对高考应用题的回顾、预测与建议

对高考应用题的回顾 预测与建议对高考应用题的回顾 预测与建议 大沥高级中学数学备课组大沥高级中学数学备课组 陈陈 建建 中中 对高考应用题的历史回顾从 1977 年恢复全国统一高考到 1993 年间 数学应 用题也常出现在高考试题中 只是没有形成制度 时考 如 79 80 88 93 等 时不考 如 78 87 89 等 即使考应用题 力度也远远不够 进入九十年代以来 随 着 由应试教育向素质教育转轨 的呼声不断高涨 一些教育专家 学者对高考命 题改革进行了深入的思考 并提出了一些建设性的意见 得到了有关方面的广泛的 认可和支持 并被采纳 从 95 年至今 已连续四年在高考试题中出现了 10 至 12 分 的数学应用 解答 题 在今后的高考中 数学应用题的考查力度在保持稳定的基础 上 将会逐步加强 这是时代的需要 是历史的必然 笔者对 95 至 98 四年的高考 应用题加以对比分析 形成拙见如下 首先请看 95 至 98 四年高考应用 解答 题 的基本情况表 年度题号情 境数学模型主要解题障碍难度 9524 市场经济问题 函数 不等式解不等式 组 0 389623 人口土地问题方程 不等式建模 近似计算 0 319722 汽车运费问题函数 最小值求最小值 0 539822 污水处理问题函数 最小 值建模 求最小值 0 45 为便于叙述 我们用 JMNL 表示建模能力 用 JMNLD 表示 考查建模能力的力度 用 CSNL 表示常规的数学能力和思想方法 用 CSNLD 表示考查 常规的数学能力和思想方法的力度 1 1 定位合理从上表不难看出 应用题定位在 中档题上 并从 95 年的 24 题移至 97 年 98 年的 22 题 根据目前考生的数学应用 意识和能力 这一定位是切合实际的 合理的 特别是 95 年 96 年的应用题难度过 大 国家考试中心本着 适当控制难度 的原则 进行了及时调整 使 97 年 98 年 应用题的难度降了下来 这是实事求是的明智之举 1 2 考题背景贴近生活近四年 高考应用题的情境 都是当前社会面临的热点问题和具有重大现实意义的问题 非 常贴近百姓的日常生活 没有牵强 硬扯的痕迹 使考生感到亲切 自然又身临其 境 1 3 对于 JMNL 的要求比较适中近四年的高考应用题基本上体现了重点考查 JMNL 的目的 但对于 JMNL 的要求并不过高 比较切合考生的实际 95 年 97 年试题 均指应用解答题 下同 多数考生都能完成建模 98 年试题对 JMNL 要求有所提高 但把握得恰到好处 只有 96 年试题对 JMNL 要求过高 1 4 美中不足 1 考查 JMNL 不够突出考查 JMNL 不够突出主要表现在 第一 对 JMNL 要求偏低 如 95 年 97 年 试题 考虑到第一年考应用 解答 题 对 JMNL 要求放低 以求在稳定中逐步加强 因 而对于 95 年试题 JMNL 要求较低是可以理解的 但是 对于 97 年试题 JMNL 的过低 要求却多少有些令人感到茫然 既使是为了 适当控制难度 是否就一定以过于 降低 JMNL 的要求为代价呢 实事求是地说 作为一道普通的数学题目 这无疑是一 道好题 但是 作为应用题考查考生 JMNL 笔者以为这是强其所难了 第二 JMNLD 与 CSNLD 比例失调 甚至 CSNLD 远远大于 JMNLD 建模 成为淡淡的一笔而被一带而 过 因而应用题形同虚设 2 对于 CSNL 要求过高 95 年 96 年试题难度分别为 0 38 和 0 31 偏难 97 年试题难度虽然达到了 0 53 但这是得益于对 JMNL 的要求过低 应用题难度大 主要原因是对于 CSNL 的要求过高 如 95 年试题的解方程 解不等 式 96 年试题的近似计算 97 年试题的求最小值 这些都不低于甚至远远超出了对 JMNL 的要求 有喧宾夺主之嫌 特别是 97 年试题的求最小值 需要分类讨论 并且当 ab c 时 涉及了函数 y s av bv 在 0 ab 上的单调性 或当 0 v c ab 时 证明不 等式 s av bv s ac bc 可见 仅就这一问题便可至少占其 半壁江山 了 实际 上把应用题 一般化 了 与其它试题混为一谈 难以发挥出应用题特有的功能 因 而也就失去了考应用题的意义了 2 对高考应用题的前景预测与建议 2 1 保持稳 定循序渐进虽然高考命题范围已经作了调整 但在近几年内 特别是近两年内 高考 试题还将基本保持稳定 