(教师1份)分式方程解法讲义.

1 第第 3 3 讲讲 分式方程分式方程 基础知识精讲基础知识精讲 1 分式方程概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 分式方程的重要特征是 是方程 分母中 含有未知数 在此之前我们学过的方程 分母中都不含有未知数 都是整式方程 2 解分式方程的基本 思路 转化 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程 这种转化的具体做法是 去分母 即方程两边同乘最简公分母 归纳如下 如 解方程 方程两边都乘以 x 3 2x 7 得 2 2x 7 3 x 3 4x 14 3x 9 x 23 3 分式方程的解法 1 去分母 方程两边同乘以各分母的最简公分母 将分式方程转化整式方程 2 解这个整式方程 3 验根 确定原方程的解 即把整式方程的根代入最简公分母 看结果是不是零 若结果不是零 说明此根是原方程的根 若结果是零 说明此根是原方程的增根 必须舍 去 验根的方法有两种 一是代入到所乘的最简公分母中 看公分母的值是否为零 若不为 零 是原方程的根 若为零 不是原方程的根 叫原方程的增根 二是分别代入到原方程的左 边和右边 若左边与右边的值相等 则是原方程的根 若左右不等或一边分母为零 则不 是原方程的根 4 写出方程的解 4 分式方程的增根及产生增根的原因 将适合所化的整式方程 但不适合原分式方程的根叫做分式方程的增根 在解分式方程时 必须将其化为整式方程 这样就要在分式方程的两边同乘以恰当的 整式 当这个整式的值为0时 就产生了增根 所以同乘以最简公分母时扩大了未知数的范 围 因而可能产生增根 因而需要检验 5 列分式方程解应用题的步骤 1 审清题意 找出题目的等量关系 2 设出未知数 表示其它未知量 3 根据等量关系 列出分式方程 4 解分式方程 并验根 这是解分式方程必 不可少的步骤 2 5 写出符合题意的答案 注意 由于列方程解应用题是对实际问题的解答 所以检验 时除从数学方面进行检验外 还应考虑题目中的实际情况 凡不符合条件的一律舍去 典型例题典型例题 例例 1 1 1 解方程 2 x x 2 2 x x 2 8 4x 分析 由分式方程的概念可知 此方程是分式方程 因此根据其特点应选择其方法 是 去分母法 并且在解此方程时必须验根 解 去分母 得x x 2 x 2 8 x2 2x x2 4x 4 8 整理 得 x2 x 2 0 解得 x1 2 x2 1 经检验 x1 1 为原方程的根 x2 2 是增根 原方程的根是 x 1 去分母法解分式方程的具体做法是去分母法解分式方程的具体做法是 把方程的分母分解因式后 找出分母的最简公分 母 然后将方程两边同乘以最简公分母 将分式方程化成整式方程 注意去分母时 不要 漏乘 最后还要注意解分式方程必须验根 并掌握验根的方法 2 分析 本 题方程中分母含有未知数 x 是分式方程 解分式方程的关键是去分母 将 分式方程化为整式方程 首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解 再找最简 公分母 解 将原方程变形 例例 2 2 已知关于 x 的方程 2x2 kx 1 0 的一个解与方程 4 的解相同 21 1 x x 1 求 k 的值 2 求方程 2x2 kx 1 0 的另一个解 3 分析 解分式方程必验根 解 1 4 21 1 x x 2x 1 4 4x x 1 2 经检验 x 是原方程的解 把 x 代入方程 2x2 kx 1 0 解得 k 3 1 2 1 2 2 解 2x2 3x 1 0 得 x1 x2 1 1 2 方程 2x2 kx 1 0 的另一个解为 x 1 点评 分式方程与一元二次方程 珠联壁合 旨在通过分式方程的解来确定一元二 次方程的待定系数 起到通过一题考查多个知识点的目的 练习练习 一 填空题填空题 1 当 时 的值等于 x 1 5 x x 1 2 2 当 时 的值与的值相等 x 42 4 x x 5 4 x x 3 若与互为相反数 则可得方程 解得 1 1x 1 1x x 4 若方程的解是最小的正整数 则的值为 2 1 2 xa x a 5 分式方程的解是 21 31xx 6 若关于的分式方程无解 则 x 3 1 1 xa xx a 二 选择题二 选择题 7 下列方程中是分式方程的是 A B C D 0 x x x 111 235 xy 32 xxx 11 1 32 xx 8 解分式方程 去分母后所得的方程是 121 3 3 x xx A B 1 3 