2019-2020学年武汉市(第一中学、第三中学等六校)高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省武汉市(第一中学、第三中学等六校)高一上学期期末联考数学试题一、单选题1（ ）ABCD【答案】D【解析】根据诱导公式进行化简，从而得到答案.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式，特殊角三角函数值，属于简单题.2已知函数（是自然对数的底数）当时有唯一的零点，则该零点所在的区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】分别计算和的值，并判断正负，根据零点存在定理，得到答案.【详解】因为所以，的图像为连续的曲线，所以可得该零点所在区间为.故选：B.【点睛】本题考查根据零点存在定理求函数零点所在区间，属于简单题.3一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的弧长为6，面积为6，可得，解得，即扇形的圆心角为.故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）2，f（1.5）0.625，f（1.25）0.984，f（1.375）0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）A已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）D没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）【答案】C【解析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）故选C【点睛】本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由两角差的正切求得，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为，所以，解得，从而.故选C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查两角差的正切及二倍角公式，考查运算求解能力，是基础题6某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y（米）随时间t（秒）变化的关系式为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，根据题意得到和，根据周期得到，代入最低点，得到的值，从而求得的函数解析式，得到答案.【详解】根据题意，设，由题意可得，因为每5分钟转一圈，即周期，由得，代入最低点，代入可得，即，时，.故选：B.【点睛】本题考查根据性质求正弦型函数的解析式，属于简单题.7函数的一个单调递减区间是（ ）ABCD【答案】D【解析】函数的单调递减区间与单调递增区间相同，从而得到的范围，解出的范围，再对四个选项进行判断，得到答案【详解】函数的单调递减区间，与单调递增区间相同所以，解得，时，所以的一个单调递减区间是，故选：D.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，属于简单题.8已知函数的部分函数图像如图所示，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据图像得到周期，从而得到的值，再根据，结合中心对称，得到的值，从而得到的值，再计算，得到答案.【详解】根据图像可知，所以，根据，得，即，且是的一个对称中心，.即，.故选：D.【点睛】本题考查根据正弦型函数的图像求解析式，根据正弦型函数的对称性求值，属于中档题.9已知，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据，得到，通过诱导公式，得到，再根据同角三角函数关系，得到的值.【详解】，所以而，所以，即，再根据，得到.故选：A.【点睛】本题考查通过诱导公式化简，同角三角函数关系，属于简单题.10若，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】运用二倍角公式对分子变形,运用两角和的正弦公式对分母进行变形;接下来对所得式子约分化简;从而求得的值;将其进行平方;可得的值;运用诱导公式化简;求解即可.【详解】解：因为,所以,又因为所以,两边平方得,所以,所以.故选:A.【点睛】本题是一道关于三角函数求值的问题,需要掌握二倍角公式,和差化积公式,熟练掌握三角函数中的相关运算公式是解题的关键.11已知函数的图像与x轴相邻的两交点间的距离为，把函数的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数，现有如下命题：在上是减函数；其图像关于点对称；函数是奇函数；当时，函数的值域为.其中真命题的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】根据题意得到周期，从而得到的值，得到的解析式，再根据平移，得到的解析式，然后求出的图像与性质，对四个命题进行判断，得到答案.【详解】因为图像与x轴相邻的两交点间的距离为，所以，即，所以.所以，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得，即.令，得，所以的单调递减区间，当，得单调递减区间为，所以在上是减函数，所以正确；令，所以，所以的对称中心为，所以时，是的一个对称中心，所以正确；，定义域，所以，所以为偶函数，所以不正确；当时，即函数的值域为.所以正确.故选：C.