江苏省高三历次模拟试题分类汇编：第16章极坐标与参数方程

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第十六章 坐标系与参数方程 . 2 第 01 课 极坐标方程 . 2 第 02 课 常用曲线的参数方程 . 5 - 2 - 第十六章 坐标系与参数方程 第 01课 极坐标方程 （南京三模） 在极坐标系中， 设圆 C： 4 与直线 l： 4 ( R)交于 A， B 两点 ， 求以 直径的圆的极坐标方程 解： 以极点为坐标原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 建立直角坐标系，则由题意，得 圆 C 的直角坐标方程 4x 0， 直线 l 的直角坐标方程 y x 4 分 由 4x 0，y x， 解得 x 0，y 0， 或 x 2，y 2 所以 A(0， 0)， B(2， 2) 从而以 直径的圆的直角坐标方程为 (x 1)2 (y 1)2 2，即 2x 2y 7 分 将其 化为极坐标方程为： 2 2( 0， 即 2( 10 分 已知曲线13 ，曲线2 c ，判断两曲线的位置关系 解： 将曲线12,化为直角坐标方程得： 1 : 3 2 0C x y ， 222 : 2 2 0x x y 即 222 : 1 1 2x y ， 圆心到直线的距离 221 3 2 332213d ， 曲线12 已知半圆 C 的参数方程为 co s ,1 （ 为参数 ） ， , 22 . （ 1）在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程； - 3 - （ 2）在（ 1）的条件下，设 T 是半圆 C 上的一点，且 3，试写出 T 点的极坐标 . （南京盐城模拟一） 在极坐标系中，求圆 2 的圆心到直线 2 s ) 13的距离 解：将 2 化为普通方程为 2220x y x ，圆心为 (1,0) ， 4 分 又 2 s ) 13即 132 ( s i n c o s ) 122 ， 所以直线的普通方程为 3 1 0 8 分 故所求的圆心到直线的距离 312d 10 分 （苏州期末） 在极坐标系中，已知圆 3 与直线 2 c o s 4 s i n 0a 相切，求实数 a 的值 . 圆 3 的普通方程为 223x y x，即 2239()24 . 直线 2 c o s 4 s i n 0a 的普通方程为 2 4 0x y a . 又 直线 与圆 相切， 所以223| 2 |32224a ，解得 3 3 5a . （金海南三校联考） 在极坐标系中，已知 A(1, )3， B(9, )3，线段 垂直平分线 l 与极轴交于点 C，求 l 的极坐标方程及 面积 . 解： 易得线段 中点坐标为 (5， 3)， 2 分 设点 P(， )为直线 l 上任意一点， 在直角三角形 ， 3) 5， 所以， l 的极坐标方程为 3) 5， 6 分 - 4 - 令 0，得 10，即 C(10， 0) 8 分 所以， 面积为： 12(9 1)1020 3 10 分 （泰州二模） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合若直线 l 的极坐标方程为 s i n 3 24 （ 1）把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）已知 P 为椭圆 2211 6 9: 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最小值 解：（ 1）直线 l 的极坐标方程 s i n 3 24 ，则 22s i n c o s 3 2 ， 即 s i n c o s 6 ，所以直线 l 的直角坐标方程为 60 ； 5 分 （ 2） P 为椭圆 2211 6 9:上一点，设 ( 4 c o s 3 s P , ，其中 02,，则 P 到直线 l 的距离| 4 c o s 3 s i n 6 | | 5 c o s ( ) 6 |22d ，其中 4 ， 3 ， 当 co s( ) 1 时， d 的最小值为 22 10 分 （南通调研二） 在极坐标系中，设直线 3与曲线 2 1 0 c o s 4 0 相交于 A ， B 两点，求线段 的极坐标 解：（方 法 1）将直线 3化为普通方程得， 3， 将曲线 2 1 0 c o s 4 0 化为普通方程得， 221 0 4 0x y x , 4 分 联立2231 0 4 0y x ， 并消去 y 得， 22 5 2 0 ， 解得1 12x ，2 2x ， 所以 点的横坐标为 12524，纵坐标为 5 32， 8 分 化为极坐标为 5 23， 10 分 - 5 - （方 法 2） 联立 直线 l 与曲线 C 的方程组231 0 c o s 4 0 ， 2 分 消去 ，得 2 5 4 0 ， 解得1 1，2 4， 6 分 所以线段 点的极坐标为 12 23 ，即 5 23， 10 分 （注：将线段 点的极坐标写成 5 2 ( )23 Z，的不扣分 ） （苏北三市调研三） 已知曲线1 2 c o s ,2 （ 为参数）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2o s 2 24求 1C 与 2C 交点的极坐标 ，其中 0 , 0 2 解 法一 ：将 2 2 c o s ,2 消去参数 ，得 2 224 ， 所以12240x y x 4 分 将曲线240 6 分 由 224 0 ,4 0 ,x y 解得 4,0或 2, 8 分 所以1 4,0 或 72 2 ,4 10 分 解 法二 ：将 2 2 c o s ,2 消去参数 ，得 2 224 ， 所以12240x y x 4 分 所以1 6 分 代入 c o s 2 24，得 2c o s ( 2 )42 ， 8 分 所以1 4,0 或 72 2 ,4 10 分 第 02课 常用曲线的参数方程 已知两个动点 P ， Q 分别在两条直线1 :l y x和2 :l y x上运动，且它们的横坐标分别为角 q 的正弦，余弦， 0,q 记 O M O P O Q，求动点 M 的轨迹的普通方程 C选修 4 4：坐标系与参数方程 解： 设 ( , )M x y ，则 s in c o s ,s in c o s ,2 分 - 6 - 