2014-2015学年高二数学同步课件：第1章§1第1课时《命题与4种命题》（北师大版选修1-1）

第一章常用逻辑用语 1命题第1课时命题与四种命题 一 命题1 命题满足的两个条件 1 可以 2 用 或 表述的语句 2 真命题和假命题 1 真命题 判断为 的命题 2 假命题 判断为 的命题 判断真假 文字 符号 真 假 3 命题的形式若p 则q 其中命题的 是p 是q 思考 若p 则q 形式的命题一定是真命题吗 提示 不一定 因为 若p 则q 只是反映命题结构的一种形式 它所表达的命题可能是真命题 也可能是假命题 如 若两个角相等 则这两个角是对顶角 就是假命题 条件 结论 二 互为否命题与互为逆否命题1 若命题A B互为否命题 则两个命题条件与结论的关系为条件的否定 条件结论的否定 结论2 若命题A B互为逆否命题 则两个命题条件与结论的关系为条件的否定 结论的否定 命题A 命题B 命题A 命题B 结论 条件 判断 正确的打 错误的打 1 任何一个用符号表述的语句都是命题 2 一个命题不是真命题就是假命题 3 若命题p的否命题是命题q 则命题q的否命题是命题p 提示 1 错误 命题必须能够判断真假 故 1 的说法是错误的 2 正确 命题分为真命题和假命题 一个命题不是真命题就是假命题 故这种说法是正确的 3 正确 命题p和q是互为否命题的关系 故这种说法是正确的 答案 1 2 3 知识点拨 1 命题概念的理解 1 并不是任何语句都是命题 一个语句是命题应具备命题特征 能够判断真假 一般来说 疑问句 祈使句 感叹句等都不是命题 如 三角函数是周期函数吗 但愿每一个三次方程都有三个实根 指数函数的图像真漂亮 都不是命题 2 对于含有变量的语句 要注意根据变量的取值范围 看能否判断其真假 若能 就是命题 若不能 就不是命题 3 还有一些语句 目前无法判断真假 但就事物的本质而论 这些语句是可辨别真假的 尤其是科学上的一些猜想等 这类语句也叫作命题 2 命题结构形式的理解任何一个命题都有条件和结论 尽管有些命题的条件不明显 但都可以写成 若p 则q 的形式 3 四种命题相互关系的两点认识 1 四种命题中 任意确定一个为原命题 其逆命题 否命题 逆否命题就确定了 所以 互逆 互否 互为逆否 具有对称特征 2 原命题 逆命题 否命题与逆否命题的关系为 类型一命题与命题的真假判断 典型例题 1 2013 汉中高二检测 下列命题中为真命题的是 A 若b2 ac 则a b c成等比数列B 能够找到一个x R 使得sinx cosx 成立C 若向量a b满足a b 0 则a 0或b 0D 若a b 则 2 下列语句中是命题的有 等边三角形难道不是等腰三角形吗 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 一个数不是正数就是负数 大角所对的边大于小角所对的边 x y为有理数 则x y也都是有理数 作 ABC A B C 解题探究 1 我们学过的命题从正确 错误的角度分为几类 它们是如何定义的 2 判断一个语句是否是命题的依据是什么 探究提示 1 命题分为真命题和假命题两类 判断为真的命题叫真命题 判断为假的命题叫假命题 2 判断一个语句是否是命题的依据是看这个语句是否具备命题的特征 能判断真假 解析 1 选B 对于A 当b 0且a c有一个为0时 a b c不是等比数列 故不正确 对于B sinx cosx 1 2sinxcosx sin2x 1 1 这样的x是存在的 对于C a b 0 只要a b即可 不一定只有a 0或b 0才成立 故不正确 对于D a b的符号不定 故不正确 如a 1 b 2 则不成立 2 通过反意疑问句 对等边三角形是等腰三角形作出判断 是真命题 疑问句 没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断 不是命题 是假命题 0既不是正数也不是负数 是假命题 没有指明是在同一个三角形中 是假命题 如x y 无法判断真假 不是命题 答案 拓展提升 1 判断一个语句是否是命题的方法 1 看语句 一般地 