第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用.doc

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积1,6,7,13平面向量的夹角与垂直2,5,8,12平面向量的模3,4平面向量数量积的综合问题9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2018陕西汉中质量检测)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是(D)(A)ab=2(B)ab(C)|a|=|b|(D)b(a+b)解析:因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以(-2,0)-b=(-3,-1),即b=(1,1),则ab=-2,|a|=2,|b|=2,A,B,C都不正确.而a+b=(-1,1),则b(a+b)=0,选D.2.(2018广东深圳调研)已知平面向量a,b,若|a|=3,|b|=2,a与b的夹角=6,且(a-mb)a,则m等于(B)(A)12(B)1(C)3(D)2解析:由题意(a-mb)a=a2-mab=(3)2-32cos 6m=0,解得m=1.故选B.3.(2017安徽蚌埠质量检查)已知向量a,b夹角为60,且|a|=2,|a-2b|=27,则|b|等于(C)(A)2(B)-2(C)3(D)-3解析:由题意可得:|a-2b|2=a2-4ab+4b2=a2-4|a|b|cos 60+4|b|2=4|b|2-4|b|+4=28,解得|b|=3.故选C.4.(2017广西南宁二模)若向量a=(1,0),b=(1,2),向量c在a方向上的投影为2,若cb,则|c|的大小为(D)(A)2(B)5(C)4(D)25解析:由题意可设c=(m,2m),c,a夹角,则ac=m,|a|=1,向量c在a方向上的投影为|c|cos =ac|a|=m1=m=2,则 c=(2,4),|c|=22+42=25.选D.5.(2017河南洛阳模拟)已知a,b均为非零向量,(a-2b)a,(b-2a)b,则a,b的夹角为(A)(A)3(B)2(C)23(D)56解析:由题意得,因为(a-2b)a,(b-2a)b,所以(a-2b)a=a2-2ab=0,(b-2a)b=b2-2ab=0,即a2=|a|2=2ab,b2=|b|2=2ab,所以向量a和b的夹角为cos=ab|a|b|=12,又0,所以=3,故选A.6.(2017广东惠州模拟)在ABC中,|AB+AC|=3|AB-AC|,|AB|=|AC|=3,则CBCA的值为(D)(A)3(B)-3(C)-92(D)92解析:|AB+AC|=3|AB-AC|,两边平方可得BAC=3,CBCA=(CA+AB)CA=92,故选D.7.(2017江西上饶二模)若正方形ABCD的边长为2,BC=2BE,DC=DF,若AEAF=1,则的值为.解析:以A为坐标原点,射线AB,AD分别为x,y轴正方向,建立平面直角坐标系,则E(2,1),设F(x,2),依题意有(2,0)=(x,0),(2,1)(x,2)=1,解得x=-12,=-4.答案:-48.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+b的夹角为锐角,则实数的取值范围是.解析:因为a与a+b均为非零向量,且夹角为锐角,所以a(a+b)0且a,a+b不共线,即(1,2)(1+,2+)0,2+2(1+).所以(1+)+2(2+)0,0.所以-53且0.综上可知,实数的取值范围为(-53,0)(0,+).答案:(-53,0)(0,+)能力提升(时间:15分钟)9.导学号 94626174ABC的外接圆圆心为O,半径为2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,CA在CB方向上的投影为(C)(A)-3(B)-3(C)3(D)3解析:由OA+AB+AC=0得OB=-AC=CA,所以四边形OBAC为平行四边形.又|OA|=|AB|,O为ABC外接圆圆心,所以四边形OBAC为边长为2的菱形.所以ACB=6.所以三角形OAB为正三角形,因为外接圆的半径为2,所以CA在CB方向上的投影为|CA|cos 6=232=3.故选C.10.在ABC中,设AC2-AB2=2AMBC,那么动点M的轨迹必通过ABC的(C)(A)垂心(B)内心(C)外心(D)重心解析:假设BC的中点是O.则AC2-AB2=(AC+AB)(AC-AB)=2AOBC=2AMBC,即(AO-AM)BC=MOBC=0,所以MOBC,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过ABC的外心,选C.11.(2017河北石家庄一模)已知三个向量a,b,c共面,且均为单位向量,ab=0,则|a+b-c|的取值范围是(A)(A)2-1,2+1(B)1,2(C)2,3 (D)2-1,1解析:因为ab=0,所以|a+b|2=a2+2ab+b2=2,所以|a+b|=2,所以|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2(a+b)c=3-2(a+b)c,则当c与(a+b)同向时(a+b)c最大,|a+b-c|2最小,此时(a+b)c=|a+b|c|cos 0=2,|a+b-c|2=3-22,所以|a+b-c|min=2-1;当c与(a+b)反向时(a+b)c最小,|a+b-c|2最大,此时(a+b)c =|a+b|c|cos =-2,|a+b-c|2=3+22,所以|a+b-c|max=2+1,所以|a+b-c|的取值范围为2-1,2+1,故选A.12.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为60,且|b|=|a|,则向量a与c的夹角为.解析:设a,c的夹角为,00),ab=12t2,a+b+c=0,则c=-(a+b),|c|2=-(a+b)2=3t2,则|c|=3t,cos =ac|a|c|=-aa+ab|a|c|=-32,则=150.答案:15013.(2017广东潮州二模)在梯形ABCD中,ADBC,ABBC=0,|AB|=2,|BC|=4,AC与BD相交于点E,ACBD,则AECD=.解析:因为AE与CD的夹角为钝角,BDAC,所以CD在AE方向上的投影为-|CE|,在直角ABC中AC=AB2+BC2=20=25,所以BE=ABBCAC=2425=455,AECD=(AB+BE)(CB+BD)=ABBD+ABCB+BE(CB+BD)=ABBD+BECD.由向量数量积的几何意义可知ABBD=-|BD|BE|,BECD=|DE|BE|.所以AECD=-|BE|2=-165.答案:-16514.导学号 94626175(2017河南洛阳市高考二模)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在线段OA,OB上,且OC=BD.若OA=1,AOB=120,则MCMD的取值范围是.解析:以OA为x轴,O为原点建立如图坐标系.因为半径OA=1,且AOB=120,所以弧AMB的中点M坐标为(12,32).求得BO方程为y=-3x,设C(1-m,0),则D(-12m,32m),(