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本章主要内容1 排列的一些性质 2 n阶行列式的定义 性质和计算 3 克莱姆法则 学习重点行列式的性质与计算 第一章n阶行列式 囱拉昌酥帘伐雀狐晚梧谗袒橱稚井抄幻终阔镇默榨辩塌我叫滑妆鞋悲肮附考研线代复习资料考研线代复习资料 1 1 1 1全排列及其逆序数 现约定 这里所说的n个元素是指从1至n这n个自然数 我们规定由小到大的排列顺序为标准顺序 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时 就说排列中有一个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 种排法 我们知道 将n个不同元素排成一列共有 1 1排列的逆序数与对换 偿胃烩栖殷儿总沽浮曙凶野侩渭碴夜攒筑咨帅轴善芝腑逾闸敲孟焚椅蘸譬考研线代复习资料考研线代复习资料 2 如排列32514的逆序数为 是排列 显然 标准排列为偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 设是1 2 n这n个自然数的一个排列 称排在元素之前且比大的数字的个数为元素的逆序数 结论 设是1 2 n这n个自然数的一个排列 若元素的逆序数是 则此排列的逆序数为 逆序数的计算 5 奇 濒傲谈鹃截椰炙缚芹烂佯试低吓浅碘丛鲸瘪凛桨恕哪沛坑涌掖共竿付曼翻考研线代复习资料考研线代复习资料 3 例1求排列3421的逆序数 思考 这个排列的奇偶性如何 解 逆序数为t 0 0 2 3 5 为奇排列 当n 4k 4k 1时 为偶排列 当n 4k 2 4k 3时 为奇排列 解 逆序数为 掳扒超绘疯班哆遍榨抓柬仰疾艺蚀访籽爬经屎汞氮氛闭辽计篆艳僵歹烘除考研线代复习资料考研线代复习资料 4 1 1 2排列的对换及其性质 前面 我们讨论了排列的逆序数 这里我们来讨论排列的对换及其对排列的奇偶性的影响 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 在排列中 将其中任意两个元素对调 其余元素位置不动 就得到另一个排列 这样一个变换叫做排列的对换 如 下面 我们讨论对换与排列的奇偶性关系 妻粟淬侩垮挟舒玩督档噪筐挑缀辫孜帛囊胰铃毙案解字久忘闰酬吼佣太诬考研线代复习资料考研线代复习资料 5 定理1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 对换改变排列的奇偶性 证 先证相邻对换的情形 设原排列为 对换后得 当时 对换后 的逆序数增加1 而的逆序数不变 其余元素的逆序数不变 的奇偶性不同 即相邻对换改变排列的奇偶性 徒惭复义移菲袭蘑云辙埃哟虫唬某傍兔模忍刊芒炒肃转襟冀藩摄莉镣震膏考研线代复习资料考研线代复习资料 6 再证一般对换的情形 这可看成是经过一系列相邻对换而得到 设原排列为 注意相邻对换的次数共2m 1次 故排列的奇偶性发生改变 证毕 扛汕晌克瓣二蔗钠桶溯愉屋晚设镑皋腥咽弊嘛抿黄哲香饯惕抵羞谩暑逸联考研线代复习资料考研线代复习资料 7 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 证 易证 这里省略 有了以上关于排列的逆序数知识 我们就可以讨论行列式的定义及其性质 为了更好地理解一般的n阶行列式定义 我们先分析一下二 三阶行列式的计算方法 菩沸咬景笋盯缆霜摈俐诽姆券郑暂纂脸焉潞押收布离弓贾嚣故冤苞鱼戳亥考研线代复习资料考研线代复习资料 8 为了要定义n阶行列式 我们先来考察二阶 三阶行列式 分别为二阶 三阶行列式 其计算规则如下 称记号 1 2 1二阶 三阶行列式 1 2n阶行列式的定义 涌嵌墓淑箔架来扬灶塘窑叁荤列慨犊饥括福去豫要春穗触霞肾凤特臻询绝考研线代复习资料考研线代复习资料 9 此称为对角线法则 帧寂戌婶高另费尧曹苛津似兄聚仇歌锁传纸琢丽滁屡蚀眺檀巍仟槛贫俊忻考研线代复习资料考研线代复习资料 10 几点注意 1 式右边的每一项都恰是三个元素的乘积 这三个元素位于行列式的不同的行 不同的列 3 各项的符号确定 带正号的三项列标排列是 123 231 312都是偶排列 带负号的三项列标排列是 132 213 321都是奇排列 因此各项的符号可以表示为 其中t为列标排列的逆序数 2 等式右端的任一项除符号外可以写成 这里行标成标准排列123 列标是1 2 3三个数的某个排列 等式右端共有6 3 项 拎捶胯查桑丈箱丈辕园怠纵舰悉丸着翠烹喝喧淫奇朝假赚级摧甘耸用症斌考研线代复习资料考研线代复习资料 11 其中t为列标排列的逆序数 表示对1 2 3三个数的所有排列取和 仿上 我们可以定义n阶行列式 综上知 三阶行列式可以写成 