高中数学第二章夹角的计算2.5.1直线间的夹角2.5.2平面间的夹角课件

2 5 1直线间的夹角2 5 2平面间的夹角 一 二 思考辨析 一 直线间的夹角 一 二 思考辨析 做一做1 设直线l1的方向向量为s1 1 1 1 直线l2的方向向量为s2 2 2 2 则l1 l2夹角的余弦值cos 3 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时 要注意两条直线的方向向量所成角与两条直线的夹角的关系 这两者不一定相等 还可能互补 一 二 思考辨析 二 平面间的夹角 一 二 思考辨析 3 两个平面的夹角与其法向量所成角不一定相等 还可能互补 一 二 思考辨析 做一做2 已知平面 1的法向量n1 1 1 3 平面 2的法向量n2 1 0 1 则这两个平面夹角的余弦值为 解析 n1 1 1 3 n2 1 0 1 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等 3 平面间夹角的大小就是这两个平面的法向量的夹角 探究一 探究二 思想方法 直线间的夹角 例1 如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线BA1和AC的夹角 探究一 探究二 思想方法 探究一 探究二 思想方法 解法二以D为原点 DA DC DD1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 A1 a 0 a 探究一 探究二 思想方法 反思感悟求异面直线的夹角 用向量法比较简单 若用基向量求解 则必须选好空间的一组基向量 若用坐标系求解 一定要将每个点的坐标写正确 探究一 探究二 思想方法 变式训练1如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是棱CD CC1的中点 则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 异面直线A1M与DN所成的角为90 答案 90 探究一 探究二 思想方法 平面间的夹角 例2 等边三角形ABC的边长为4 CD是AB边上的高 E F分别是AC和BC边上的中点 如图 现将 ABC沿CD翻折 使平面ACD 平面BCD 如图 求平面ABD与平面EFD夹角的余弦值 探究一 探究二 思想方法 解 由已知CD AD CD BD ADB就是平面ACD与平面BCD的夹角的平面角 AD BD 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则D 0 0 0 A 0 0 2 B 2 0 0 C 0 2 0 E F分别是AC BC的中点 探究一 探究二 思想方法 反思感悟利用向量方法求平面间夹角的大小时 多采用法向量法 即求出两个面的法向量 然后通过法向量的夹角来得到平面间夹角的大小 但利用这种方法求解时 要注意结合图形观察分析 确定平面间夹角是锐角还是钝角 不能将两个法向量的夹角与平面间夹角的大小完全等同起来 探究一 探究二 思想方法 变式训练2如图 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求平面AA1D与平面A1DB夹角的余弦值 解 如图 取BC的中点O 连接AO ABC是等边三角形 AO BC 在正三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 AO 平面BCC1B1 取B1C1的中点为O1 以O为原点 以直线OB OO1 OA为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 探究一 探究二 思想方法 设平面A1AD的一个法向量为n x y z 探究一 探究二 思想方法 函数与方程思想利用空间向量的坐标运算解决已知夹角的问题时 常需要建立方程求解 或利用函数求最值 典例 如图 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直 AA1 AB AC 1 AB AC M N分别是CC1 BC的中点 点P在直线A1B1上 且A1P A1B1 问 是否存在点P 使得平面PMN与平面ABC的夹角为30 若存在 试确定点P的位置 若不存在 请说明理由 探究一 探究二 思想方法 解 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 令x 3 得y 1 2 z 2 2 n 3 1 2 2 2 又AA1 平面ABC 探究一 探究二 思想方法 化简得4 2 10 13 0 100 4 4 13 108 0 方程 无解 不存在点P使得平面PMN与平面ABC的夹角为30 方法点睛利用向量法解决有关夹角的存在性问题时 常先假设存在 然后根据条件建立方程 组 根据方程 组 解的情况 以及已知条件的限制得出结论 探究一 探究二 思想方法 变式训练在正三棱柱ABC A1B1C1中 所有棱的长度都是2 M是BC边的中点 试问 侧棱CC1上是否存在一点N 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45 解 以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 因为所有棱的长都是2 探究一 探究二 思想方法 假设侧棱CC1上存在一点N 0 2 m 0 m 2 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45 所以侧棱CC1上不存在点N 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45 1234 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 已知AB 4 AD 3 AA1 2 E F分别是线段AB BC上的点 且EB FB 1 则直线EC1与FD1夹角的余弦值是 方向建立空间直角坐标系 则E 3 3 0 F 2 4 0 D1 0 0 2 C1 0 4 2 答案 A 1234 2 过正方形ABCD的顶点A作线段PA 平面ABCD 如果PA AB 那么平面ABP与平面CDP的夹角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 根据题设条件 将图形恢复为一个正方体ABCD PRNM 则平面ABP即平面ABRP 平面CDP即平面CDPR 二者的交线为PR 显然 DPA为平面DPR与平面APR的夹角的平面角 且 DPA 45 答案 B 1234 3 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 AA1 2 AC BC 1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 解析 因为AC A1C1 所以 BA1C1 或其补角 就是所求异面