高二文科数学函数及导数试题及答案

恩施市一中恩施市一中2017年春季高二周考试题年春季高二周考试题 文科数学文科数学 2017年年2月月26日日 一 选择题一 选择题 共共12小题小题 每小题每小题5 0分分 共共60分分 1 lgx lgy 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 命题 x 0 x3 x 0 的否定是 A x 0 x3 x 0 B x 0 x3 x 0 C x0 0 x x00 命题乙 f x 在 a b 内是单调递增的 则甲是乙 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知点P在曲线y 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 A 0 B C D 7 函数f x x3 3x x 2 则f x 2x 4的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 二 填空题二 填空题 共共4小题小题 每小题每小题5 0分分 共共20分分 13 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 14 函数f x ex sinx cosx 在区间上的值域为 15 如果函数f x 2x2 lnx在定义域内的一个子区间 k 1 k 1 上不是单调函数 则实数k 的取值范围是 16 已知f x x3 x2f 1 3xf 1 则f 1 f 1 的值为 三 解答题三 解答题 共共6小题小题 共共70分分 17 满分10分 1 求过曲线y sinx上点P 且与过这点的切线垂直的直线方程 2 已知点P 1 1 点Q 2 4 是曲线y x2上的两点 求与直线PQ平行的曲线y x2的切线方程 18 满分12分 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形的面积为定 值 并求此定值 19 满分12分 已知函数f x x2 lnx 1 求函数f x 在 1 e 上的最大 最小值 2 求证 在区间 1 上 函数f x 的图象在函数g x x3的图象的下方 20 满分12分 已知f x 是二次函数 不等式f x 0时 方程f x g x 2有唯一解 3 当b 1时 若f x 2bx 在x 0 1 内恒成立 求b的取值范围 答案解析答案解析 1 答案 A 解析 若lgx lgy成立 则 一定成立 而当 成立时 例如x 1 y 0 此时lgx lgy不成立 2 答案 C 解析 x 0 x3 x 0 是含有全称量词的命题 其否定是 x0 0 x x0 0 3 答案 C 解析 因为y 4x2与y 4x 5不相交 设与y 4x 5平行的直线方程为y 4x m 则 4x2 4x m 0 设此直线与抛物线相切有 0 即 16 16m 0 m 1 将m 1代入 式 x y 1 所求点的坐标为 4 答案 B 解析 1 1 f 1 1 5 答案 A 解析 f x x3在 1 1 内是单调递增的 但f x 3x2 0 1 x1 y 再令 m 则0 m 1 y 4m2 4m 4 m 2 1 m 0 1 容易求得 1 y 0 1 tan 0 得 7 答案 D 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是单调 递减函数 无最大值和最小值 故选D 8 答案 D 解析 从f x 的图象可以看出 在区间内 导数递增 在区间内 导数递减 即函数f x 的图象在内越来越陡峭 在内越来越平缓 9 答案 B 解析 f x x 2f 2014 所以f 2014 2014 2f 2014 即f 2014 2014 1 2015 10 答案 D 解析 当x 0时 f x 6x2 6x 易知函数f x 在 0 上的极大值点是x 1 且f 1 2 故只要在 0 2 上 eax 2即可 即ax ln 2在 0 2 上恒成立 即a 在 0 2 上恒成立 故a ln 2 11 答案 A 解析 设f x lnx 则f x 当x 时 f x 0 故函数f x 在 1 2 上单调递增 f x min f 1 0 a 0 即a的最大值为0 12 答案 B 解析 设m x f x 2x 4 则m x f x 2 0 m x 在R R上是增函数 m 1 f 1 2 4 0 m x 0的解集为 x x 1 即f x 2x 4的解集为 1 13 答案 2ln 2 2 解析 函数f x ex 2x a有零点 即方程ex 2x a 0有实根 即函数g x 2x ex y a有交点 而g x 2 ex 易知函数g x 2x ex在 ln 2 上递增 在 ln 2 上递减 因而g x 2x ex的值域为 2ln 2 2 所以要使函数g x 2x ex y a有交点 只需a 2ln 2 2即可 14 答案 解析 x f x excosx 0 f 0 f x f 即 f x e 15 答案 1 k0 得函数f x 的单调递增区间为 由y 0 得函数f x 的单调递减区间为 由于函数在区间 k 1 k 1 上不是单调函数 所以解得1 k0 所以函数f x 是增函数 所以f x max f e e2 1 f x min f 1 2 证明 设F x f x g x x2 lnx x3 则F x x 2x2 因为x 1 所以F x 0 所以函数F x 在 1 上是减函数 又F 1 所以在 1 上 有F x 0 即f x g x 所以在区间 1 上 函数f x 的图象在函数g x x3的图象的下方 解析 20 答案 1 f x 2x2 10 x x R R 2 存在唯一的自然数m 3 使得方程f x 0在区间 m m 1 内有且只有两个不等的实 数根 解析 1 f x 是二次函数 且f x 0 f x 在区间 1 4 上的最大值是f 1 6a 由已知 得6a 12 a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x x R R 2 方程f x 0等价于方程2x3 10 x2 37 0 设h x 2x3 10 x2 37 则h x 6x2 20 x 2x 3x 10 当x 时 h x 0 h x 是增函数 h 3 1 0 h 0 方程h x 0在区间 内分别有唯一实数根 而在区间 0 3 4 内没有实数根 存在唯一的自然数m 3 使得方程f x 0在区间 m m 1 内有且只有两个不等的 实数根 21 答案 1 f x 6x3 126x2 432x 9 072 x 0 30 2 定价为18元能使一个星期的商品销售利润最大 解析 1 设商品降低x元时 多卖出的商品件数为kx2 若记商品在一个星期的销售利润为f x 则依题意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知条件24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9 072 x 0 30 2 根据 1 有f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 故x 12时 f x 达到极大值 因为f 0 9 072 f 12 11 664 所以定价为30 12 18 元 能使一个星期的商品销售利润最大 22 答案 1 f x 2x x 0 令f x 0 解得a 2x2 a 2 g x 1 令g x 0 解得a 2 a 2 a 2 f x x2 2lnx g x x 2 2 当x 0时 方程f x g x 2即为x2 2lnx x 2 2 0 设h x x2 2lnx x 2 2 则h x 2x 1 x 1 x 1 2 1 x 1 2x 2x 2 令h x 0 解得x 1 令h x 0 解得0 x0时 方程f x g x 2有唯