套筒天线的电磁特性分析.doc

装 订 线 摘 要 在现代化通信和遥感系统中 套筒天线因其频带宽 高增益 结构简单 馈电容易 方位面全向 纵向尺寸小等优点 得到了较为广泛的应用 套筒天 线的理论研究日益受到人们的重视 本文对安装在有限圆盘的套筒天线进行了 分析 本文首先介绍了电磁辐射理论 接着详细介绍了计算电磁辐射的一种重要 方法 矩量法 然后对套筒天线原型 单极子天线进行研究 着重介绍了将基 于频域的矩量法应用于套筒天线 计算出电流数据 并在基于有限元法的商业 软件 HFSS 内建立套筒模型 设计了一款驻波比小于 2 频率范围在 100MHz 到 250MHz 的天线 对比两种方法计算结果 其结果大致吻合 由此得到套筒 天线的增益方向图 通过此方向图可以计算天线的各项指标 关键词关键词 矩量法 套筒天线 HFSS 装 订 线 Abstract In modern communication and remote sensing system the sleeve antenna has been widely used because of its advantages such as frequency bandwidth high gain simple structure easy feeding omni azimuth and small longitudinal size The theoretical research of the sleeve antenna has been paid more and more attention and the analysis of the sleeve antenna installed on the finite disk is made This paper first introduces the theory of electromagnetic radiation and then introduces in detail an important method of calculating electromagnetic radiation moment method and then the sleeve antenna prototype monopole antenna research focusing on the application of the frequency domain method based on the rectangular antenna the calculation of current data In this paper a sleeve model is built in the commercial software HFSS based on the finite element method and a antennas with a standing wave ratio of less than 2 and a frequency range of 100MHz to 250MHz are designed By comparing the results of the two methods the gain direction of the sleeve antenna is obtained and the parameters of the antenna can be calculated by this direction map key words the Method of Moments Sleeve antenna HFSS 目录 第一章 绪论 1 装 订 线 第二章 电磁辐射理论基础 3 2 1 电磁场的基本方程 麦克斯韦方程组 3 2 2 位函数 4 2 3 格林函数 4 2 4 电磁辐射理论 5 2 5 唯一性定理和镜像原理 6 2 5 1 唯一性定理 6 2 5 2 镜像定理 6 2 6 天线的基本概念 6 第三章 矩量法 10 3 1 概述 10 3 2 矩量法的步骤 10 3 3 矩量法的数学基础 加权余量法 10 3 4 基函数的选取 11 n f 3 5 权函数的选取 12 m 3 5 矩量法的误差分析和发展 13 第四章 对单极子天线的研究 15 4 1 单极子天线的数学模型和波克林顿积分方程 15 4 1 1 矢势方程 15 4 1 2 任意形状截面柱形天线的波克林顿积分方程 16 4 1 3 单极子天线波克林顿积分方程及其近似解 17 4 2 计算仿真及结果 19 4 3 结论 20 第五章 套筒天线的研究 21 5 1 套筒天线的理论分析 21 5 2 通过MATLAB计算电流参数 23 5 3 使用 HFSS 进行验证 25 结束语 28 谢词 29 参考文献 30 附件 31 装 订 线 第 0 页 第一章 绪论 随着现代通信技术的迅猛发展 无线通讯越来越广泛 越来越多地应用于 国防建设 经济建设以及人民生活等领域 在无线通信系统中 需要将来自发 射机的导波能量转变为无线电波 或者将无线电波转变为导波能量 用来辐射 或接收无线电波的装置称为天线 天线在无线通讯中有着极其重要的作用 它 的性能的好坏直接影响到通讯质量的优劣 因此 对天线辐射特性的研究有着 极其重要的作用 