2017－2018南通扬州等数学学科参考答案及评分建议.pdf

数学学科参考答案及评分建议 第 1 页 共 11 页 高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议数学学科参考答案及评分建议 一 填空题 1 3 5 2 3 3 10 4 2 5 4 1 6 0 3 7 1 8 8 2 3 3 9 6 10 2 5 11 3 4 12 613 2 13 1 4 14 a2 二 解答题 15 证明 1 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 BB1 DD1 且 BB1 DD1 所以四边形 BDD1B1为平行四边形 所以 B1D1 BD 4 分 又 1111 BDC BDB DC BD 平面 平面 第 15 题 A B C A1 D B1 D1 C1 O 数学学科参考答案及评分建议 第 2 页 共 11 页 所以 B1D1 平面 C1BD 6 分 2 设 AC 与 BD 交于点 O 连结 C1O 因为底面 ABCD 为平行四边形 所以 O 为 BD 的中点 又 C1B C1D 所以 C1O BD 8 分 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 C1C 平面 ABCD 又BDABCD 平面 所以 C1C BD 10 分 又因为 C1O C1C C1 C1O C1C 平面 AA1 C1C 所以 BD 平面 AA1C1C 12 分 又 BD 平面 C1BD 所以平面 C1BD 平面 AA1 C1C 14 分 16 1 因为图象在一个周期内的最低点为 23 Q 与 x 轴的交点为 6 0 P 所以34 26 16AT 又 2 T 所以 8 所以 3sin 8 f xx 3 分 将点 23 Q 代入 得 33sin2 8 所以 2 42 k k Z 所以 2 4 k k Z 5 分 又 2 所以 4 所以 3sin 84 f xx 7 分 2 点 R 的横坐标 1 286 2 RQ xxT 所以 6 3 R 9 分 又因为 均为锐角 从而 1 tan 4 3 tan 4 第 16 题 Q O x y R P 数学学科参考答案及评分建议 第 3 页 共 11 页 所以 22 1 2 2tan84 tan2 15 1tan 1 1 4 12 分 所以 83 tan2tan 77154 tan 2 1tan2tan8336 1 154 14 分 17 1 过点D作 DD 垂直于线段AB 垂足为 D 在直角ABC 中 因为 AB BC 6 BAC 3AB 所以3BC 在直角ADD 中 因为1AD 3DD 所以2AD 则 3 sin 2 DAD 故 3 DAD 又 6 BAC 所以 6 DAP 2 分 在ADP 中 由正弦定理得 sin sin 6 ADDP 所以 1 sin DP 5 66 6 分 2 在ADP 中 由正弦定理得 sinsin APAD ADP 所以 5 2sin 2sin6 sinsin ADP AP 所以 5 5 2sinsin 11166 sinsin 22sinsinsin APD SAP PD 又 112 sin22sin3 223 ADC SAD DCADC 所以 5 sin 6 3 sin DPCADCAPD SSS 8 分 设三项费用总和为 f 则 5 5 sin sin 166 2 3 11 sinsinsin f C B A 第 17 题 D P D 数学学科参考答案及评分建议 第 4 页 共 11 页 5 sin 1 6 3 sin 5 66 1cos 1 3 3 2 sin2 5 66 10 分 所以 2 1 cos 2 sin f 令 0 f 则 2 3 列表 所以 2 3 时 min 2 3f 答 以上三项费用总和的最小值为2 3万元 14 分 18 1 设椭圆的焦距为 2c 由题意 得 222 1 2 22 3 c a b abc 2 分 所以 2 3 a b 所以椭圆的方程为 2 2 1 43 y x 4 分 由 得 焦点 1 0 F 准线为4x 方法 1 设 4 Pt 00 Q xy 则 22 00 1 43 xy 所以 22 00 3 3 4 yx 所以 00 1 3 FQxyFPt 因为 FP FQ 所以 00 3 1 0FQ FPxty 所以 00 3 1 tyx 6 分 2 63 2 3 2 5 36 f 0 f 2 3 第 18 题 F P O x y Q 