陈述句 反问句是命题 而祈使句 疑问句 感叹句不是命题 2 明特征 看此语句是否具备命题的特征 能判断真假 2 判断命题的真假的方法 1 判断真命题 判断一个命题是真命题 一般需要经过严格的推理论证 在判断时 要有推理依据 有时应综合各种情况作出正确的判断 2 判断假命题 判断一个命题为假命题 只需要举出一个反例即可 变式训练 判断下列语句是否是命题 若是 判断其真假 并说明理由 1 一个等比数列的公比大于1时 该数列为递增数列 2 垂直于同一个平面的两条直线必平行吗 3 当x 4时 2x 1 0 解题指南 依据命题的定义判断是否为命题 依据所学知识点判断命题的真假 解析 1 是命题 当等比数列的首项a11时 该数列为递减数列 因此该命题是一个假命题 2 不是命题 它是一个疑问句 没有作出判断 3 是命题 能判断真假 x 4时 2x 1 2 4 1 9 0 它是一个假命题 类型二命题的结构 典型例题 1 在同一个平面内 平行于同一条直线的两条直线平行 改为 若p 则q 的形式是 2 把下列命题改写成 若p 则q 的形式 并判断命题的真假 1 已知x y为正整数 当y x 1时 y 3 x 2 2 当m 时 mx2 x 1 0无实根 3 当abc 0时 a 0或b 0或c 0 4 当x2 2x 3 0时 x 3或x 1 解题探究 1 将命题改写成 若p 则q 的形式的关键是什么 2 如何判断一个 若p 则q 形式的命题的真假 探究提示 1 改写命题的形式的关键是找准哪部分是命题的条件 哪部分是命题的结论 2 若有 p经过逻辑推理得出q 则可确定 若p 则q 为真 若能够举出反例说明 由p不能推出q 则 若p 则q 为假 解析 1 命题条件 在同一个平面内 两条直线平行于同一条直线 命题结论 这两条直线平行 若p则q 的形式 在同一个平面内 若两直线平行于同一条直线 则这两条直线平行 答案 在同一个平面内 若两条直线平行于同一条直线 则这两条直线平行2 1 已知x y为正整数 若y x 1 则y 3且x 2 假命题 2 若m 则mx2 x 1 0无实根 真命题 3 若abc 0 则a 0或b 0或c 0 真命题 4 若x2 2x 3 0 则x 3或x 1 真命题 拓展提升 命题改写中的注意事项 若p 则q 这种形式是数学中命题的基本结构形式 也有一些命题的叙述比较简洁 并不是以 若p 则q 这种形式给出的 这时 首先要确定命题的条件和结论 若条件和结论是隐含的 还需要把这个命题补充完整后再进行改写 变式训练 将下列命题改写成 若p 则q 的形式 并判断真假 1 6是12和18的公约数 2 当a 1时 方程ax2 2x 1 0有两个不等实根 3 已知x y为非零自然数 当y x 2时 y 4 x 2 4 负数的立方仍是负数 解析 1 若一个数是6 则它是12和18的公约数 真命题 2 若a 1 则方程ax2 2x 1 0有两个不等实根 假命题 3 已知x y为非零自然数 若y x 2 则y 4 x 2 假命题 4 若一个数是负数 则它的立方仍是负数 真命题 类型三四种命题及其真假的判断 典型例题 1 写出下面命题的逆命题 否命题和逆否命题 命题 弦的垂直平分线经过圆心 并平分弦所对的弧 1 逆命题是 2 否命题是 3 逆否命题是 2 写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断真假 1 若m n 0 则方程mx2 x n 0有实数根 2 当c 0时 若a b 则ac bc 3 若x 9 则x 0 解题探究 1 原命题与其他三种命题的条件和结论之间具有怎样的关系 2 写出原命题的逆命题 否命题 逆否命题的关键是什么 探究提示 1 1 原命题与逆命题 逆命题的条件是原命题的结论 结论是原命题的条件 2 原命题与否命题 否命题的条件和结论是原命题条件和结论的否定 3 原命题与逆否命题 逆否命题的条件是原命题结论的否定 结论是原命题条件的否定 2 正确改写命题的关键是准确地理解各种命题之间条件与结论以及条件的否定和结论的否定间的对应关系 解析 1 依据四种命题的关系 