天线的求解问题经常使用几种技术 通常来说这些技术可以分为实验 解 析和数值三大类 实验类方法通常是昂贵 费事 甚至是危险的 对于大多数 可以解析地求解的问题已经被求解了 直到 20 世纪 40 年代 才使用变量分离 法和积分方程求解了大多数电磁问题 应用解析技术 需要高度的创新 经验 和努力 又由于几何结构的复杂性 这些问题的特点是要么解析解十分棘手 要么是其解析解根本不存在 因此只能尽可能寻找其近似解 随着高速计算机的出现 数值解得到极大的发展 数值解就是用过数值的 方法来逼近解析解 一种解决各种电磁场问题 包括天线的有效 恰当的计算 机仿真 由现代快速计算机技术和先进的数值分析技术组成 这种仿真技术能 使天线设计师在桌面上是目标天线更形象化 在许多情况下 可提供比实验室 更多的信息 且成本低 效率高 对于各种数值计算方法 它们是将原连续数学模型转换成等价的离散数学 模型 取决于不同的数学内涵 目前在电磁场数值分析中常用的数值计算方法 由 应用于微分方程型数学模型的有限差分法 有限元法和蒙特卡洛法 应用 于积分方程型数学模型的模拟电荷法 矩量法和边界元法 以及基于直接积分 运算关系式的数值积分等 此外 还有另类数值计算方法的互相组合 如微分 和积分组合型数学模型的单标量磁位法 双标量磁位法等 进一步拓展了数值 计算方法在工程实践中的应用 其中 矩量法是分析各种电磁散射与辐射问题的一个重要方法 Harrington 分别在 1968 年发表论文 1 之后 在电磁中应用矩量法变得普通起来 它的基 本思想是将一个积分或微分方程化为矩阵方程 即将积分或微分方程中待求函数 化为有限求和 从而建立代数方程 然后通过求解该矩阵方程 从而得的一个 误差最小的解 矩量法成功地应用于各种实际中人们感兴趣的电磁问题 例如 细导线元和阵列的辐射 散射问题 微带线和有耗结构的分析 非均匀土壤上 波的传播问题以及天线波束方向图等 在现代化通信和测向系统中 需要宽频带的天线作为阵列单元 人们发现 仅仅通过在普通单极子天线的外面罩上一个接地的金属圆筒 就能极大地改善 单极子的工作特性 拓宽工作频带 因此套筒天线因其频带宽 高增益 结构 简单 馈电容易 方位面全向 纵向尺寸小等优点 具有广泛的应用前景 许 多学者对这种特殊的单极子天线作了大量的研究 King 2 首先对其进行理论分 装 订 线 第 1 页 析 之后 Taylor 使用一种复杂的变量技术对 King 3 的模型进行验证 并取得一 致的效果 由于他们对于套筒和单极子上的电流分布应用了镜像以及叠加理论 并没有考虑振子和套筒半径的不连续性 因此 有一定的误差 本文首先回顾了电磁辐射理论 介绍了基础电磁场知识 天线的基本参数 再引入矩量法 对单极子天线的辐射特性进行研究 最后用首先采用基于频域 的矩量法 使用 MATLAB 计算得到电流分布 从而计算天线的驻波比 VSWR 辐射方向图 再借助商业软件建立同样的模型 得到结果基本一致 从而验证 了矩量法作为研究电磁问题的数值方法之一 在分析天线的散射与辐射中能得 到较好的结果 装 订 线 第 2 页 第二章 电磁辐射理论基础 2 1 电磁场的基本方程 麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是宏观电磁场满足的总方程 真空或介质中的宏观电磁场 的麦克斯韦方程组为 t B E 2 1 1 t D JH 2 1 2 D 2 1 3 0 B 2 1 4 式中 为电场强度 为磁场强度 为电位移矢量 为体电流密度 EHDJ 为体电荷密度 对于线性媒质 HB EJ ED 2 1 5 式中 分别表示媒质的介电常数 电导率和磁导率 只有在线 性且各向同性媒质的情况才是简单的常数 麦克斯韦方程组描述了场源激发的 场的一般规律 为了全面分析电磁场 还需要电荷守恒定律 t J 2 1 6 上式体现了时变电荷和全电流之间的电流连续性关系 上式可由式 J 2 1 中第二个和第三个推导得到 图 2 1 两种媒质交界面 在电磁问题中要涉及不同参数媒质所构成的临边区域 把电磁场矢量 E 装 订 线 第 3 页 在不同媒质分界面上各自满足的关系称为电磁场的边界条件 为DBH 了使得到的边界条件不受到坐标系的限制 可将场矢量在分界面上分解为与分 界面垂直的法向分量和平行于分界面的切向分量 0 21 EnEn s JHnHn 21 2 1 7 21 DnDn 0 21 BnBn 式中 表示为分界面的单位法线矢量 方向从媒质 2 指向媒质 1 为面传n s J 导电流密度 若媒质 2 为一个理想导体 理想导体的电导率为无穷大 则边界条件为 0 1 En s JHn 1 2 1 8 1 Dn 0 1 Bn 在分析电磁问题时 给予一定的激励 应用正确的边界条件 求解麦克斯 韦方程组 但通过直接求解微分方程或者积分方程不易求解 2 2 位函数 在时变电磁场的情况下 通过引入辅助位函数来描述电磁场 使一些复杂 问题的分析在求解过程中得到简化 由于磁场的散度恒等于零 即 因此可以把磁场看成为一个B0B B 矢量函数的旋度 A 2 2 1 AB 式中的矢量函数称为电磁场的矢量位 A 将式 2 2 1 带入 2 1 1 可得 0 t A E 2 2 2 上式表明是无旋的 故可以用一个标量的梯度来表示 即 t A E t A E 2 2 3 式中的标量函数称为电磁场的标量位 