解答题中的应用题 还将稳定在序号为 22 号左右的位置 和 10 至 12 分的力度上 进入 21 世纪 随着教育改革的不断深入和新教材的使用 无论高考采取何种模式 应用题的考查力度都会逐步加大 这是不可逆转的必然趋 势 美国颇具影响的 GRE GraduateRecordExamination 测试 攻读学位的留学生 无 论学文学理都必须通过 GRE 考试 的数学试题中 应用题占 25 一卷多 应用 题 易 中 难齐全 情境除了传统的路程问题 工程问题 浓度问题等等以外 几乎 涉及现代生活的各个方面 如人口问题 工资问题 犯罪问题 法律事务 货币换 算 学校经费 就业与失业 广告与税款 利息与折扣等等 我国的数学教育要适 应时代的需要 要与国际数学教育接轨 不会照搬外国的模式 但是 国外的成功经 验和优秀成果值得我们借鉴 2 2 突出 JMNL 从总体上看 四年来高考应用题的现 状是 JMNLD CSNLD 而且二者比例失调 给人以头过轻脚过重的感觉 98 年试题大 有改观 JMNLD 与 CSNLD 接近 比例比较和谐 今后两年的高考将会稳定在 98 年试题 这个相对力度上 且会更突出 JMNL 而对于 CSNL 的考查完全可以在其余的 130 多分 的试题中得以充分的体现 进入 21 世纪以后 应用题的数量和分值都将会逐步增加 高 中 低档题目逐渐齐全 JMNLD CSNLD 型与 JMNLD CSNLD 型将同卷共存 但从总体 上讲将趋向于 JMNLD CSNLD 不排除应用题作为压轴的可能 2 3 建模条件具有适 度的隐蔽性应用题建模条件具有适度的隐蔽性是考查学生建模能力的一个重要方 面 96 年试题虽然给出了 粮食单产 和 人均粮食占有量 的计算提示 但是 建 模条件的隐蔽性仍显过强 而 97 年试题建模条件的隐蔽性过弱 因而都没有充分发 挥应用题特有的功能 今后高考应用题的命题将会充分注意建模条件要具有适度的 隐蔽性 例 1 以汽船拖载重相等的小船若干只 在两港之间来回运送货物 已知每 只汽船拖 4 只小船一日能往返 16 次 每只汽船拖 7 只小船则一日能往返 10 次 如 果小船增多的只数与往返减少的次数成正比 问每日往返多少次 每只汽船拖多少 只小船能使运货总量达到最大 解 设每只汽船拖 m 只小船时 每日能往返 n 次 每 次每只小船载重量为 t 日运货总量为 W 则小船增加的只数为 m 4 每日往返减少的 次数为 16 n 依题意有 m 4 k 16 n 且当 m 7 时 n 10 易得 k 12 故有 n 24 2m 0 m 12 W n mt 2 12 m mt 72t 当且仅当 m 6 时取等号 此时 n 12 故每日往返 12 次 每次拖 6 只小船能使运货总量最大 本题建模涉及的数量较多 且它们之间的关系具有一定的隐蔽性 因而需要有较强的建模能力 才能完成建模 但从建模的过程看 难度并不大 因此 本题建模条件具有适度的隐蔽性 2 4 所给 材料具有原始性人们在日常生活和社会活动中所遇到的问题 一般都具有 原始性 需要自己去观察 分析 整理和发现解决问题的有效因素 这本身就是一种能力 的体现 高考应用题也可以提供原始材料 要求考生解答某些 个 问题 这样更能体 现 应用 的特点 例 2 据 经济日报 1995 年 8 月 24 日报道 记者采访建设部 部长候捷 谈工薪阶层购房问题 候部长说 造价每平方米 1000 元左右 还可 以采取个人购房抵押贷款的方式 解决一次性付款有困难的问题 比如首先支付 40 的房款 剩下的分 10 年还清 请根据上面提供的材料解答下面的问题 若职 工小李将全部积蓄的本息 13334 元恰好付掉了 40 的购房款 其余部分向银行贷款 支付 1 小李应向银行贷款多少元 保留三位有效数字 2 若购房贷款年利率为 10 按复利计算 这笔贷款需从贷款之日起 每年等额归还一次 问小李每年应还 多少元 精确到 1 元 解 1 由题意得 小李的这笔贷款额为 13334 40 13334 20001 20000 元 2 设小李每年应归还 x 元 由题设知需 10 年还清 因而 由题意有 一年后贷款余额为 20000 1 10 x 二年后贷款余额为 20000 1 10 x 1 10 x 20000 1 10 2 x 1 1 10 十年后贷款 余额为 20000 1 10 10 x 1 1 10 1 10 2 1 10 9 0 解得 x 20000 0 1 