数学学科参考答案及评分建议 第 5 页 共 11 页 所以 00 12 00 4 yyt kk xx 2 00 2 00 4 yty xx 2 00 2 00 3 33 1 4 4 xx xx 3 4 10 分 方法 2 设 00 Q xy 则 22 00 1 43 xy 所以 22 00 3 3 4 yx 当 0 1x 时 直线 FQ 存在斜率 则 0 0 1 FQ y k x 又 FP FQ 所以直线 FP 的方程为 0 0 1 1 x yx y 所以点 P 的坐标为 0 0 3 1 4 x y 6 分 所以 0 2 20 00 0000 12 22 00 0000 3 1 3 33 1 3 1 34 44 44 x y xx yyyx kk xx xxxx 当 0 1x 时 点 Q 的坐标为 3 1 2 点 P 的坐标为 4 0 也满足 12 3 4 kk 所以 12 kk 的值为 3 4 10 分 2 方法 1 设 2 a Pt c 00 Q xy 因为 FP FQ 则 FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆 2 00 0 a xxxytyy c 12 分 由题意 焦点 F 原点 O 均在该圆上 所以 2 00 2 00 0 0 a ccxty c a xty c 消去 0 ty得 22 00 0 aa ccxx cc 所以 2 0 a xc c 14 分 因为点 P Q 均在 x 轴上方 所以 2 a acc c 即 22 0caca 所以 2 10ee 又因为01e 所以 51 1 2 e 16 分 方法 2 因为 O F P Q 四点共圆且 FP FQ 所以 PQ 为圆的直径 所以圆心必为 PQ 中点 M 又圆心在弦 OF 的中垂线 2 c x 上 所以圆心 M 的横坐标为 2 M c x 12 分 所以点 Q 的横坐标为 22 2 QM aa xxc cc 以下同方法 1 14 分 数学学科参考答案及评分建议 第 6 页 共 11 页 19 1 由条件 得 21 32 3 7 2 aa aa 得 13 1 2 aa 3 分 2 证明 因为 1 5 1 2 n nn n aa 所以 221 212 24 2 25 2 nn nn n aa n aa 得 2121 1 2 nn aa 6 分 于是 13353 11 1 4 22 aaaaa 所以 3 1 4 a 从而 1 1 4 a 8 分 所以 1 21231 111 1 0 444 n nn aaa 所以 21 1 4 n a 将其代入 式 得 2 9 4 n an 所以 2 1 2 1 nn aa 常数 所以数列 2n a为等差数列 10 分 注意到 121n aa 所以 2122nn Saaa 2345221 nn aaaaaa 2 1 25 3 22 n k kn n 12 分 由 22 4 pm SS 知 2 2 343 22 p m pm 所以 22 26 3 27mp 即 29 23 27mpmp 又 pm N 所以29 12mp 且29 23mpmp 均为正整数 所以 2927 231 mp mp 解得104pm 所以所求数对为 10 4 16 分 数学学科参考答案及评分建议 第 7 页 共 11 页 20 1 因为 f xa x 是 3 D型函数 所以 1 3 3 a x 在 31 1 3 上恒成立 即 13 3 a xx 在 31 1 3 上恒成立 2 分 又 x的取值范围为 1 3 所以 min max 3 1 11 3 3 a x a x 所以 a 的取值范围为 1 1 3 4 分 2 答 g x是 2 D型函数 证明如下 先证明 2g x 方法 1 记 2 2 ex xx h x 02x 所以 2 2 13 1 24 0 ee xx x xx h x 所以 h x在 0 2 上为减函数 6 分 所以 2 8 2 1 e h xh 所以 2 2 1 ex xx 即 2 e2 x xx 所以 2g x 成立 8 分 方法 2 记 2 e2 x m xxx 02x 记 e21 x n xm xx 则 e2 x n x 令 0n x 所以ln2x 当 0 ln2 x 时 0n x 当 ln2 2 x 时 0n x 所以 e21 x m xx 在 0 ln2 上为减函数 在 ln2 2 上为增函数 6 分 又 0 0 m ln2 12ln20 m 2 2 e50 m 又 m x 的图象连续不间断 所以 e21 x m xx 在 0 2 上存在唯一零点 0 