所以得到电场强度 t A E 根据矢量分析的亥姆霍兹定理 仅当其旋度和散度给定时 一个矢量才能 唯一地被定义 若设定 装 订 线 第 4 页 t A 2 2 4 上式为洛伦兹条件 对 2 2 4 取梯度后带入式 2 2 3 可得 2 2 5 A A E 2 t 电磁场的矢量位只和电流密度有关 如此便建立电场和电流的关系 A 2 3 格林函数 格林函数 又称源函数或影响函数 是由线性边值问题中得到的核函数 它构成了微分算子和积分方程之间的本质关系 格林公式又提供了处理偏微分 方程中的激励项 即算子方程 激励项 的一种方法 换而言之 gfL g 它通过将非其次问题转换为齐次问题 对求解非齐次边值问题 rr rr rr 4 e g jk 2 3 1 为了通过格林公式得到由源的分布所产生的场 需要寻找源的每一部分对场所 产生的影响 然后对它们求和 如果为由位于位置的单元源 在观察 rrG r 点 所产生的场 则由分布为的源 在 r 处所产生的场为乘积函数r rrg 在源所占据的区域上的积分 这里 G 代表格林公式 rrG rrg 这是一个最常用的格林函数 利用它可以很方便的将无界空间中区域分布 源的势表示成积分的形式 2 4 电磁辐射理论 在分析电磁场时使用辅助函数 4 会带来方便 引入电磁矢量位和标量位A 在洛伦兹条件下 二者满足下列方程 2 2 2 t 2 3 1 J A A 2 2 2 t 2 3 2 先求标量位的解 该式是线性方程组 其解满足叠加原理 设标量位 是由体积元内的电荷元所产生 外不存在电荷 由式 V V q V 2 3 1 外的标量位满足下式 V 2 3 3 0 t2 2 2 把视为点电荷 他产生的场具有球对称性 在球坐标下 上式可化简为q 装 订 线 第 5 页 0 1 2 2 2 2 t r r r rr 2 3 4 设该式的解 代入上式得 r trU t r 0 t 1 2 2 22 2 U vr U 2 3 5 其中 对于时变电磁场 则该方程的通解为 1 v Vd e V jk rr rr r 4 1 r 2 3 8 Vd e V jk r rr r rr J A r 4 r 2 3 9 利用格林公式可以将上式化为 2 3 10 Vd V g 1 rrrrr 2 3 11 Vd V grrrrrA 由上式可以看出 我们只要得到天线上的电流分布 并由此计算电磁辐射 具体计算步骤为 通过已知的求出 再根据 从而求得 最后JAAB B 根据 从而求出电场分布 Ej H 时变的电荷和电流是激发电磁场的源 为了让电磁场能量按照人为的要 求方向辐射出去 时变的电荷和电流必须按照特定的方式排列 天线就是设计 成按规定方向能够有效辐射电磁波的装置 2 5 唯一性定理和镜像原理 2 5 1 唯一性定理 在分析有界区域的时变电磁场问题时 常常需要在给定的初始条件和边 界条件下 求解麦克斯韦方程组 那么 在什么定解条件下 在有界区域的麦 克斯韦方程的解才是唯一的 这就是麦克斯韦方程的解的唯一性问题 唯一性 定理指出 在一闭合曲面为边界的有界区域 V 内 如果给定时刻的电场S0t 强度和磁场强度的初始值 并且在时 给定边界面上的电场强度EH0t S 和磁场强度的切向分量 那么 在时 区域 V 内的电磁场由麦克斯EH0 t 韦方程组唯一的确定 装 订 线 第 6 页 2 5 2 镜像定理 根据电磁场的唯一性定理 为确定一个空间内的电磁场 只需要给这个区 域边界面上的切向分量电场或磁场 而不必顾及场由怎样的源产生的 这就为 建立场等效原理提供了必要的基础 场等效原理是这样的一个物理原理 在一 个给定空间区域内由确定的源产生的电磁场可以看作是由另外的等效源产生的 不论等效源是否实际存在 只要它们在给定的同一空间区域内产生的场相同即 可 通常等效源问题较原问题更容易求解 这就有助于解决某些困难的电磁场 边值问题 举一个熟知的例子来说明 点电荷在以它为中心的半径球面以q 0 r 外的空间区域中建立的静电场也可以认为是由在半径球面上均匀分布的面电 0 r 荷建立的 对于球外区域的场这两种源是互为等效的 尽管它们在球内区域建 立的场不同 镜像原理 5 的基本思想是 在所研究的场域以外的某些适当的位置上 用 一些虚设的源等效代替导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷 这样就 把原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间中的问题来求解 2 6 天线的基本概念 时变的电荷和电流是激发电磁场的源 为了让电磁场能量按照人为的要求 方向辐射出去 时变的电荷和电流必须按照特定的方式排列 天线就是设计成 按规定方向能够有效辐射电磁波的装置 天线能够发射或者定向接受电磁辐射 为了表征天线的的特性 从而定义了一些参数 1 方向性函数和方向性图 天线辐射特性与空间坐标之间的函数关系式称为天线的方向性函数 根据 方向性函数绘制的图形称为天线的方向性图 因为人们最关心的辐射特性是在半径一定的球面上 根据观察者方位的变 化 辐射能量呈三维空间分布 故可以以此定义天线的方向性函数 在离开天 线一定距离处 描述天线辐射场的相对值与空间方向的函数关系 称为方向性 函数 用表示 f 为了比较不同天线的方向特性 通常采用归一化方向性函数 定义为 2 6 