21 3x 1 3 21 3xx C D 1 3 21 9xx 1 639xx 4 9 化分式方程为整式方程时 方程两边必须同乘 22 134 0 5511xxx A B 22 55 1 1 xxx 2 5 1 1 xx C D 2 5 1 1 xx 5 1 1 xx 10 下列说法中错误的是 A 分式方程的解等于 0 就说明这个分式方程无解 B 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 C 检验是解分式方程必不可少的步骤 D 能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解 11 解分式方程 下列说法中错误的是 2 236 111xxx A 方程两边分式的最简公分母是 1 1 xx B 方程两边乘以 得整式方程 1 1 xx 2 1 3 1 6xx C 解这个整式方程 得 1x D 原方程的解为1x 12 下列结论中 不正确的是 A 方程的解是 B 方程的解是 23 1xx 2x 23 11xx 5x C 方程的解是 D 方程的解是 2 1 22 x xx 4x 3 2 33 x xx 3x 13 关于 x 的方程 2 1 1 xa x 的解是正数 则 a 的取值范围是 A a 1B a 1 且 a 0 C a 1 D a 1 且 a 2 14 一件工程甲单独做 a 小时完成 乙单独做 b 小时完成 甲 乙二人合作完成此项工作需 要的小时数是 A a b B C D ba 11 ba 1 ba ab 15 工地调来 72 人参加挖土和运土 已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走 怎样调动劳 动力才能使挖出的土能及时运走 解决此问题 可设派 x 人挖土 其它的人运土 列方程 72 x x 3x 72 上述所列方程 正确的有 个 3 172 x x 3 x 3 72 x x A 1 B 2 C 3 D 4 16 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作 从第三个工作日起 乙志愿者加 盟此项工作 且甲 乙两人工效相同 结果提前 3 天完成任务 则甲志愿者计划完成此项 工作的天数是 A 8 B 7 C 6 D 5 17 某服装厂准备加工 400 套运动装 在加工完 160 套后 采用了新技术 使得工作效率比 原计划提高了 20 结果共用了 18 天完成任务 问计划每天加工服装多少套 在这个问 题中 设计划每天加工 x 套 则根据题意可得方程为 5 A B 18 201 400160 xx 18 201 160400160 xx 18 20 160400160 xx 18 201 160400400 xx 三 解答题 1 解方程 1 2 5 1 2552 x xx 237 3226xx 3 4 2 236 111xxx 2 14 1 11 x xx 5 6 6 1 22 x xx 1 63 104 2 45 x x x x 6 2 若关于的方程无解 求的值 x2 33 xk xx k 3 由甲 乙两个工程队承包某校校园绿化工程 甲 乙两队单独完成这项工程所需时间 比是 3 2 两队合做 6 天可以完成 1 求两队单独完成此项工程各需多少天 2 此项工程由甲 乙两队合做 6 天完成任务后 学校付给他们 20000 元报酬 若 按各自完成的工程量分配这笔钱 问甲 乙两队各得到多少元 4 面对全球金融危机的挑战 我国政府毅然启动内需 改善民生 国务院决定从 2009 年 2 月 1 日起 家电下乡 在全国范围内实施 农民购买人选产品 政府按原价购买总额的 13 给予补贴返还 某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱 电视机两 种家电 已知购买冰箱的数量是电视机的 2 倍 且按原价购买冰箱总额为 40000 元 电视 机总额为 15000 元 根据 家电下乡 优惠政策 每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机 补贴返还的金额多 65 元 求冰箱 电视机各购买多少台 1 设购买电视机台 依题意填充下列表格 x 项目 家电种类 购买数量 台 原价购买总 额 元 政府补贴返 还比例 补贴返还总 金额 元 每台补贴返 还金额 元 冰箱40 00013 电视机x15 00013 2 列出方程 组 并解答 7 5 