高中数学高考中的线性规划试题专题辅导

用心 爱心 专心 高中数学高中数学高考中的线性规划试题高考中的线性规划试题 简单线性规划是教材中的新增内容 纵观近几年的高考试题 线性规划的试题多以选 择题 填空题出现 但部分省市已出现大题 分值有逐年加大的趋势 简单线性规划正在 成为一个高考热点 认真分析研究近年各地高考试卷 可以发现这部分高考题大致有以下 四个类型 一 求目标函数的最值问题 例 1 在约束条件下 当时 目标函数的最大值的变化范 4x2y syx 0y 0 x 5s3 y2x3z 围是 y D y 2x 4 C B O A x y x s A 6 15 B 7 15 C 6 8 D 7 8 解 由则由题意知 A 0 2 B 4s2y s4x 42xy syx s4 4 s2 C 0 s D 0 4 1 当时可行域是四边形 OABC 此时 4s3 8z7 2 当时可行域是 此时 5s4 OAD 8zmax 由以上可知 正确答案为 D 点评 本题主要考查线性规划的基础知识 借助图形解题 例 2 已知平面区域 D 由以 A 1 3 B 5 2 C 3 1 为顶点的三角形内部和 外界组成 若在区域 D 内有无穷多个点 x y 可使目标函数取得最小值 则myxz m A B C 1D 42 1 解 由 A 1 3 B 5 2 C 3 1 的坐标位置知 所在的区域在第一ABC 象限 故 当时 z x 只有一个点为最小值 不合题意 当时 0y 0 x 0m 0m 由 z x my得 它表示的直线的斜率为 m z x m 1 y m 1 y A B C O x 用心 爱心 专心 1 若 则要使取得最小值 必须使最小 此时需0m myxz m z 即 m 1 13 31 k m 1 AC 2 若 m 0 则要使取得最小值 必须使最大 此时需myxz m z 与 m 0 矛盾 2m 53 21 k m 1 BC 即 综上可知 m 1 点评 本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决 问题的能力 二 求参数的取值问题 例 3 已知变量 x y满足约束条件 若目标函数 其2y x4 2yx1 yaxz 中 仅在点 3 1 处取得最大值 则 a 的取值范围为 0a C B O D A x y 解 由已知变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域 4yx1 2yx2 如图为四边形 ABCD 其中 A 3 1 目标函数 其中1kAD 1kAB yaxz 可转化为表示斜率为的直线系中的截距的大小 若仅在点 A 处取0a z zaxy a 得最大值 则斜率应小于 即 所以 a 的取值范围为 1 1kAB 1a 三 求约束条件问题 例 4 双曲线的两条渐近线与直线 x 3 围成一个三角形区域 表示该区域的4yx 22 不等式组是 A B C D 3x0 0yx 0yx 3x0 0yx 0yx 3x0 0yx 0yx 3x0 0yx 0yx 双曲线的两条渐近线方程为 两者与直线围成一个三角形区4yx 22 xy 3x 域时有 故选 A 3x0 0yx 0yx 点评 本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题 四 求面积问题 例 5 在平面直角坐标系中 不等式组 表示的平面区域的面积是 2x 02x y 02y x 用心 爱心 专心 A y C O B x A B 4C 2D 2242 由题知可画出可行域为 如上图 故选择 B ABC 4 2 2 04 S ABC 点评 本题考查简单的线性规划的可行域 三角形 的面积 同时切记做线性规划的 题目时 最关键的是不等号的处理 应考虑要求的区域是在直线的上方还是下方 练一练 1 已知点 P x y 的坐标满足条件点 O 为坐标原点 那么 PO 的最小值等于 1x xy 4yx 最大值等于 2 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 原料 B 分别为千克 b1千克 生产乙产品每千 1 a 克需用原料 A 原料 B 分别为 a2千克 b2千克 甲 乙产品每千克可获利润分别为 d1元 d2元 月初一次性购进本月所需原料 A B 分别为 c1千克 c2千克 则本月生产甲产品和 乙产品分别为多少千克才能使月利润总额达到最大 在这个问题中 设全月生产甲 乙两 种产品分别为 x 千克 y千克 月利润总额为 z 元 那么 用于求使总利润 最大的数学模型中 约束条件为 ydxdz 21 A B 0y 0 x cybxb cyaxa 221 121 0