1 maxmax f f F E E 其中为一定距离某方向的电场强度 为同样距离上的电场 E max E 强度最大值 为方向性函数的最大值 max f 根据归一化方向性函数可以绘制归一化方向图 这是一个三维空间图形 一般为了绘制的方便 通常只做出两个特定的正交平面内的分布 如下图表示 的电偶极子的 E 面方向图和 H 面方向图 装 订 线 第 7 页 图 2 2 电偶极子的 E 面方向和 H 面方向辐射图 为了研究天线的辐射功率的空间分布状况 引入功率方向性函数 Fp 功率方向性函数和场强方向性函数的关系为 F 2 6 2 F F 2 p 此外 为了对天线的方向图进行定量分析 通常要考虑以下几个工作参数 主瓣宽度 副瓣电平 前后比 2 方向性系数 在相等的辐射功率下 受试天线在其最大点辐射方向的点产生的功率密 度和一理想的无方向性天线在同一点产生的功率密度的比值 定义为受试天线 的方向性系数 表示为 2 6 3 0 0 2 max 2 r Pr P E E D 式中的和分别为受试天线和无方向的辐射功率 r P r0 P 3 效率 天线的效率定义为天线的辐射功率和输入功率的比值 r P in P 2 6 4 Lr r in r A PP P P P 式中为天线的总损耗功率 是指包括天线导体中的损耗与介质材料中的 L P 损耗 4 增益系数 在相同输入功率下 受试天线在最大辐射方向上某点产生的功率密度与 一理想的无方向性天线在同一点产生的功率密度的比值 定义为该受试天线的 增益系数 用表示 G 装 订 线 第 8 页 0 0 2 max 2 r Pr P E E G 2 6 5 5 输入阻抗 天线的输入阻抗定义为天线输入端的电压和电流的比值 即 2 6 6 in in in I U Z 天线的输入端是指天线通过馈线和发射机相连时 天线和馈线的连接处 天线作为馈线的负载 一般需要达到阻抗匹配 天线的输入阻抗是天线的重要 参数 与天线的几何参数 激励方式和周围物体的距离等因素有关 只有少数 简单的天线才能准确计算输入阻抗 多数天线的输入阻抗则需要实验测定 或 者进行近似计算 6 有效长度 天线的有效长度是指 在保持实际天线最大辐射方向上的场强不变 假设 天线上的电流是均匀分布 电流的大小等于输入端的电流 此假想天线的长度 即实际天线的有效长度l 7 极化 天线的极化是指天线在最大辐射方向上电场矢量的取向随时间变化的规律 极化就是在空间上电场矢量的端点随时间变化的轨迹 可以分成 线极化 圆 极化和椭圆极化 线极化天线可以分成水平极化天线和垂直极化天线 圆极化 天线可以分成右旋圆极化天线和左旋圆极化天线 一般 偏离最大辐射方向是 天线的极化方向也会改变 8 频带宽度 天线的频带宽度是指 当频率改变时 天线的电参数能保持在规定的技术 要求范围内 将对应的频率变化范围称为天线的频带宽度即带宽 装 订 线 第 9 页 第三章 矩量法 3 1 概述 矩量法 MoM 是近年来在传输线 天线和电磁散射等广泛应用的一种方 法 在实际工程中 有些问题涉及开域 激励场源分布形态比较复杂 而矩量 法是将待求的积分或微分问题转化为一个矩阵方程问题 高维数的线性联立方 程组数值解的主要困难在于求解逆矩阵 但借助于计算机可以容易求得其数值 解 继而在所得激励源分布的数值解基础上 便可以算出辐射场的分布及其特 性参数 因此矩量法成为求解电磁场问题的一种非常有效的方法 3 2 矩量法的步骤 应用矩量法 6 解方程步骤包括以下四步 1 导出适当的积分方程 2 使用基函数和加权函数将积分方程转换成矩阵方程 3 计算矩阵的元素 4 解矩阵方程得到我们所需要的系数 3 3 矩量法的数学基础 加权余量法 对于一般形式积分方程令算子方程为 gfL 3 3 1 装 订 线 第 10 页 为算子 为已知激励函数 为未知响应函数 算子的定义域为算子作LgfL 用于其上的函数 的集合 算子的值域为算子在其定义域上运算而得到的函fL 数 取不同形式 便可描绘不同的电磁工程场问题 gL 将未知函数展开为级数即 f z a f n zfz nn 3 3 2 其中 为展开函数或者基函数 为待定系数 因此为了精确逼近 zfn n a 未知函数 所取项数越多越好 但要是使矩阵方程的维数有限 所以展开 f z 式的级数实际上只能取有限项 故只能在近似意义上逼近未知函数 则近 f z 似解近似满足场方程 但必有误差存在 称为有余量 记作 即 zR 3 3 3 gzLfzR 如果选用不同的构造函数 使余量在某种意义上为零 便可以相应的 zR 求解方法 因为算子的线性 故L gfL nn a n 3 3 4 如果选择一个正交函数族 并且以适当的方式定义两个函数 和之间 m fg 的内积 用表示 然后做出与方程 3 3 4 之间的内积 便得到gf m 一组线性方程组 2 1 n mgwfLa mnmn 3 3 5 函数称为权函数 或者称为试探函数 m 令 他等价于人为地强制近似于近似解 让其因不能精 0 v m gzLf 确的满足场方程而导致的误差在平均的含义上等于零 所构成的求解房产的求 解方法被统称为加权余量法 也称为矩量法 定义矩阵 2212 2111 fLfL fLfL lmn 3 3 6 2 1 aa a n g g m g 2 1 装 订 线 第 11 页 3 3 7 则线性方程组 3 1 5 可以写成矩阵形式 mmn