【点睛】本题考查通过性质求正弦型函数的图像，求三角函数平移后的解析式，余弦型函数的图像和性质，属于中档题.12已知函数有三个零点，则（ ）A7B8C15D16【答案】B【解析】根据有三个零点，作出和的图像，根据的图像与的图像相切，得到，然后得到，根据，得到，从而得到答案.【详解】由有三个零点，即方程有三个不同的解，作出和的图像，可知两个函数的要有三个交点，则三个交点均大于0，且的图像与的图像相切，则，得，时，与的切点横坐标不在范围内，故舍去，所以，所以，解得.又因，即.所以，所以.故选：B. 【点睛】本题考查零点问题与交点问题的转化，根据零点个数求参数的值，考查了函数与方程、数形结合的思想，属于中档题.二、填空题13方程的实根个数为_.【答案】2【解析】画出和的图像，观察交点个数，得到方程解的个数.【详解】方程的实根个数，等于函数与的图像的交点个数，在同一坐标系画出两个函数的图像，可得两函数图像有个交点，即方程的实根个数为.故答案为：.【点睛】本题考查函数与方程，通过函数图像的交点求方程的解的个数，属于简单题.14若函数和的图像的对称轴完全相同则当，关于x的不等式的解集为_.【答案】【解析】根据与的图像的对称轴完全相同，得到的值，从而得到的解析式，然后在区间上，解，得到答案.【详解】由与图像对称轴相同，所以两函数的周期相同，即，得，所以，则，即为，解得.故答案为：【点睛】本题考查根据周期求参数的值，解正弦不等式，属于简单题.15化简_.【答案】1【解析】利用诱导公式，得到，通分整理后，由，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.16已知函数（其中，），若函数在区间上有最小值而无最大值，且满足，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】根据得到，从而求出，再根据的范围得到，因为函数在区间上有最小值而无最大值，所以可得与的范围，从而得到的取值范围，得到答案.【详解】时，函数在区间上有最小值而无最大值，且满足，故，此时，所以，因为所以，而由，可知，因为函数在区间上有最小值而无最大值，由三角函数图像可知与应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的性质求解析式，根据正弦型函数的最值求参数的范围，属于中档题.三、解答题17已知函数.（1）求的最小正周期和单调递减区间.（2）若，求的值域.【答案】（1）； ，.（2）【解析】（1）由得到最小正周期，由，得到的单调递减区间；（2）由得到，从而得到的值域.【详解】（1）函数，最小正周期为，由，得，所以的单调递减区间为，.（2）因为，所以，所以，即的值域为.【点睛】本题考查求正弦型函数的周期，单调区间和值域，属于简单题.18已知，.（1）求的值.（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据二倍角的余弦公式，结合已知，得到答案；（2）根据的值和的范围，判断出和的范围，得到和的值，从而利用两角和的正弦公式，得到答案.【详解】（1）因为，所以.（2），.又，.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式，利用同角三角函数关系进行求值，利用两角差的正弦公式进行求值，属于简单题.19某化工厂一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少，记过滤次数为x（）时溶液杂质含量为y.（1）写出y与x的函数关系式；（2）按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.1%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？（参考数据：，）【答案】（1），.（2）8次.【解析】（1）根据题意得到每次过滤后所含的杂质是前一次的，从而列出函数关系式；（2）根据题意得到，解不等式，得到答案.【详解】（1）因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少，所以每次过滤后所含的杂质是前一次的，所以得到，.（2）设至少应过滤次才能是产品达到市场要求，则，即，所以，又，所以.即至少应过滤次才能使产品达到市场要求.【点睛】本题考查由指数函数模型解决实际问题，解指数不等式，属于中档题.20已知函数.（1）求函数的定义域.（2）当且时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数解析式，得到且，从而得到的定义域；（2）根据的范围，得到的范围，从而得到的值，从而求出和的值，再求出的值.【详解】（1）由已知可得：且，所以且.所以函数的定义域为.（2），所以.，.所以，即的值为.【点睛】本题考查求函数的定义域，利用同角三角函数关系进行化简求值，三角恒等变形，属于中档题.21已知函数（，m为常数）的最小正周期为，且函数在区间上有两个零点.（1）求实数m的取值范围；（2）用含m的式子表示的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对整理，根据周期得到，然后求出在的单调性，根据最值和端点值，得到关于的不等式，解得答案；（2）由（1）可表示出，再判断出和的范围，从而表示出和，再根据两角差的余弦公式，得到答案.【详解】（1）.最小正周期，.由得：.由得：.在上单调递增，在上单调递减.在上单调递增，在上单调递减.，.要在上有2个零点，则，.（2）由（1）知，.由（1）知.不妨假设，则，.【点睛】本题考查根据正弦型函数的零点个数求参数的范围，同角三角函数关系，两角差的余弦公式，属于中档题.22已知函数，.（1）若函数在区间上有唯一零点，求实数m的取值范围.（2）记函数，若函数存在零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）或，（2）.【解析】（1）对整理，得到，按，进行分类讨论，结合零点存在定理，得到的范