江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第14章曲线与方程

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第十四章 曲线与方程、简单复合函数的导数、数学归纳法 . 2 第 01 课 曲线与方程 . 2 第 02 课 抛物线 . 2 第 03 课 简单复合函数的导数 . 6 第 04 课 数学归纳法 . 7 - 2 - 第十四章 曲线与方程、简单复合函数的导数、数学归纳法 第 01课 曲线与方程 （镇江期末） 已知 A 为曲线 C ： 24 1 0 上的动点，定点 ( 2,0)M ，若 2M= ，求动点 解：设 ( , )T x y ，00( , )A x y，则 2004 1 0 2 分 又 ( 2,0)M ，由 2M 得00( , ) 2 ( 2 , 0 )x x y y x y ， 5 分 0 34 ，0 3 7 分 代入 式得 24 ( 3 4 ) 3 1 0 ，即为所求轨迹方程 10 分 （前黄姜堰四校联考） 如图， 正方形 正方形 边长分别为 ,a b a b ，原点 O 为 物线 2 2经过 两点 ,求 , 解 ： 由条件可知 ( , ) , ( , )22a F b b 4 分 ,抛物线 2 2上 ，22( ) 222 ( )2 ， 可得 112第 02课 抛物线 物线关于 y 轴对称，顶点在坐标原点，点 (2,1)P ，11( , )A x y ， 22( , )B x y 均在抛物线上. （ 1）求抛物线的方程； （ 2）若 的平分线垂直于 y 轴，证明直线 斜率为定值 . A O x y P B 22 题） - 3 - （苏北四市期末） 在平面直角坐标系 ，已知抛物 2 2 ( 0 )y p x p的准线方程为 1,4x 过点 M(0,抛物线的切线 点为 A（异于点 O)l 过点 M 与抛物线交于两点 B,C，与直线 于点 N. (1)求抛物线的方程 ; (2)试问 : C的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。 （ 1）由题设知， 124 -，即 12p=， 所以抛物线的方程为 2 2 分 （ 2）因为函数 的导函数为 12y x=-，设 00( , )A x y ， 则直线 方程为0001 ()2y y x - -， 4 分 因为点 (0, 2)M - 在 直线 ，所以000112 ( )2 = - ? - 4 - 联立 0020012, - - ? =解得 (16, 4)A - 5 分 所以直线 4 6 分 设直线 程为 2y ， 由 2 ,2 =2 ( 4 1 ) 4 0k x k + =， 所以224 1 4,B C B x x = = 7 分 由 1 ,4241Nx k= + 8 分 所以 22418 8 4 1 244 1 4 1 4N N B B x x M N M C x x x x k + = + = ? ? ?+， 故 C 为定值 2 1 0 分 （南通调研二）如图，在平面直角坐标系 ，点 (8 4)A ， ， (2 )( 0)t 在抛物线2 2y ( 0)p 上 （ 1）求 p ， t 的值； （ 2）过点 P 作 直于 x 轴， M 为垂足，直线 抛物线的另一交点为 B ，点 C 在直线 若 斜率分别为1k，2k，3k，且1 2 32k k k， 求点 C 的坐标 解：（ 1）将点 (8 4)A ， 代入 2 2y ， 得 1p ， 2 分 将点 (2 )代入 2 2，得 2t ， 因为 0t ，所以 2t 4 分 （ 2）依题意， M 的坐标为 (2 0)， ， 直线 方程为 2433 ， 联立224332 ， 并解得 B 1 12， ， 6 分 B （第 22 题） y x O A C P M - 5 - 所以1 13k ， 2 2k ， 代入1 2 32k k k得，3 76k ， 8 分 从而直线 方程为 7163 ， 联立 24337163 ， 并解得 C 82 3 ， 10 分 （南师附中四校联考）已知抛物线 2 上有四点 ),(),( 2211 、 ),(),(4433 ，点M（ 3,0），直线 过点 M，且都不垂直于 x 轴，直线 点 x 轴，交 点 P，交 点 Q. （ 1）求 21值； （ 2）求证： Q. （ 1 ）设直线 方 程 为 3 与 抛 物 线 联 立 得 ：0622 2 分 621 4 分 （ 2） 直线 斜率为313131 2 直线 方程为1131 )(2 点 P 的纵坐标为31316 yy 6 分 6)(66)6(632323232 7 分 同理：点 Q 的纵坐标为 )(63223 yy 9 分 0QP x 轴 Q. 10 分 x O y A B C P D Q M - 6 - 第 03课 简单复合函数的导数 （前黄姜堰四校联考） 已知常数 0a ，函数 2( ) l n (1 )2xf x a x x . (1)讨论 ()0, ) 上的单调性； (2)若 () ( ) 0f x f x，求 a 的取值范围 解： (1)f(x) 2（ x 2） 2x（ x 2） 2 4（ a 1）（ 1 x 2） 2.(*) 当 a 1 时， f(x)0，此时， f(x)在区间 (0， )上单调递增 当 00. 