alg n 3 3 8 若矩阵是非奇异的 逆矩阵存在 那么解就可以在形式上写为 l 1 l n a mmnn gl 1 a 3 3 9 上式代入展开式 2 就得到用矩阵形式表示的积分方程的解 mmnnnn glfff 1 a 3 3 10 这里是展开函数列矩阵的转置矩阵 为一行矩阵 n f fff n21 n f 3 3 11 此解是精确的还是近似的 要取决于和的选择 因此对于 zfn m 的选择至关重要 原则上 只要增加所构成的基函数的个数 便保证待 zfn 求的未知函数收敛于精确解 当选择在特殊情况下 这种通常称为 m zf n 伽略金法 3 4 基函数的选取 n f 待求函数的近似解可以通过构造的彼此线性无关的基函数 由展开的级数 来近似逼近 那么 近似解的收敛性 稳定性和所需要的计算量都和基函数的 选取有关 基函数的选取取决于具体问题的特征 总的来说 基函数可以分成 整域基函数和分域基函数 1 整域基函数 整域基函数是指在线性算子的定义域内 即在待求函数的定义域内都Lf 有基函数 通常有下面几类 1 傅里叶级数 则待求函数可表示为kxx k sin f nk k kk uxf 1 3 4 1 2 马克劳林级数 相应的待求函数可表示为 k xf nk k k ku xf 1 3 4 2 3 勒比特多项式 相应的待求函数可表示为 xPkf 装 订 线 第 12 页 nk k kk uxPf 1 3 4 3 式中 勒比特多项式 kl l k l k k x klklk kl xP 2 2 0 2 2 22 1 2 分域基函数 1 分段常数函数 其他 0 1 2 12 1nn n zzz zu 3 4 4 2 分段线性 或三角 函数 其他 0 11nn n n zzz zz zu 3 4 5 3 分段正弦函数 其他 0 sin sin 11nn n n zzz k zzzk zu 3 4 6 式中 Nl 3 5 权函数的选取 m 不同类型的权函数的选择 会决定算子方程的余量在不同意义取零 从而 得到不同模式的矩量法 主要有 点匹配法 伽略金法和最小二乘法 1 点匹配法 如果选取狄拉克函数狄拉克函数作为权函数 即 2 1 njrr jj 3 5 1 式中 狄拉克函数定义为 0 VrdVrr rrrr rrrr j v j jj jj 3 5 2 狄拉克函数的重要特点是 对于任意处连续的函数 有 j rr rf 装 订 线 第 13 页 v jj rfdVrrrf 3 5 3 由此可知矩量法方程相对应的矩阵元素的计算结果为 V jnjjnmmn rLdVfLrrfLl 3 5 4 和 V jjjmj rggdVrrgg 3 5 5 上述方法称为点匹配法 2 伽略金法 若权函数选为基函数 即当选择在特殊情况下 这种通常称为伽 n f m 略金法 3 最小二乘法 若权函数选为余量本身 即令 j j u R 2 3 5 6 则就构成最小二乘法的计算模式 最小二乘法是通过定义目标函数为余F 量平方和 求取极小值的方法 即 min 2 dVRF V 3 5 7 现在将余量带入上式 这样就把目标函数的极值问题转换gzLfzR F 成一个多元函数的极值问题 即最小二乘法的离散化计算模式可化为 2 1 02njRdV u R Vj 3 5 8 综上所述 在矩量法的求解过程中 不仅要待求函数用不同的基函数展开 相应的权函数也有不同的选择 基函数和权函数的不同结合 对待求物理场问 题所需要的计算工作量和所得解答是否符合工程要求等放面都有不同的影响 矩量法是一种功能强大的数值方法 3 5 矩量法的误差分析和发展 应用矩量法时所产生的误差 7 有以下几种 1 建模误差 这是指建模时 采用的理论近似所产生的误差 例如用无线 长理想导体代替实际集合形状或结构 用点表示小单元中心的位置 平 yx 滑圆柱体的积分和直线积分路径等都会引入这种误差 2 数字化误差 这里进行数字化是产生的误差 例如当把用脉冲函数展 z J 装 订 线 第 14 页 开 把积分限变成小单元上积分等数值处理时所引入的误差 3 近似误差 这是由于数学近似所产生的误差 例如 积分近似处理等造 成的误差 4 数值计算误差 是指计算机进行运算时 数值计算所产生的误差 例如 汉克尔函数的积分只能达到一定的精度 而计算阻抗矩阵时 需要用到它 矩量法的应用主要受到以下几个方面的限制 首先 必须针对所要求解的 问题导出相应的积分方程 其次 在此基础上还要选择 构造全域或分域上满 足边界条件的基函数 另外 由于需要求解满阵的线性代数方程组 当未知量 的个数为 N 时 矩量法所需的计算量为 当用直接分解法和迭代法求解时 2 N 所需的计算量分别为和 这种计算复杂度限制了矩量法对 N 很大的问题 2 N 3 N 的应用 例如大目标散射问题的计算 为此 在传统矩量法的基础上采用各种技术 使得其计算复杂度低至 以下 通常称为快速算法 在各种快速算法中 快速多极子方法 FMM 2 N 发展得最为成熟 在此基础上又发展了多层快速多极子算法 MLFMA 基 于矩量法的快速算法研究的另一个途径是小波正交基的应用 用积分方程描述电磁场问题时 采用边界或表面积分方程 可将问题的求 解降低一个维度 大大减少未知量的个数 运用格林函数建立积分方程满足了 辐射条件 可使解域限定在待求量的定义域之内 因此 基于积分方程的矩量 法自然具有一定的优越性 