写出原命题的逆命题 否命题和逆否命题 答案 1 若一条直线经过圆心 且平分一条弦所对的弧 则这条直线是该弦的垂直平分线 2 若一条直线不是弦的垂直平分线 则这条直线不经过圆心或不平分该弦所对的弧 3 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧 则这条直线不是弦的垂直平分线 2 1 逆命题 若方程mx2 x n 0有实数根 则m n 0 假命题 否命题 若m n 0 则方程mx2 x n 0无实数根 假命题 逆否命题 若方程mx2 x n 0无实数根 则m n 0 真命题 2 逆命题 当c 0时 若ac bc 则a b 真命题 否命题 当c 0时 若a b 则ac bc 真命题 逆否命题 当c 0时 若ac bc 则a b 真命题 3 逆命题 若x 0 则x 9 假命题 否命题 若x 9 则x 0 假命题 逆否命题 若x 0 则x 9 真命题 互动探究 若将题2 3 中 若x 9 修改为 若x 9 写出该命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断真假 解析 逆命题 若x 0 则x 9 假命题 否命题 若x 9 则x 0 假命题 逆否命题 若x 0 则x 9 真命题 拓展提升 1 四种命题的转换方法 1 交换原命题的条件和结论 所得的命题是原命题的逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 所得的命题是原命题的否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得的命题是原命题的逆否命题 2 判断命题真假的三种技巧技巧一 根据学过的定义 公理 定理 性质直接判断命题的真假 技巧二 根据已知的正确的结论 通过正确地推理所得到的命题是真命题 技巧三 判断一个命题为假时 只要能找到一个反例就够了 易错误区 分不清命题的条件和结论导致错误 典例 2013 唐山高二检测 下列命题中是真命题的序号是 1 若x2 y2 0 则x y不全为零 的否命题 2 正多边形都相似 的逆命题 3 若是有理数 则x是无理数 的逆否命题 解析 1 中否命题 若x2 y2 0则x y全为0 是真命题 2 中逆命题 若两个多边形相似 则这两个多边形是正多边形 是假命题 3 中逆否命题 若x不是无理数 则不是有理数 是真命题 故 1 3 正确 答案 1 3 误区警示 防范措施 1 四种命题转换时的关注点在写一个命题的其他三个命题时 应首先分清原命题的条件 结论 特别是当命题的条件或结论不明显时要认真审清该命题的判断对象是什么 其后再对判断对象作出判断 如本例 2 不是 若p 则q 的形式 条件 结论不明显 首先要分清条件和结论再判断 2 集合法判断命题的真假从集合的观点看 建立集合A B与命题中的p q之间的一种特殊关系 设A x p x B x q x 此时 命题 若p 则q 为真当且仅当A B 类题试解 2013 大理高二检测 在下列命题中 真命题是 A x 2时 x2 3x 2 0 的否命题B 若b 3 则b2 9 的逆命题C 若x R 则x2 30 故C选项为假命题 易知D为真命题 1 下列语句不是命题的是 A 3是15的约数B 0是自然数C 4不小于2D 5能被15整除吗 解析 选D D是疑问句 不符合命题的定义 不是命题 2 下列命题 5 4 若方程ax2 1 0有一个负根 则a 0 的逆命题 命题 若a b 则a c b c 的否命题 其中假命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 解析 选A 由题意 3个命题均为真命题 3 命题 若a b 则2a 2b 1 的逆命题是 解析 根据逆命题的定义知 此命题的逆命题是若2a 2b 1 则a b 答案 若2a 2b 1 则a b4 下列命题是真命题的是 只填序号 若x2 x 则x 1 若 若x y 则x2 y2 若x y 则 解析 由x2 x得x 0或x 1 故 错误 由可得x y 故 正确 取x