铭润超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销 由于销售状况良好 超市又调拨 11000 元资金购进该品种苹果 但这次的进货价比试销时每千克多了 0 5 元 购进苹果数量 是试销时的 2 倍 1 试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元 2 如果超市将该品种苹果按每千克 7 元的定价出售 当大部分苹果售出后 余下的 400 千克按定价的七折 七折 即定价的 70 售完 那么超市在这两次苹果销售中共盈 利多少元 6 某工程队承接了 3000 米的修路任务 在修好 600 米后 引进了新设备 工作效率是原来 的 2 倍 一共用 30 天完成了任务 求引进新设备前平均每天修路多少米 8 7 在我市某一城市美化工程招标时 有甲 乙两个工程队投标 经测算 甲队单独完成这 项工程需要 60 天 若由甲队先做 20 天 剩下的工程由甲 乙合做 24 天可完成 1 乙队单独完成这项工程需要多少天 2 甲队施工一天 需付工程款 3 5 万元 乙队施工一天需付工程款 2 万元 若该工程计 划在 70 天内完成 在不超过计划天数的前提下 是由甲队或乙队单独完成该 工程省钱 还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱 8 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲 乙两种零件进行销售 若每个甲种零件的进价 比每个乙种零件的进价少 2 元 且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种零件的 数量相同 1 求每个甲种零件 每个乙种零件的进价分别为多少元 2 若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个 购进两种零件的总数量不超过 95 个 该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元 每个 乙种零件的销售价格为 15 元 则将本次购进的甲 乙两种零件全部售出后 可使销售两种 零件的总利润 利润 售价 进价 超过 371 元 通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云 机械厂购进甲 乙两种零件有几种方案 请你设计出来 9 课后作业课后作业 一一 选择 选择 3636 分 分 1 若分式方程有增根 则 a 的值是 xa xa x 3 2 1 A 1 B 0 C 1 D 2 2 若的值是 3 111 b a a b baba 则 A 2 B 2 C 3 D 3 3 把分式方程 的两边同时乘以 x 2 约去分母 得 1 2 1 2 1 x x x A 1 1 x 1 B 1 1 x 1 c 1 1 x x 2 D 1 1 x x 2 4 已知 则直线 y kx 2k 一定经过 k ba c ca b cb a A 第 1 2 象限 B 第 2 3 象限 C 第 3 4 象限 D 第 1 4 象限 二二 填空 填空 2121 分 分 1 方程的解是 0 4 1 4 2 x x x 2 若 22 22 2 ba baba b a 则 3 方程的解是 25 12xx 4 当取 时 方程会产生增根 m 3 2 3 x m x x 5 已知关于x的方程3 2 2 x mx 的解是正数 则 m 的 取值范围为 6 在课外活动跳绳时 相同时间内小林跳了 90 下 小群跳了 120 下 已知小群每分钟比 小林多跳 20 下 设小林每分钟跳x下 则可列关于x的方程为 7 甲 乙制作某种零配件 甲每天比乙多做 5 个 甲制作 75 个零件所用的天数与乙制作 50 个零件的天数相等 则甲 乙每天制作的零件数分别为 8 轮船顺水航行 46 千米和逆水航行 34 千米所用的时间恰好相等 水的流速是每小时 3 千 米 则轮船在静水中的速度是 千米 时 三三 解下列各题 解下列各题 8 8 分 分 1 已知 的值 baba baba ba 2 232 3 11 求 将所求式子的分子 分母同时除以将所求式子的分子 分母同时除以 abab 值为 值为 5 3 2 若 0 x 1 且 的值 x x x x 1 6 1 求 10 24 1 0 1 10 24 1 324 11 22 x x x xx x x x x x x 四 四 解方程 解方程 1212 分分 1 2 12 3 3 2 xx1 4 1 2 1 1 2 x