快速解法的发展使其具有了新的活力 矩量法求解过程简单 求解步骤统一 应用起来比较方便 然而需要一定 的数学技巧 如离散化的程度 基函数与权函数的选取 矩阵的求解过程等 装 订 线 第 15 页 第四章 对单极子天线的研究 4 1 单极子天线的数学模型和波克林顿积分方程 单极子天线是由一根半径为 a 高度为 的圆柱导体组成 其馈电处的高度l 为 对于单极子天线辐射特性的分析采用镜像法较为简便 其分析模型如图 z 4 1 图 4 1 单极子天线分析模型 我们在假定天线上的电流为沿天线轴线的线电流而且电流为正弦分布的情 况下 可以计算天线的辐射特性 截面有限的柱形导体天线上的电流分布的严 格确定实际上是个边值问题 即使天线是孤立的 周围没有其他的天线和物体 天线上的电流分布也会受到馈电结构的场以及天线上电流所产生的近场的影响 这就自然地导致用积分方程给出天线上的电流分布 由于电流分布于柱形导体 表面 柱形导体的截面积及截面形状对于天线的特性 特别是天线的输入阻抗 有着明显的影响 线天线的积分方程理论可以将这些影响因素考虑进去 但在 装 订 线 第 16 页 建立天线上电流分布的积分方程的过程仍需要对天线的几何结构 特别是馈电 结构做出简化的处理 在建立了柱形天线的适当的几何模型 8 之后 就可导出 相应的积分方程 4 1 1 矢势方程 关于柱形天线上电流分布的积分方程式可有麦克斯韦方程式中的磁场旋度 方程 4 1 1 EJB 000 j 和矢势的非齐次波动方程 JA 0 2 0 2 k 4 1 2 导出 将带入上式得AB 4 1 3 EJAA 000 2 j 然后把 4 1 2 带入 4 1 3 消去得出 J EAA 00 2 0 jk 4 1 4 以及无界自由空间中推迟矢势式 Vd e V jk r rr r rr J A r 4 r 4 1 5 带入 4 1 4 消去后得A 4 r 0 2 0 rE J rr jVd e k V jk r rr r 4 1 6 式 4 1 6 是关于电流分布的微分积分方程 由于是利用矢势导出 r J 的 成为矢势方程 它是关于柱形天线上电流分布的其他形式积分方程的基础 4 1 2 任意形状截面柱形天线的波克林顿积分方程 在矢势方程 4 1 6 中积分区域 V 应包括所有有电流的区域 即应包括天 线上的电流分布区域及馈电系统的电流分布区域 9 另一个方面 为导出天线 上电流分布的积分方程 V 应当包括天线的电流 这就需要对于馈电系统电流 分布作一定的简化处理 通常是忽略馈电系统的电流分布 为简化天线电流分 布的积分方程还需要对天线的几何结构作简化假定 设天线为一截面形状任意 的细直柱导体 满足条件及 这里为横截面积周线总长 为1 0 uk lu ul 天线长 为横截周线的弧长变量 如图所示 若天线用理想导体管制作 除 s 端部外在管的内壁上没有电流 在管壁厚度很小的情况下端部的内壁电流也可 以忽略 这样可以认为仅在管的外表面上有电流 而且在细柱体的假定下管外 表面的电流仅有轴向分量 若天线由实心导体制作 在两个端面上会出现径向 装 订 线 第 17 页 电流 在略去这部分端面径向电流的近似条件下 天线的电流分布仍可看作是 仅含有 z 分量的面电流 在上述近似下矢势方程 4 1 6 便化成下面的标量方程 z sEjzdJ e k z z S jk z s 4 0sz 2 0 2 2 0 r rr r rr 4 1 7 这里积分方程 S 为天线导体柱的外表面 为 z 方向的面电流密度 将面积 sz J 分离为沿截面周线 C 的积分和轴线的积分 有 z z sEjzdsdJ e k z z l l C jk z s 4 0sz 2 2 2 0 2 2 0 r rr r rr 4 1 8 由于 z 不是积分分量 对 z 求微商可移动积分号内 如果令 r rr r 4 0 2 0 2 2 rrjk e k z zszsG 4 1 9 式 4 1 8 就可化简为 z sEjzdsdJzszsG z l l C z s 0sz 2 2 4 1 10 方程 4 1 10 右边的是天线表面的电流分布在天线表面 s z 点z sEz 产生的轴向电场分量 除此之外在天线表面还存在着其他源产生的外场 其轴 向分量用表示 当天线工作在发射状态时外场是由馈源产生的 当天线z sEi z 工作于接收状态时外场则是由远处的源产生的入射场 或者两种外源同时存在 天线电流及外源产生的场这两者的轴向分量之和在天线表面应满足理想z sEi z 导体的边界条件 0 z sEz sE i zz 4 1 11 将 4 1 11 带入 4 1 10 我们得到 z sEjzdsdJzszsG i z l l C z s 0sz 2 2 4 1 12 式 4 1 12 称为广义波克林顿方程 如能正确地给出外场 求解这个z sEi z 方程便可得到天线表面的电流分布 4 1 3 单极子天线波克林顿积分方程及其近似解 对于圆形截面的细柱形天线 10 广义波克林顿积分方程 4 1 12 可以 化简 并且容易求出它的近似解 设天线处于发射状态 为了能求出方程的解 需对馈源做出进一步的假定 使得可确切的给出方程式右边的非齐次项 假设 馈源是一种理想的馈源 它所产生的场局限于高为的柱形区域中 因此可以 装 订 线 第 18 页 假定在天线的外表面处处有 0 z sEi z 4 1 