故 f(x)在区间 (0， 单调递减， 在区间 ( )上单调递增 综上所述， 当 a 1 时， f(x)在区间 (0， )上单调递增； 当 0 a 1 时， f(x)在区间 0， 2 1 单调递减，在区间 2 1 上单调递增 4 分 (2)由 (*)式知 ，当 a 1 时， f(x) 0， 此时 f(x)不存在极值点，因而要使得 f(x)有两个极值点，必有 0 1a且 x 2， 所以 2 1 1a， 2 1 2， 解得 a (*)式易知， 别 是 f(x)的极小值点和极大值点 而 f( f( 22 22 a( 44（ x2）2（ 4 a 1)2 4（ a 1）2a 1 a 1)2 22a 1 2. 令 2a 1 g(1) 20. - 7 - 综上所述，满足条件的 a 的取值范围为 12， 1 . 10 分 (栟茶中学学测一 )已知函数 21 2xf x e x （ 1）求函数 ； （ 2）证明： 2122 解： （ 1） 2122xf x e ； - 4 分 （ 2）由 212 2 0xf x e 可得 12x， 1, 2x 时， 0 ； 1 ,2x 时， 0 。 - 6 分所以，当 12x时， m i 2f x f ， 所以 02 ，即 21 22 ，可得 2122 10 分 第 04课 数学归纳法 设 n 个正数1a，2a， （ n N*且 3n ） （ 1）当 3n 时，证明：2 3 3 112 1 2 3312aa a a a a ； （ 2）当 4n 时，不等式2 3 3 41 2 4 1 1 2 3 43 4 1 2aa a a aa a a a a a aa a a a 也成立，请你将其推广到 n （ n N*且3n ）个正数 1a ， 2a ， 情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明 23解：（ 1）因为n N*且 3n ）均为正实数， 左 右 =1 3 2 3 2 3 1 31 2 1 21 2 32 3 1 3 1 21 1 12 2 22 2 2a a a a a a a aa a a aa a aa a a a a a 1 3 2 3 2 3 1 31 2 1 21 2 32 3 1 3 1 21 1 12 2 2 2 2 22 2 2a a a a a a a aa a a aa a aa a a a a a =0， 所以，原不等式2 3 1 3 12 1 2 31 2 3aa a a a aa a a 成立 4 分 （ 2）归纳的不等式为： 2 3 2 1 1 112 123 4 1 2n n n n n a a a a a a a a a a +(n N*且 3n ) 5 分 记 2 3 2 1 1 112 123 4 1 2n n n n a a a a a a a aa a a a a +， 当 3n （ n N*）时，由（ 1）知，不等式成立； 假设当 （ n N*且 3k ）时，不等式成立，即 - 8 - 2 3 2 1 1 112 123 4 1 20k k k k a a a a a a a aa a a a a + 则当 1时， 2 3 2 1 1 1 1 1121 1 2 13 4 1 1 2k k k k k k kk k a a a a a a a a a a aa a a a a a +=1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 2k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +7 分 = 11 1 11 1 1 211 1kk k k k k aF a a a a aa a a a + 2 1111 1 11101 kk k k aa a a aa a a a += 11111k k a a a ， 因为1，112 ， 1 1 1112k k k a a ， 所以1 0，所以当 1，不等式成立 9 分 综上 ，2 3 2 1 1 112 123 4 1 2n n n n n a a a a a a a a a a +(n N*且 3n )成立 10 分 若存在 n 个不同的正整数12, , , na a a，对任意 1 i j n剟 ，都有 Z，则称这 n 个不同的正整数12, , , na a n 个好数” （ 1）请分别对 2n ， 3n 构造一组“好数”； （ 2）证明：对任意正整数 ( 2)，均存在“ n 个好数” 解 ：（ 1）当 2n 时，取数1 1a，2 2a ，因为 21 312 Z， 1 分 当 3n 时，取数1 2a，2 3a ，3 4a ，则12125 Z， 23237 Z，13133 Z， 3 分 即1 2a，2 3a ，3 4a 可构成三个好数 4 分 （ 2）证： 由（ 1）知当 2,3n 时均存在， 假设命题当 ( 2, )n k k k Z 时，存在 k 个不同的正整数12, , , ka a a，其中12 ka a a ， 使得对任意 1 i j k剟 ，都有 5 分 则当 1时，构造 1k 个数12, , , , a A a A a ， ， （ *） - 9 - 其中 1 2 3 ， 若在（ *） 中取到的是 A 和 ()iA a i k ，则 21 a a a Z， 所以成立， 若取到的是 ()iA a i k 和 ()jA a j k ，且 ， 则 2+i j i ji j i j i jA a A a a a A a a a a a ，