数学思想方法(一)-2009

数学思想方法 一 数学思想方法 一 2009 2 252009 2 25 实验中学 黎东材 总 述 数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质认识 它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点 是知识 转化为能力的桥梁 高考对数学思想和方法的考查是以知识为依托 以能力为目的 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括 它蕴 含于知识发生 发展和应用的过程中 因此 在高考中对数学思想和方法的考查必然要与数学知识相结合 以数学知识为素材 考 查学生对数学思想和方法的理解和掌握程度 高考对数学思想和方法的考查贯穿于整份试卷之中 客观型试题虽以考查数学基础知识 基本技能为主 但对数学思想和方法 的考查也蕴含之中 解答题的考查要求能更深刻的体现出数学思想和方法在考查创新意识 应用意识 综合能力中的地位和作用 函数与方程的思想 函数是高中代数内容的主干 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象 概括和提炼 是从函数各部分内容的内在联系和整 体角度来考虑问题 研究问题和解决问题 寒暑思想贯穿于高中代数的全部内容 函数知识涉及的知识点多 面广 在概念性 应用性 理解性都有一定的要求 所以是高考中考查的重点 1 函数和方程是密切相关的 对于函数 当时 就转化为方程 也可以把函数式看做二 xfy 0 y0 xf xfy 元方程 函数问题 例如求反函数 求函数的值域等 可以转化为方程问题来求解 方程问题也可以转化为函数问题0 xfy 来求解 如解方程 就是求函数的零点 0 xf xfy 2 函数与不等式也可以相互转化 对于函数 当时 就转化为不等式 借助于函数图像与性质解 xfy 0 y0 xf 决有关问题 而研究函数的性质 也离不开解不等式 3 数列的通项或前项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点处理数列问题十分重要 n 4 函数与二项式定理是密切相关的 利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定 Nnbaxxf n 理的问题 5 解析几何中的许多问题 例如直线和二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解决 涉及到二次方程与二次 函数的有关理论 6 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决 函数与方程 不等式是通过函数值等于零 大于零或者小于零二互相联系的 他们之间既有区别又有联系 函数与方程的思想 既是函数思想和方程思想的体现 也是两种思想综合运用的体现 是研究变量与函数 相等与不等过程中的基本数学思想 一 函数与方程一 函数与方程 1 方程的解所在的区间为 C 3lg xx A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 2 07 07 天津天津 设均为正数 且 则cba a a 2 1 log2 b b 2 1 log 2 1 c c 2 log 2 1 A A B C D cba abc bac cab 3 3 07 07 湖南湖南 函数 函数 则方程的解有 B 个 1 34 1 44 2 xxx xx xf xxg 2 log 0 xgxf A 4 B 3 C 2 D 1 二 函数与不等式二 函数与不等式 4 4 如果函数对于任意实数 都有 那么 A cbxxxf 2 t 2 2 tftf A B 4 1 2 fff 4 2 1 fff C D 1 4 2 fff 1 2 4 fff 5 07 安徽 安徽 若对任意 不等式恒成立 则实数的取值范围是 B Rx axx a A a 1 B 1 C 1 D a 1aa 6 6 0808 天津卷 天津卷 设 若对于任意的 都有满足方程 这时的取值集合为 B 1a 2 xaa 2 ya a loglog3 aa xy a A B C D 2 1 aa 2a a 3 2 aa 2 3 7 04 天津卷 天津卷 设是函数的反函数 则使成立的 x 的取值范围为 A 1 xf 1 2 1 aaaxf xx 1 1 xf A B C D 2 1 2 a a 2 1 2 a a 2 1 2 a a a a 8 全国卷 全国卷 已知二次函数的二次项系数为 且不等式的解集为 xfaxxf2 3 1 若方程有两个相等的根 求的解析式 06 axf xf 若的最大值为正数 求的取值范围 xfa 解 3 1 02 的解集为 xxf 2 1 3 0 f xxa xxa 且因而 3 42 2 3 1 2 axaaxxxxaxf 由方程 0 9 42 06 2 axaaxaxf得 因为方程 有两个相等的根 所以 094 42 2 aaa 即 5 1 1 0145 2 aaaa或解得 由于代入 得的解析式 5 1 1 0 aaa将舍去 xf 5 3 5 6 5 1 2 xxxf 由 a aa a a xaaxaaxxf 14 21 3 21 2 2 22 及由 14 0 2 a aa xfa 的最大值为可得 0 0 14 2 a a aa 解得 0 3232 aa或 故当的最大值为正数时 实数 a 的取值范围是 xf 0 32 32 三 函数与方程的思想贯穿高中数学三 函数与方程的思想贯穿高中数学 9 9 0808 安徽卷 安徽卷 在数列在中 其中为常数 则的值是 n a 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn nN a blim nn nn n ab ab 1 1010 0808 四川卷四川卷 设等差数列的前项和为 若 则的最大值为 4 n an n S 45 10 15SS 4 a 11 数列中 若数列是递增数列 则实数的取值范围是 n a 2 n ankn n ak3 k 12 07 全国全国 1 理 理 的三个内角为 求当为何值时 取得最大值 并求出这个最大值 ABC ABC Acos2cos 2 BC A 2 3 13 08 崇文一模 崇文一模 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 90 AB BC AA1 2 