13 对于圆形截面的细柱形天线 如果进行进一步假定馈源的场分布具有轴对 称性就可以认为天线在天线截面的圆周上是均匀分布的 这样 4 1 8 式中的 面积分可化简为 zdadJ D e zdsdJ e l l Djk l l C jk z 4 z s 4 sz 2 2 2 0 sz 2 2 0 0 r rr r rr 4 1 14 这里 2 1 22 2 1 sin2 azzD 4 1 15 于是广义 Pocklington 积分方程便化简成 0 42 1 2 2 2 0 2 0 2 2 0 zdzI D e dk z l l Djk 4 1 16 其中 2 zaJzI sz 4 1 17 为天线表面上的电流 下面来求出积分方程 4 1 14 的近似解 由于为小量 不难看出对于a 4 1 14 式中的积分的主要贡献是来自的邻近线端的积分 因此这个zz 积分可近似写作 bz bz azz zddzI 2 0 2 1 22 2 1 sin2 4 2 4 1 18 这里 b 为常数且 积出上面的积分得到ab a b azz zdd bz bz 2 ln 2 1 2 1 sin4 8 1 2 0 2 1 222 2 4 1 19 于是积分方程 4 1 16 便化成微分方程 0 2 ln 2 1 2 2 2 zIk dz d a b 4 1 20 求解 4 1 20 便得到天线上的电流分布 kzckzczIcoscos 21 装 订 线 第 19 页 4 1 21 式中 和为积分常数 1 c 2 c 这样由方程 4 1 14 和 4 1 12 可得到 4 1 22 zdzzkzE j kzckzczdzzGzI l l z l l 2 2 21 2 2 sin coscos 式中 为周围媒质的本征阻抗 方程 4 1 22 被认为是与完善导体柱天线相关的海伦积分方程 11 海 伦积分方程的计算是方便的 因为其核仅含项 其主要优点是使用此种方rl 法易于得到一个收敛的解 而主要缺点是为了确定积分常数和需要额外的 1 c 2 c 计算 将的近似表达式即带入 4 1 22 得到 z I 1 zuIzI n N n n 2 2 1 mzm l l n N n n zEdzzzKzuI 4 1 23 其中 4 1 24 1 2 2 2 zzGk zj zzK mm 为积分核 在小段上 m 是线上的点 在此点上应用积分方程 方程 m z z 4 1 23 可以写为 4 1 26 1 z mzn N n mn zEzdzuzzKI n 或者写成 4 1 27 1 mz N n mn zEgI 其中 4 1 28 zdzuzzKg n N n mm n 1 z 为了求解未知电流幅值 需要从方程 4 1 26 推导出 N 3 2 1 NnIn 个方程 因此对 4 1 26 两边乘以权函数 并在整个线长度 3 2 1 Nn n 上积分 或者说 在平均意义上 4 1 26 在整条线被满足 这导出了每一个 加权函数和之间的内积的构成 所以 4 1 26 化为 m g 4 1 29 NmEgI zn N n mnn 2 1 1 这样有 N 个联立方程 它们可以写成矩阵形式 装 订 线 第 20 页 4 1 30 zNN z z NNN N N E E E I I I gg gg gg 22 11 1 1 1 1 212 111 即 则电流解可由解联立方程组 4 1 29 或由矩阵求逆得到 VIZ 4 1 31 VZI 1 矩阵 被分别称为广义阻抗 电压和电流矩阵 一旦分布电 Z V I 流由 4 1 28 或 4 1 29 计算出来 则实际感兴趣的其他参数 如输入阻 抗 辐射方向图等 4 2 计算仿真及结果 设天线的总长度为半个波长 半径为 波长 3 1002 7a VV1 0 1 根据公式可求得电流分布图 图 4 2 和辐射方向图 图 4 3 ml25 0 根据电流分布图可以看出电流在馈电处电流最大 高度最高点幅值最小 由于 该天线是中间馈电的 所以它的功率大小是关于 90 度对称的 当且它的入射 角为 90 度是 功率辐射大小为零 由于 此时电流分布对馈电位 2 5 02 l 置的反应不太明显 图 4 2 电流分布图 装 订 线 第 21 页 图 4 3 单极子天线辐射方向图 4 3 结论 矩量法是研究电磁散射和辐射的主要方法之一 用矩量法研究偶极子天线 的辐射特性可以计算求得天线的电流分布 从而根据电流分布可以求得天线的 各种特性 在此基础上 如何选择矩量法电流密度的基函数 如何缩短矩量法 矩阵元素的形成时间 从而提高矩量法的计算效率 将是我们要研究的方向 装 订 线 第 22 页 第五章 套筒天线的研究 5 1 套筒天线的理论分析 图 5 1 套筒天线原型 图 5 1 套筒天线的数学析模型 根据图 5 1 是套筒天线 12 的现实模型 根据镜像法和唯一性定理 将天线 进行上下镜像对称 其结果和原模型一致 如图二所示 套筒天线垂直于地面 套筒内单极子天线的高度为 套筒的高度为 馈源的高度为 内导体的Hh s h 直径为 外套筒的直径为 假设套筒为无厚度金属 ab 所分析天线采用镜像法 引入源 因为天线表面电流只有分量 所以 Z 对于电磁矢量位只有分量 因此在远区场的无源区域满足下式 AZ 0 t2 2 2 z z A A 5 1 3 式中 采用复数形式 在圆柱坐标下化为下式 z