热传导方程的差分格式

热传导方程的差分格式 第 2 页 一维抛物方程的初边值问题一维抛物方程的初边值问题 分别用向前差分格式 向后差分格式 六点对称格式 求解下列问题 113234 2 2 01 uu ax tx 0 sin 01u xxx 0 1 0 0ututt 在时刻的数值解 并与解析解 0 05 0 10 2t 和 2 sin t u x tex 进行比较 1 差分格式形式差分格式形式 设空间步长 时间步长 网比 1 hN 0 TM 2 rh 1 向前差分格式 向前差分格式 该问题是第二类初边值问题 混合问题 我们要求出所需次数的偏微商的函数 满足方程和初始条件 u x t 2 2 01 uu ax tx 0 sin 01u xxx 及边值条件 0 1 0 0ututt 已知在相应区域光滑 并且在与边值相容 使问题有唯一充分光滑的sinx 0 xl 解 取空间步长 和时间步长 其中都是正整数 用两族平行1 hN TM N M 直线和将矩形域 0 1 j xxjh jN 0 1 k ttkkM 分割成矩形网络 网络格节点为 以表示网格内点集合 01 0 Gxt jk x t h G 即位于矩形的网点集合 表示闭矩形的网格集合 是网格界点的G h GG hh GG h 集合 向前差分格式 即 1 i k j k j k j k j k j f h uuu a uu 2 11 1 2 ii xff 0 0 0 k N k jjj uuxu 其中 以表示网比 1 式可改写成如下 1 2 1 1 2 1 MkNj 2 har j k j k j k j k j fruurruu 11 1 21 此格式为显格式 其矩阵表达式如下 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 21 21 21 21 j N j N j j j N j N j j u u u u u u u u rr rrr rr rr 2 向后差分格式 向后差分格式 向后差分格式 即 2 2 2 1 1 11k 1 1 j k j k jj k j k j f h uuu a uu 0 N0 0 kk jjj uuxu 其中 2 式可改写成 1 2 1 1 2 1 MkNj j k j k j k j k j furuurru 1 1 11 1 21 此种差分格式被称为隐格式 其矩阵表达式如下 j N j N j j j N j N j j u u u u u u u u rr rrr rr rr 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 21 21 21 21 3 六点 六点对对称格式称格式 六点差分格式 3 j k j k j k j k j k j k j k j k j f h uuu h uuu a uu 22 2 2 11 2 1 1 11 1 1 0 0 0 k N k jjj uuxu 热传导方程的差分格式 第 4 页 将 3 式改写成 j k j k j k j k j k j k j fu r uru r u r uru r 11 1 1 11 1 2 1 22 1 2 其矩阵表达式如下 j N j N j j j N j N j j u u u u rr rrr rr rr u u u u rr rrr rr rr 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 212 2 12 12 2 1 21 2 12 12 2 1 2 利用利用 MATLAB 求解求解问题问题的的过过程程 对每种差分格式依次取 用 MATLAB40 N 1 1600 1 3200 1 6400 求解并图形比较数值解与精确解 用表格列出不同剖分时的误差 2 L 向前差分格式 05 0 t 1 1600 3200 1 6400 1 1 0 t 3600 1 热传导方程的差分格式 第 6 页 3200 1 6400 1 2 0 t 1600 1 3200 1 热传导方程的差分格式 第 8 页 6400 1 向后差分格式 05 0 t 1600 1 3200 1 6400 1 热传导方程的差分格式 第 10 页 1 0 t 1600 1 3200 1 6400 1 2 0 t 1600 1 热传导方程的差分格式 第 12 页 3200 1 6400 1 六点差分格式 05 0 t 1600 1 3200 1 热传导方程的差分格式 第 14 页 6400 1 1 0 t 1600 1 3200 1 6400 1 热传导方程的差分格式 第 16 页 2 0 t 1600 1 3200 1 6400 1 热传导方程的差分格式 第 18 页 误差 2 L t 1 1600 t 1 3200 t 1 6400 t 0 05 8 888396579076 e 21 0 00140 000346408565 87426 t 0 1 8 837852967077 23e 59 0 00170 000422936658 240724 向前差分格式 t 0 2 1 165729341572 46e 136 0 001261490899 42459 0 000315223617 970853 t 0 05 0 004830905543 61983 0 002765170691 25328 0 001729712951 95573 t 0 1 0 005903735046 06959 0 003377972228 42041 0 002112641693 61075 向后差分格式 t 0 2 0 004408530271 26062 0 002520544967 20081 0 001575794253 93478 t 0 05 0 052600055587 3324 0 052516903313 7740 0 052475865649 8487 t 0 1 0 044322942782 0120 0 044255579663 4600 0 044222656111 9014 六点差分格式 t 0 2 0 026537594442 9049 0 026498017817 1388 0 026478894562 1501 3 方法方法总结总结及分析及分析 本文向前差分格式 向后差分格式及六点差分格式都是使用三对角系数矩阵 计算简 单 根据 matlab 作 特别明显的是 时 图像解析解波动特别大 05 0 t 1600 1 与真解差距很大 这是因为差分格式不稳定 根据误差比较 解本题时向后差分 2 1 1 r 格式误差最小 衡量一个差分格式是否经济实用 有点多方面因素决定 应考虑不同的情 况决定 附件程序附件程序 向前差分格式 function u err xq t t1 t 是时刻值 t1 是时间步长 N 40 h 1 N x h h 1 h r t1 h 2 u 1 sin pi x t 0时刻 R zeros N 1 N 1 for i 2 N 2 R i i 1 2 r R i i 1 r R i i 1 r end R 1 1 1 2 r R 1 2 r R N 1 N 1 1 2 r R N 1 N 2 r k t t1 for i 1 k u i 1 R u i end u 0 u i 1 0 for i 1 k for j 1 N 1 up j i exp pi pi t sin pi j 1 h end end x 0 h 1 plot x u b x up k r legend 数值解 精确解 err norm u up k end 向后差分格式 function u err xh t t1 N 40 h 1 N x h h 1 h r t1 h 2 u 1 sin pi x t 0时刻 R zeros N 1 N 1 for i 2 N 2 R i i 1 2 r R i i 1 r 热传导方程的差分格式 第 20 页 R i i 1 r end R 1 1 1 2 r R 1 2 r R N 1 N 1 1 2 r R N 1 N 2 r k t t1 for i 1 k u i 1 inv R u i end u 0 u i 1 0 for i 1 k for j 1 N 1 up j i exp pi pi t sin pi j 1 h end end x 0 h 1 plot x u b x up k r legend 数值解 精确解 err norm u up k end 六点差分格式 function u err ld t t1 N 40 h 1 N x h h 1 h r t1 h 2 u 1 sin pi x t 0时刻 R zeros N 1 N 1 for i 2 N 2 R i i 1 r R i i 1 r 2 R i i 1 r 2 end R 1 1 1 r R 1 2 r 2 R N 1 N 1 1 2 r R N 1 N 2 r for i 2 N 2 R1 i i 1 r R1 i i 1 r 2 R1 i i 1 r 2 end R1 1 1 1 r R1 1 2 r 2 R1 N 1 N