2.3双曲线与直线,中点弦

例1已知直线y kx 1与双曲线x2 y2 4 试讨论实数k的取值范围 使直线与双曲线 1 只有一个公共点 2 没有公共点 3 有两个公共点 4 交于异支两点 5 与左支交于两点 k 1 或k 1 k 1 k 或k k 一直线与双曲线的位置关系 b2 a2k2 x2 2kma2x a2 m2 b2 0 情况1 二次项系数为0时 上式为一元一次方程 有且仅有一个根 此时的k值使得直线与双曲线的渐近线平行或重合 检验 平行 直线与双曲线相交 一个交点 重合 直线与双曲线相离 没有交点 情况2 二次项系数不为0时 上式为一元二次方程 直线与双曲线的位置关系归纳 变式训练 2 若直线y kx 1与双曲线x2 y2 1有且只有一个交点 则k的值为 3 过点P 3 4 与双曲线只有一个交点的直线共有 条 变式 将点P改为 3 0 4 0 0 0 呢 1 两条 2 三条 3 两条 4 零条 1 双曲线x2 y2 1的左焦点为F 点P为左支下半支上任意一点 异于顶点 则直线PF的斜率的变化范围是 2 若直线y kx 1与双曲线x2 y2 1有且只有一个交点 则k的值为 练习 3 过点P 1 1 与双曲线只有一个交点的直线共有 条 变式 将点P 1 1 改为1 A 3 4 2 B 3 0 3 C 4 0 4 D 0 0 4 1 两条 2 三条 3 两条 4 零条 1 1 判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的渐进线平行 相交 一个交点 计算判别式 8 例2如图所示 过双曲线的右焦点F2 倾斜角为30 的直线交双曲线于A B两点 求 AB A B 二弦长问题 9 F1 A B F2 例3已知双曲线方程为3x2 y2 3 求 1 以2为斜率的弦的中点轨迹 2 过定点B 2 1 的弦的中点轨迹 3 以定点B 2 1 为中点的弦所在的直线方程 4 以定点 1 1 为中点的弦存在吗 说明理由 三弦中点问题 韦达定理法 先写出直线方程 再代入双曲线方程 利用韦达定理可求得中点坐标 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率 设而不求 13 练习过点P 8 1 的直线与双曲线x2 4y2 4相交于A B两点 且P是线段AB的中点 求直线AB的方程 3 弦中点问题的两种处理方法 1 联立方程组 消去一个未知数 利用韦达定理 2 设两端点坐标 代入曲线方程相减可求出弦的斜率 1 直线与双曲线的位置关系及判断方法 2 弦长的计算方法 弦长公式 AB 适用于任何曲线 小结 15 作业 1 全优例2 已知双曲线3x2 y2 3 直线l过其右焦点F2 与双曲线交于A B两点 且倾斜角为45 试问A B两点是否位于双曲线的同一支上 并求出线段AB的长 已知椭圆5x2 9y2 45 椭圆的右焦点为F 1 求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 2 判断点A 1 1 与椭圆的位置关系 并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程 例6 如图 已知椭圆与直线x y 1 0交于A B两点 AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是 试求a b的值 18 1 全优例2 已知双曲线3x2 y2 3 直线l过其右焦点F2 与双曲线交于A B两点 且倾斜角为45 试问A B两点是否位于双曲线的同一支