1 1101 110 1 3261 元 即每年应归还 3261 元 来自广播电视 报刊杂志的信息以及政府机关 企事业单位的报告 计划 统计资料等等 都是应 用题原始资料的重要来源 2 5 一题多模一题多模是突出 JMNL 的一种有效途径 95 年试题就是一题双模 即 1 建立政府补贴函数 2 建立平衡价格不等式 请再看 一例 例 3 在对口扶贫活动中 为了尽快脱贫 无债务 致富 企业甲将经营状况良 好的某种消费品专卖店以 5 8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有 偿还的小型残疾人企业乙 并约定从该店经营的利润中 首先保证企业乙的全体职 工每月最低生活费的开支 3600 元后 逐步偿还转让费 不计息 在甲提供的资料中 有 1 这种消费品的进价每件 14 元 2 该店月销量 Q 百件 与销售价格 P 元 的关系 如图 3 每月需各种开支 2000 元 1 试问为使该店至少能够维持职工生活 商品价格应控制在何范围内 2 当商品的价格为每件多少元时 月利润扣除职工最低生活费的余额最大 并求 最大余额 3 企业乙只依靠该店 最早可望在几年后脱贫 解 设该店月利润余额为 L 则由 题设得 L Q P 14 100 3600 20001 由销量图易得 Q 2P 50 14 P 20 32P 40 20 P 26 代入 1 式得 L 2P 50 P 14 100 5600 14 P 20 32P 40 P 14 100 5600 20 P 26 1 当 14 P 20 时 由 L 0 得 18 P 20 当 20 P 26 时 由 L 0 得 20 P 22 故商 品销售价应控制在 18 P 22 的范围内 2 当 14 P 20 时 L 最大 1800 这时 P 19 5 元 当 20 P 22 时 L 最大 1250 元 故当 P 19 5 元时 月利润余额最大 为 1800 元 3 设可在 n 年内脱贫 依题意有 12n 1800 50000 58000 0 解得 n 5 即最早可望在 5 年后脱贫 本题经过了三次建模 1 根据月销量图建立 Q 与 P 的函数关系 2 建立利润余额函数 3 建立脱贫不等式 2 6 重视统计图表 当 今社会 阅读统计图表已成为人们了解社会 获取信息的重要手段 2 然而 在国际数学测试中 我国的学生阅读 分析图表的能力低于韩国 台湾 前苏联 美国 瑞士和加拿大等国家和地区 特别是发达的国家和地区 非常重视阅读和 分析统计图表 这应该引起我国数学教育界和有关方面的高度重视 我们相信在 不远的将来 统计图表问题一定会走进中国的高考试题中 因而它也将成为我们 进行应用题教学的一项新内容 请看一例 GRE 试题 例 4 根据下图回答问题 1 在 1946 年 危害国家安全罪 National SecurityOffenses 犯大约占法院判 决的联邦囚犯的百分数是多少 A 15 B 20 C 25 D 30 E 35 2 在 1947 年到 1950 年四年中 哪一类罪犯的总数最大 A 危害国家安全罪 B 其它罪 OtherOffenses C 贩卖毒品罪 Drugs D 非法移民罪 Immigration E 非 法酿酒罪 Liquor 3 下面的哪一个陈述能从图中推测出来 法院判决的联邦罪犯数从 1946 年到 1948 年是逐年递减的 1944 1952 年间的其它罪的数目超过了犯罪数的 40 1952 年因贩卖毒品罪被判刑的罪犯数是联邦囚犯的 2 A 仅仅是 B 仅 仅是 C 仅是 和 D 仅是 和 E 全是在 GRE 数学试题中 统计图表问 题约占 20 美国数学教育重视统计图表的程度 由此可见一斑 3 对应用题的 教学建议具有一定的应用数学的意识和能力 是现代人综合素质的一个重要方面 也 将是在新世纪的激烈竞争中人们赖以生存的本领之一 因此 培养学生应用数学 的意识和能力 使学生 学会数学地思维 是时代赋予我们数学教师的新的历史 使命 而数学应用题的教学是实现这个目标的重要途径 所以 我们要抓早 抓实 抓好应用题的教学 首先 要统筹安排 根据教学大纲和教材内容 有计划 有目 的地适时切入应用题教学 切实克服应用题教学的盲目性和随意性 要求精忌滥 不搞题海战术 其次 要坚持理论联系实际的原则 经常地 有意识地把有关的数 学知识与现实生活联系起来 引导学生运用数学的立场 观点 思想和方法 去 观察和分析各种社会现象