两式平方相加得 222 5 分 又 2 s )4x q， 2 s )4y q， 0,q ， 所以 1, 2x ， 1, 2y 8 分 所以动点 M 轨迹的普通方程为 222（ x ， 1, 2y ） 10 分 在平面直角坐标系 ，已知直线 l 的参数方程为x 3 32 t，y 2 12t(t 为参数 )，圆 C 的参数方程为x3 y 为参数 )若点 P 是 圆 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 解： （方法一） 直线 l 的普通方程为 x 3y 3 0 3 分 因为点 P 在 圆 C 上，故设 P( 3 从而点 P 到直线 l 的距离 d | 3 33|12 ( 3)2|2 3 2 6)|2 7 分 所以 3 1 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3 1 10 分 (方法二 ) 直线 l 的普通方程为 x 3y 3 0 3 分 圆 C 的圆心坐标为 ( 3， 0)，半径为 1 从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d | 3 0 3|12 ( 3)2 3 6 分 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3 1 10 分 已知在平面直角坐标系 ，圆 O 的参数方程为 2 （ 为参数）；以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 (s in c o s ) 1 ，直线 l 与圆 O 相交于 两点，求弦 长 圆 O ： 224，直线 l ： 10 ， 5 分 圆心 O 到直线 l 的距离 1222d ，弦长 2222 2 ( ) 1 42 10 分 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 c o s 2 s q q，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴 - 7 - 建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 1,3(t 为参数 )，求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长 解：曲线 C 的直角坐标方程为 22 2 2 0x y x y ， 圆心为 (1,1) ，半径为 2 ， 3 分 直线的直角坐标方程为 3 3 0 ， 5 分 所以圆心到直线的距离为 3 1 3 122d， 8 分 所以弦长 12 2 74 10 分 （南通调研一） 在平面直角坐标 ，已知曲线 C 的参数方程为21 ,214 （ t 为参数） ，曲线与直线 l ： 12相交于 A ， B 两点，求线段 长 （扬州期末） 已知曲线 极坐标方程为 2c o s ( )42 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 参数方程为2求曲线 曲线 点的直角坐标 - 8 - 由 2c o s ( )42 ，得曲线10 ， 3 分 由2得曲线2 1 ( 1 1 )x y x ， 7 分 由21 0 ,1 得 2 20 ，即 2x （舍去）或 1x ， 所以 曲线1 1,0) （镇江期末） 已知直线 l 的极坐标方程为 s ) 63，圆 C 的参数方程为 10 10 ( 为参数 ) （ 1）请分别把直线 l 和圆 C 的方程化为直角坐标方程； （ 2）求直线 l 被圆截得的弦长 解：（ 1）由 ) 63，得 13( s i n c o s ) 623 ， 3 1 2 ，即 3 1 2 0 4 分 圆的方程为 22100 6 分 （ 2） 6d ， 10r ， 弦长 2 1 0 0 3 6 1 6l 10 分 己知直线 l 的参数方程为 ,21（ t 为参数） ,圆 C 的参数方程为 ,.(a0. 为参数 )，点P 是圆 C 上的任意一点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 5 15 ，求 a 的值。 因为直线2 1, =+消去参数 t ，得 直线 2 3 分 又因为圆（ ,0a为参数）， 所以圆 的普通方程为 222 6 分 因为圆d， 8 分 故依题意，得 15555 a，解得 1a . 10 分 （南京盐城二模） 在平面直角坐标系 ，已知曲线 C： x s，y s 为参数），直线 l：x 2 110t，y 4 310t（ t 为参数）设 C 与 l 交于 A， B 两点，求线段 长度 - 9 - 解： 由 x s，y 去 s 得曲线 C 的普通方程为 y 由x 2 110t，y 4 310t 得直线 l 的普通方程为 y 3x 2 5 分 联立直线方程与曲线 C 的方程，即 y x2，y 3x 2， 解得交点的坐标分别为 (1， 1)， (2， 4) 所以线段 长度为 (2 1)2 (4 1)2 10 10 分 （盐城三模） 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 c o s ( )4，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 1314 （ t 为参数），试判断直线 的位置关系，并说明理由 . 解：将直线 l 与曲线 C 的方程化为普通方程， 得直线 l ： 4 3 1 0 ，曲线 C ： 22 2 2 0x y x y ，所以曲线 C 是以 (1,1) 为圆心，半径为2 的圆，所以圆心到直线 l 的距离 2 25d ，因此，直线 l 与曲线 C 相交 . 10 分 （苏锡常镇二模） 故 P 点的直角坐标为 (0,0). （南师附中四校联考） 已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， C 的极坐标方程为 02s ，直线 l 与圆 C 相交于点 A、B. （ 1）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； - 10 - （ 2）求线段 长度 . （ 1） 02422 4 分 （ 2）直线 l 的普