正态分布 (17)

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修2 3 随机变量及其分布 第二章 2 4正态分布 第二章 通过实例了解正态分布的意义和性质 借助于图象掌握正态分布的性质 重点 正态分布的特点及其应用 难点 正态曲线的特征 正态分布的应用 正态分布 正态分布密度曲线 正态曲线 正态分布 注意 参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数 可以用样本均值去估计 是衡量随机变量总体波动大小的特征数 可以用样本标准差去估计 把 0 1的正态分布叫做标准正态分布 正态分布是自然界中最常见的一种分布 许多现象都近似地服从正态分布 如长度测量误差 正常生产条件下各种产品的质量指标等 一般地 一个随机变量如果是众多的 互不相干的 不分主次的偶然因素作用结果之和 它就服从或近似服从正态分布 上方 x 1 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴左右平移 如下图 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 高瘦 表示总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 如下图 牛刀小试1 已知随机变量X服从正态分布N 3 1 且P 2 X 4 0 6826 则P X 4 A 0 1588B 0 1587C 0 1586D 0 1585 答案 B 答案 C 答案 D 4 2015 福州市高二期末 已知随机变量 服从正态分布N 1 2 且P 2 0 6 则P 0 1 答案 0 1 解析 随机变量 服从正态分布N 1 2 曲线关于直线x 1对称 P 2 0 6 P 0 1 0 6 0 5 0 1 故答案为0 1 5 某班有50名学生 一次考试的数学成绩 服从正态分布N 100 102 已知P 90 100 0 3 估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 答案 10 6 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N 10 0 12 单位 kg 任选一袋这种大米 质量在9 8 10 2kg的概率是多少 解析 因为大米的质量服从正态分布N 10 0 12 要求质量在9 8 10 2的概率 需化为 2 2 的形式 然后利用特殊值求解 由正态分布N 10 0 12 知 10 0 1 所以质量在9 8 10 2kg的概率为P 10 2 0 1 X 10 2 0 1 0 9544 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位 得到一条新的曲线C2 下列说法中不正确的是 A 曲线C2仍然是正态曲线B 曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等C 以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2D 以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2 答案 D 正态曲线的性质 关于正态曲线性质的叙述 1 曲线关于直线x 对称 在x轴上方 2 曲线关于直线x 对称 只有当x 3 3 时才在x轴上方 3 曲线关于y轴对称 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数 4 曲线在x 时 处于最高点 由这一点向左 右两边延伸时 曲线逐渐降低 5 曲线的对称轴由 确定 曲线的形状由 确定 6 越大 曲线越 矮胖 越小 曲线越 高瘦 上述说法正确的是 A 1 4 5 6 B 2 4 5 C 3 4 5 6 D 1 5 6 答案 A 解析 正态曲线关于直线x 对称 在x 时处于最高点 并且由该点向左 右两边延伸逐渐降低 该曲线总是位于x轴上方 曲线的形状由 确定 而且比较若干不同的 对应的正态曲线 可以发现 越大 曲线越 矮胖 越小 曲线越 高瘦 设X N 5 1 求P 6 X 7 分析 由X N 5 1 知 5 1 故P 4 X 6 0 6826 P 3 X 7 0 9544 由对称性知P 3 X 4 P 6 X 7 由此可求P 6 X 7 求正态分布在三个特殊区间内取值的概率 方法规律总结 要记住正态总体在三个区间取值的概率 并会利用对称性将待求区间加以转化 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站 由于交通拥挤 所需时间 单位 分 服从X N 50 102 求他在时间段 30 70 内赶到火车站的概率 解析 因为X N 50 102 所以 50 10 所以P 30 X 70 P 50 2 10 X 50 2 10 0 9544 所以所求概率为0 9544 2015 河南八市质量监测 某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示 全市10000名学生的成绩服从正态分布N 115 25 现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析 结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间 现将结果按如下方式分为6组 第一组 80 90 第二组 90 100 第六组 130 140 得到如下图所示的频率分布直方图 正态分布的应用 1 试估计该校数学的平均成绩 同一组中的数据用该区间的中点值作代表 2 这50名学生中成绩在120分 含120分 以上的同学中任意抽取3人 该3人在全市前13名的人数记为X 求X的分布列和期望 附 若X N 2 则P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 P 3 X 3 0 9974 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N 70 102 如果规定低于60分为不及格 求 1 成绩不及格的人数占多少 2 成绩在80 90间的学生占多少 要准确应用正态分布的对称性转化随机变量 服从正态分布N 0 1 如果P 1 0 8413 求P 1 0 辨析 由于 N 0 1 对称轴为x 0 与 1 0 对称的区间应为 0 1 与 1 对称的区间为 1 正解 如图所示 因为P 1 0 8413 所以P 1 1 0 8413 0 158