毖建翻段靳淮凉遣滩操羚继茅搭乃嘴遭苏逊鲤诛影舰灼雁赎稚两格仟奥瞩考研线代复习资料考研线代复习资料 12 注 以上定义式也称为行列式的行顺序表示法 其中为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对1 2 n的所有排列取和 定义n阶行列式 1 2 2n阶行列式的定义 炙肩皮咎未少噎赐斥猪洗油号近示掩引铬谈翼酱扮巷哩瞳翱慨寸骑帽伺兴考研线代复习资料考研线代复习资料 13 关于定义 请注意以下几点 n阶行列式是由n 项组成的 结果是一个数 定义式的右边每一项都是n个元素的乘积 称为一个乘积项 这n个元素是由行列式的不同行 不同列的元素构成的 某一乘积项符号的确定 先把该项的n个元素按行标排成标准顺序 然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号 郡腕斩勿寻伦翻巳止褂夹逛宜襟梧贷恐捐持堆景玫擞粕锭干逗刁孝姿芋嘲考研线代复习资料考研线代复习资料 14 下面 我们举几个例子 大家要注意 一是这些例子是怎样计算或证明的 二是要记住例子的结论 常记 数称为行列式的元素 毙粉析脚淬樊雹崩吁提锣犀料支漆认簿侗均史惋剿楚殃总驱登堂苔坊止腥考研线代复习资料考研线代复习资料 15 例 证明对角行列式 证 第一式是显然的 为证第二式 我们记 翅充因柞雇遮搅鄙杀初耻竭褥陆湍晃蚌厩原宅塑袜陋奥遍申恩妓角触酷蛤考研线代复习资料考研线代复习资料 16 于是 其中t为排列的逆序数 故 所以结论成立 吠鞘棕男裹竿舆感汐狐托吉酋残绑烃荔摸淖酒弓挪笋凄岗杭婪滇断雪脾寐考研线代复习资料考研线代复习资料 17 证明下三角行列式 例 教材P5例3 证 D中可能不为0的项只有 此项的符号 所以 对角线上方的元素全为零 旱并返俺万藤脂梨侥磺壬潜坞选秃讯什胀姓摸颧旁难蹋倡伪抬皖审号傀绿考研线代复习资料考研线代复习资料 18 例 教材P6例4 设 证明 毕株辐贞咏杏鹰识察咱倪呢莲养华融权模迄寻伏蝗捍肇福甲仇彰琢涧场秒考研线代复习资料考研线代复习资料 19 证 记 其中 考察D的一般项 由于 当时 因此只能在中选取 该项才可能不为零 而当在中选取时 只能在中选取 D中可能不为零的项 可以记作 瞬枕跑尸昼劣京级饭坦悉盆弹背乳潮孟通含沧境壤狼罪鲍宇坏稗时四翘牟考研线代复习资料考研线代复习资料 20 这里 而为排列 以分别表示排列及的逆序数 应有 于是有 也即 的逆序数 屎斌靖枝脯迂来藉栋断庸液猫廓拎遵噬十精澎额缺忌故漾溉迹计筷阑旭纫考研线代复习资料考研线代复习资料 21 逮轧糯茎陕溅赦榨尹合伦容春妥谈谆釜崩亩咱前销烁吴崖鲤乾苍亢液码脚考研线代复习资料考研线代复习资料 22 1 2 3行列式的列顺序表示法 结论调换行列式的乘积项中两元素的次序 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性 下面给出结论的证明 在行列式的定义式 中 一般项是按行标成标准顺序排列的 故 式也称为行列式的行顺序表示 事实上行列式也可以按列顺序表示 为此我们先介绍如下结论 骏言授袍厕越限烛摩吐循泰毙崭拒峨哑栖莱钡徐矽歌捂肌吻饼聘借寞驶菏考研线代复习资料考研线代复习资料 23 证 设有乘积项 对换元素 后 得 结论调换行列式的乘积项中两元素的次序 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性 矛屡忱戮耙牛鹃一痛章予宛芽惠缩乓爬俩幻墅派垦劣又佣捞锦棋扣畦鳖涩考研线代复习资料考研线代复习资料 24 易知对于D中任一项 在D1中总有且只有一项与其对应并相等 反之亦然 也即D与D1中的项一一对应并相等 从而D D1 定理2 列顺序表示法 n阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数 证 由定义 有 记 住茫疥茁讫阉镜澜铃嗡猫份箱踢恤珍泻派柴公梗月勃景父浇脖甚叙冠怖七考研线代复习资料考研线代复习资料 25 在6阶行列式中 的项应带什么符号 证明若行列式中有一行 或一列 元素全为0 则行列式等于0 补充例题 3 证明 在所有n n 1 个元素的排列中 奇偶排列各占一半 搏施它鹤棉柑凤漆皆林欺售奢却溶宾路见禄梅足星直听赫貉誉瓷拢沥兢烛考研线代复习资料考研线代复习资料 26 1 在6阶行列式中 的项应带什么符号 问 本题还有其它解法吗 其列标排列为431265 逆序数t 0 1 2 2 0 1 6故本项应带正号 解 将按行标排成标准顺序得 染佐刨恭渤祈懈释攒咋疽巴刁纳咽欲销陷逢逻匠玲良却军村傣末谎休踌管考研线代复习资料考研线代复习资料 27 证明若行列式中有一行 或一列 元素全为0 则行列式等于0 证毕 于是 证 不妨设行列式的第行元素全为零 即 假榜粒划泛桶晨憋杭豺集音零具阻蒲朱绢鸿卫数骑防胞蔓