ln2 2 x 数学学科参考答案及评分建议 第 8 页 共 11 页 且当 0 0 xx 时 0m x 当 0 2 xx 时 0m x 所以 2 e2 x m xxx 在 0 0 x 上为减函数 在 0 2 x 上为增函数 所以 2 0 max 0 2 max 1e8 m xm xmm 又 2 7e8 所以 0m x 所以 2g x 得证 8 分 再证明 1 2 g x 记 21 2 ex xx r x 02x 所以 21 2 ex xx r x 令 0r x 得 13 2 x 0 2 记 0 13 2 x 则 2 00 1 2 xx 当 0 0 xx 时 0r x 当 0 2xx 时 0r x 所以 r x在 0 0 x 上为增函数 在 0 2 x 上为减函数 所以 00 2 2 00 0 max0 1 2 2 ee xx xx x r xr x 12 分 要证 1 2 g x 只要证 1r x 只要证 max 1r x 即证 0 2 0 2 1 ex x 即证 0 2 0 2 exx 即证 00 2ln22lnxx 为证明 式 我们先证1x 时 有 2 1 ln 2 x x x 记 2 1 ln 2 x p xx x 1x 所以 2 22 1 111 0 2 22 x p x x xx 所以 p x在 1 上为减函数 所以 1 0p xp 即 2 1 ln 2 x x x 得证 所以 2 0 00 00 1 2111 2ln222ln2 2 2 22 x xx xx 故要证明 式 只需证明 00 0 11 2 xx x 即证 0 2x 而 0 13 2 2 x 从而 1 2 g x 由 得 1 2 2 g x 结论获证 16 分 数学学科参考答案及评分建议 第 9 页 共 11 页 数学学科参考答案及评分建议 数学 附加题 21 A 证 因为过点 A B D 的圆 O 与AC相切 所以 CAD ABC 又 ACD BCA 所以 ACD BCA 5 分 所以 ADAC ABBC 因为 AB 3 BC 6 AC 4 所以 4 36 AD 所以 AD 2 10 分 B 1 101212 110311 CAB 4 分 2 设直线 1 0lxy 上任意一点 x y 在矩阵 C 对应的变换作用下得到点 xy 则 12 11 xx yy 其坐标变换公式为 2 xxy yxy 6 分 由此得 2 3 3 xy x xy y 代入0 xy 得 2 0 3 xy 即20 xy 所以直线 2 l的方程为20 xy 10 分 C 直线l的普通方程为01534 yx 圆C的普通方程为 222 ryx 4 分 因为圆心 0 0 C 到直线l的距离 15 3 5 d 又直线l被圆C截得的弦长为 4 所以 22 3213r 10 分 D 由柯西不等式得 2 2 2 2222 2 211 2 abcabc 6 分 A D O B 第 21 A 题 C 数学学科参考答案及评分建议 第 10 页 共 11 页 因为 5abc 所以 222 5 2 25 2 abc 所以 222 210abc 当且仅当2abc 时取等号 10 分 22 1 将 4 本不同的书放入编号为 1 2 3 4 的四个抽屉中 共有 44 256 种不同放法 记 4 本书恰好放在四个不同抽屉中 为事件 A 事件 A 共包含 4 4 24A 个基本事件 所以 243 25632 P A 所以 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为 3 32 3 分 2 方法 1 X 的可能取值为 0 1 2 3 4 4 4 381 0 4256 P X 13 4 4 327 1 464 C P X 22 4 4 327 2 4128 C P X 3 4 4 33 3 464 C P X 4 4 4 1 4 4256 C P X 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 8 分 所以 X 的数学期望为 81272731 012341 2566412864256 E X 10 分 方法 2 每本书放入 2 号抽屉的概率为 1 4 P B 13 1 44 P B 5 分 根据题意X 1 4 4 B 所以 4 4 13 44 kk k P XkC 0 1 2 3k 4 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 8 分 所以 X 的数学期望为 1 41 4 E X 10 分 第 22 题 1