eA z A 5 1 4 0 z 1 2 2 2 2 2 Z ZZZ A AAA 对 5 1 4 式对进行傅里叶变换 13 可得ZdzAzAFA ZZZ zj e z 0 1 22 2 zz zz AA AA 5 1 5 令可化简为 222 5 1 6 0 1 2 2 2 A Z 求解 5 1 6 令 则 方程 x y Az y Az y Az 2 5 1 6 变成 0 22 yxyxyx 5 1 7 装 订 线 第 23 页 上式为贝塞尔方程 求解 5 1 6 式可得 当时0 2 b b a a C C C AZ 0 C 04 032 1 H HJ J 0 0 5 1 8 当时 此时 为复数 贝塞尔方程变成修正贝塞尔方程 令则0 2 22 b ba a C CC C AZ 0 08 76 5 K KI I 0 0 5 1 9 其中为 0 阶贝塞尔函数 为待求系数 0 0 KIHJ 00 81 CC 根据安培环路定律和 从而得到和的联系等 Z E B j Z AB Z EA 式 Z Z z A A E 2 2 2 zj 1 5 1 10 对上式对变量 取傅里叶变换 z Zz AE 2 j 1 5 1 11 利用边界条件 14 求待定系数 81 CC b I A A a I A A b b Z b Z a a Z a Z bzbz azaz 2 2 0 0 EE EE 5 1 12 通过 5 1 12 便可以求的系数 把式 5 1 8 和 5 1 9 带入 81 CC 5 1 10 可得 4 1 ba aa E baaz I I 5 1 13 4 1 b bb ba E baz I I 装 订 线 第 24 页 5 1 14 上式中 为 的频域 0 0 2 2 2 0 2 0 2 y x j x yx KI HJ 0 0 a I b I a I b I 形式 对电流进行余弦函数插值法 15 即 设 2 sin 1 Hz H n AI Nn n na 5 1 15 2 sin 1 hz h m BI Mn n mb 5 1 16 对上式关于进行傅里叶变换得 z 2 1 HnA I Nn n na 5 1 17 2 1 hmB I Mm m mb 5 1 18 式中 为矩量法待求系数 22 22 2 1 l x ee lxxl x jx jl n A m B 因为把天线作为理想导体进行分析 根据边界条件应满足切向分量恒等于 0 套筒始终接地有 设是天线表面的电流分布 16 在天线表面处产0 bz E az E 生的方向分量 除此之外在天线的表面还存在着其他源产生的电场 其方zz 向分量用表示 当天线处于发射状态时 外场是由馈源产生的 当天线处于 i z E 接受状态时 外场是由远处的源产生的入射场 或者是这两种外源同时存在 但无论怎样天线电流和外源产生的场这二者的切向分量之和在天线表面也满 i z E 足理想导体的边界条件 0 i zaz EE0 bz E 5 1 19 其中天线源 ss i z h h E 把 5 1 13 和 5 1 14 进行傅里叶反变换 并带入 5 1 19 使用 权函数和基函数相乘再进行积分 即伽略金法 得到下列方程 4 1 1 baZBaaZAg Hk hm Mm m m Hk Hn Nn n nk 5 1 20 0 1 1 bbZBbaZA hl hm Mm m m hl Hn Nn n n 装 订 线 第 25 页 5 1 21 上式中 dba hlhnbaZ hl Hn s k k h H k k g 2 cos 2 sin 1 使用 matlab 求解 5 1 20 和 5 1 21 得到电流系数和 得到电 n A m B 流的近似值 从而求得天线的其他参数 5 2 通过 matlab 计算电流参数 在谱域矩量法 17 计算套筒天线的的所有过程用 matlab 编写程序 在程序 的执行过程中 要输入以下几个参数 工作频率 f 内导体半径 025 0 ma 套筒半径 1 0mb 内导体高度 8075 0 mH 外导体高度 33375 0mh 馈电点高度 018 0 mhs 8 854187818e 12 0 1 2566370614e 6 0 9 N M 电流模式总数 先用 DO1 M 求出电流分布 再分别采用其他软件计算输入驻波比等特性 Pattern 2 FOR 和 Pattern FOR 的差别是 10 log10 x 和 10 log10 x2 的关系 当 160MHZ 时 计算结果如下 f 实部 虚部 0 01771235 0 00451662 0 00000000 0 00000001 0 00509707 0 00963300 0 00000001 0 00000001 0 00116096 0 00230862 0 00000000 0 00000000 0 00024339 0 00067720 0 00000000 0 00000000 0 00023114 0 00001954 0 03267668 0 04102292 0 00000003 0 00000003 0 00315561 0 00207755 0 00000002 0 00000002 0 00145487 0 00149856 0 00000002 0 00000002 0 00090641 0 00094580 装 订 线 第 26