D 是 AB 的中点 I 求 AC1与平面 B1BCC1所成角的正切值 II 求证 AC1 平面 B1DC III 已知 E 是 A1B1的中点 点 P 为一动点 记 PB1 x 点 P 从 E 出发 沿着三棱柱的棱 按照 E A1 A 的路线运动到点 A 求这一过程中三棱锥 P BCC1的体积表达式 V x 14 07 全国全国 2 设为抛物线的焦点 为F 2 4yx ABC 该抛物线上三点 若 则FAFBFC 0 B FAFBFC A 9 B 6 C 4 D 3 15 07 北京 北京 如图 有一块半椭圆形钢板 其半轴长为 短半2r轴长为 计划将此钢板切割成等r 腰梯形的形状 下底是半椭圆的短轴 上底的端点在椭圆上 ABCD记 梯形面积为 2CDx S I 求面积以为自变量的函数式 并写出其定义域 Sx II 求面积的最大值 S 分类讨论思想方法 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面 1 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的 如绝对值的定义 2 问题中涉及到的数学定理 公式和运算性质 法则有范围或者条件限制 或者是分类给出的 如等比数列的前项和的n 公式 3 解含有参数的题目时 必须根据参数的不同取值范围进行讨论 如解不等式2 ax 4 另外 某些不确定的数量 不确定的图形的形状或位置 不确定的结论等 都主要通过分类讨论 保证其完整性 使之 具有确定性 一 因数学概念 定理 公式等需要讨论一 因数学概念 定理 公式等需要讨论 1 1 若 且 则实数中的取值范围是 D Ax xpxxR 2 210 AR A B C D p 2p 2p 2p 4 2 2 一条直线过点 5 2 且在轴 轴上截距相等 则这直线方程为 D xy 2r 日 r 4r C D A B2r A B xy 70250 xy C D xyxy 70250或xyyx 70250或 3 已知椭圆的离心率 e 则 m 的值为 B 1 5 22 m yx 5 10 A 3 B 或 3 C D 或 25 3 5 3 155 15 4 4 ABCABC中 已知 求sincoscos 1 2 5 13 5 5 0606 北京 北京 在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中 各位数字之和为奇数的共有 B 1 2 3 4 5 A 36 个 B 24 个 C 18 个 D 6 个 二 因问题本身含有参数二 因问题本身含有参数 6 06 江西卷 江西卷 若不等式对于一切成立 则取值范围是 C 01 2 axx 2 1 0 xa A 0 B 2 C D 3 5 2 7 7 0505 北京春 北京春 若不等式对于任意正整数恒成立 则实数的取值范围是 A n a n n 1 1 21 na A B C D 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 8 8 解关于的不等式 x01 1 2 xaax 9 已知函数 axaxxf2cos22cos 1 当时求的最小值 2 a xf 2 设的最小值为 求的表达式 xf g a g a 3 在 2 的条件下 求的最大值 g a 10 08 北京 北京 已知函数 求导函数 并确定的单调区间 2 2 1 xb f x x fx f x 特殊与一般的思想特殊与一般的思想 通过对某些个例的认识 积累对这类事物的了解 由现象到本质 由实践到理论 再用所得到的规律解决这类事物中的新问题 这种由特殊到一般再由一般到特殊的反复认识的过程 就是人们认识世界的基本过程之一 在高考考查中 突出体现的是特殊化的方法 常见的有构造特殊函数 特殊数列 寻找特殊点 确定特殊位置 利用特殊值 特殊方程等 一 代数中的特殊化一 代数中的特殊化 1 2005 辽宁 辽宁 已知是定义在上的单调函数 实数 xfy R 1 21 xx 若 则 A 1 21 xx 1 12 xx 21 ffxfxf A B C D 0 0 10 1 2 2 0707 年安徽 年安徽 定义在 R 上的函数既是奇函数 又是周期函数 是它的一个正周期 若将方程在闭区间上 xfT0 xf TT 的根的个数记为 则可能为 D nn A 0 B 1 C 3D 5 3 3 0808 年辽宁 年辽宁 设是连续的偶函数 且当时是单调函数 则满足的所有 x 之和为 C f x0 x f x 3 4 x f xf x A B C D 3 38 8 4 06 上海卷上海卷 若关于的不等式 4 的解集是 M 则对任意实常数 总有 A xxk 1 2 4 kk A 2 M 0 M B 2M 0M C 2 M 0M D 2M 0 M 5 已知数列满足 则 B n a 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 20 a A 0B C D 3 3 2 3 6 06 全国全国 II 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 A S 3 S 6 1 3 S 6 S 12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 7 08 朝阳一模 朝阳一模 设数列的前项和为 对一切 点都在函数 的图象上 n an n S nN n S n n 2 n a f xx x 1 求的值 猜想的表达式 并用数学归纳法证明 123 a a a n a 2 将数列依次按 1 项 2 项 3 项 4 项循环地分为 n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 分别计算各个括号内各数之和 设由这些和按原 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 a 19 a 20 a 21 a 来括号的前后顺序构成的数列为 求的值 n b 5100 bb 二 几何中的特殊化二 几何中的特殊化 8 07 年全国年全国 1 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已知正三棱柱的底面边长为 2 则该三角形的斜 边长为 32 9 2005 全国全国 1 的外接圆的圆心为 两条边上的高的交点为 则实数 1 ABC OH OCOBOAmOHm 10 10 0808 江西卷 江西卷 已知 是椭圆的两个焦点