第5节　双曲线.doc

第5节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线定义和标准方程1,2,6,7双曲线的几何性质3,4,5,8,10,11,14双曲线的综合9,12,13,15基础巩固(时间:30分钟)1.已知F1,F2是双曲线x2-y24=1的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为P,则|PF2|等于(A)(A)6(B)4(C)2(D)1解析:由题意令|PF2|-|PF1|=2a,由双曲线方程可以求出|PF1|=4,a=1,所以|PF2|=4+2=6.故选A.2.(2017河北唐山二模)已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=3x,则双曲线的标准方程是(C)(A)7x216-y212=1(B)y23-x22=1(C)x2-y23=1 (D)3y223-x223=1解析:因为双曲线渐近线方程为y=3x,故可设双曲线方程为x2-y23 =,因为双曲线过点(2,3),则4-323=,即=1,故双曲线的标准方程是x2-y23=1,故选C.3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方各程为(C)(A)y=14x (B)y=13x(C)y=12x (D)y=x解析:因为e=ca=52,所以e2=c2a2=a2+b2a2=54,所以a2=4b2,ba=12,所以渐近线方程为y=bax=12x.4.(2017江西南昌摸底考)若圆(x-3)2+(y-1)2=3与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为(A)(A)233 (B)72(C)2(D)7解析:渐近线方程y=-bax即bx+ay=0,得|b3+a|c=3,得e=ca=233,故选A.5.(2017湖南娄底二模)给出关于双曲线的三个命题:双曲线y29-x24=1的渐近线方程是y=23x;若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b2=1上,则此双曲线的离心率e=2;若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:双曲线y29-x24=1的渐近线方程是y=32x,故错误;双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3-0)2-(2-2)2+(3-0)2|=2,a=1,从而离心率e=ca=2,所以正确;F(c,0),B(0,b),FB的中点坐标(c2,b2)均不满足渐近线方程,所以正确.故选C.6.(2017唐山摸底考)已知F1,F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积为(A)(A)1(B)52(C)2(D)5解析:不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=|m-n|=4,又因为F1PF2=90,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20,即m2+n2=20,又|PF1|-|PF2|2=|m-n|2=16,所以mn=2,所以F1PF2的面积S=12mn=1,故选A.7.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,MC2-MC1=BC2-AC1=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-y28=1(x-1).答案:x2-y28=1(x-1)8.设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a且PF1F2的最小内角为30,则双曲线C的离心率为.解析:不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又因为|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又在PF1F2中,PF1F2=30,由正弦定理得,PF2F1=90,所以|F1F2|=23a,所以双曲线C的离心率e=23a2a=3.答案:3能力提升(时间:15分钟)9.导学号 94626209(2018湖南郴州质监)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1 (a0,b0)的左焦点,点A为双曲线虚轴的一个顶点,过F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若FA=(2-1)AB,则此双曲线的离心率是(A)(A)2(B)3(C)5(D)22解析:设A为上端虚顶点,FA的方程为x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0,联立bx-cy+bc=0,bx-ay=0得B(cac-a,bcc-a),因为FA=(2-1)AB,所以c=(2-1)cac-a,解得e=2,故选A.10.(2017福建三明质检)设F1,F2为双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P为上一点,PF2与x轴垂直,直线PF1的斜率为34,则双曲线的渐近线方程为(C)(A)y=x (B)y=2x(C)y=3x(D)y=2x解析:不妨设点P位于第一象限,坐标为(c,m),则c2a2-m2b2=1,解得m=b2a,即P(c,b2a),又F1(-c,0),据此有kPF1=b2a-0c-(-c)=34,整理可得2e2-3e-2=0,结合离心率的范围可得e=ca=2,则a2+b2a2=4b2a2=3,ba=3,双曲线的渐近线方程为y=3x.故选C.11.(2017黑龙江哈师大附中三模)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0),P为C1与C2在第一象限的交点,|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5,若椭圆C1的离心率e1(35,23),则双曲线的离心率e2的范围是(C)(A)(32,53)(B)(53,2)(C)(2,3)(D)(32,3)解析:设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意有2c+5=2ae1=ca=2c2c+5,设双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m0,n0),同理可得e2=2c2c-5 ,由e1=2c2c+5(35,23)有e2=2c2c-5(2,3).故选C.12.导学号 94626210(2017长春质检)过双曲线x2-y215=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为(B)(A)10 (B)13 (C)16(D)19解析:由题可知,C1(-4,0),C2(4,0),|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-32|C1C2|-3=13.故选B.13.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为 .解析:由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,又已知|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=83a,|PF2|=23a,在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=649a2+49a2-4c2283a23a=178-98e2,要求e的最大值,即求cosF1PF2的最小值,因为cosF1PF2-1,所以cosF1PF2=178-98e2-1,解得e53,即e的最大值为53.答案:5314.(2018河南百校联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F1AF2B,则双曲线C的离心率为.解析:由双曲线定义得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为F1AF2B,所以cosF2F1A=-cosF1F2B,再利用余弦定理得4c2+4c2-(2a+2c)222c2c=-4c2+(2c-2a)2-4c222c(2c-2a),化简得2e2-3e-1=0,e1e=3+174.答案:3+17415.(2016山东泰安模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的离心率为3,虚轴长为22.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,若OAOB,求m的值(O为坐标原点).解:(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题意可得2b=22,e=ca=3,c2=a2+b2,解得a=1,b=2,故双曲线C的标准方程为x2-y22=1.(2)联立直线方程与双曲线方程得x-y+m=0,2x2-y2=2.消