r R r R r rr 3 55 和断裂力学直接相关的是孔边的周向应力 在式 3 55 中第二式中令 r R 得 Rr 3 56 2cos21 1 Rr 当 图 3 4 中 A B 两点 即应力集中系数为 3 最大应力与平均应 90 1max 3 图 3 2 无限大介质中 圆孔受均匀内压 问题 34 力之比 当时 与异号 这意味着当为压应力时 在范围内为拉应 30 1 0 1 30 力 特别当时 0 1 图 3 3 带圆孔平板的受单向拉力问题 图 3 4 再将式 3 53 3 54 代入柯洛索夫公式中 可求得位移为 3 57 2sin1 228 2cos11 2 2cos21 8 2 2 1 2 2 1 r R r R R r R u r R r R R r R ur 孔壁的径向位移也有特别重要的意义 将代入上式即可得 RrrR uu Rr 3 58 2cos21 8 1 1 R uR 3 7 4 带圆孔无限大平板受到双向拉力的问题 当沿 x 方向作用主应力 沿 y 方向作用主应力时 利用叠加原理 可得到其应力分布 1 2 及孔壁径向位移分别为 3 59 2cos 2 8 1 2sin 32 1 2 1 2cos 3 1 2 1 1 2 1 2cos 34 1 2 1 1 2 1 2121 4 4 2 2 21 4 4 21 2 2 21 4 4 2 2 21 2 2 21 R u r R r R r R r R r R r R r R R r rr 在式 3 59 中第二式中令 r R 得 3 60 2cos2 2121 Rr 当 图 3 5 中 A B 两点 时 90 21max 3 当或 图 3 5 中 C D 两点 时 0 180 图 3 5 35 3 61 21 3 当 均为压应力时 若记 为绝对值 则上述各式中 换为 1 2 1 2 1 2 1 2 3 8 地应力和地应力的测量 地壳中的应力场是地学中的基本课题之一 它与地学中的许多重大课题 诸如地震的孕育与 预报 构造物理学等 密切相关 一般认为 地应力的三个主应力方向分别沿水平方向和垂直方 向 其中垂直方向记为 水平方向的两个主应力按绝对值大小记为和 当 v zmaxH minH 然 也有些地区不满足上述假设 这些地方的主应力与垂直向或水平向成某种角度 最简单的地应力状态是没有构造应力的地壳上部应力场 在这种情况下 其中gh v 为岩石密度 例如花岗闪长岩的 h 为深度 g 为重力加速度 假定水平方向没有 2 g cm7 2 变形 即 代入 2 94 式 有0 xyyyxx 0 1 zzyyxxxx E 0 1 xxzzyyyy E 得到 3 62 gh HH 1 minmax 地应力状况分几种类型 如令 则按照绝对值可划分为 321 1 垂直向为中间主应力 即 max1H v 2min3H 2 垂直向为最大主压应力 v 1max2H min3H 3 垂直向为最小主压应力 max1H min2H v 3 地应力的测量方法分为绝对测量与相对测量两大类 前者是指测量地壳中某处 某点 的实际 应力状态 后者则是测量该处应力的变化 一般来说前者比后者更困难些 绝对测量法中较常用 的是应力解除法与水压致裂法 3 8 1 应力解除法 如图 3 6 所示 在岩石表面垂直钻一圆孔 半径为 R 直径为 D 利用套钻或其它方法在此 孔的周围挖成一个环形槽 从而使孔 R 周围岩体中原来所受到的应力和被解除 应 maxH miny 力解除过程是应力加载的拟过程 在孔中安置仪器 测量应力解除后孔壁的径向位移 实际 R u 操作常常是测量半径 D 的变化 而 至少需要测量三个角度上的D DDRuR 321 如图 3 7 角度差 通常取为或 按式 3 57 R u 1223 60 45 3 63 2 2cos 2 8 1 2cos 2 8 1 2cos 2 8 1 1minmaxminmax 33 1minmaxminmax 22 1minmax