随机平均曲率运动在计算机视觉随机主动轮廓

随机平均曲率运动在计算机视觉随机主动轮廓 1 介绍这项工作的动机是怎样改善随机运动在当前计算机视觉的形状优化方法。我们在一个超曲面演化，在是的非空闭子集的内部和是根据方程 （1）其中n是一个常数，当速度一定时，平均曲率（T）和W取决于k，随机摄动，这将改变只通过正常的组成部分。众所周知这意味着平均曲率运动及其与水平集方法21,25,20的实现。在这项工作中的新奇的最近提出的随机曲率实现驱动流如方程（1）及其应用计算机视觉。见（28） 在以后的几年里随机动力学接口已被广泛讨论，在物理文献。以前工作领域的目的是在建模与研究移动边界特性的两个媒体之间传播，是受宏观约束之间与随机扰动（这是由于散装）。这一动态在数学中是通过随机偏微分做方程（SPDE）来体现的。沃尔什介绍这些方程在28和他们的数学性质进行了研究主要使用偏微分方程的工具。然而，该问题的研究都是为了处理各种有添加一个随机的方法不止一个一个偏微分方程的摄动。在30可以发现一种最新现有的平均曲率的随机运动模型。最近几年，粘度的概念这一个随机偏微分方程被Lions和Souganidis应用在一系列的文章中15,16,17,18。他们的粘度概念的解决方案是非常有吸引力的应用，因为他们定义解决方案在一个方便的限制一组近似空间。通过Yip29和katsoulakis等人12，他们的创业工作，相关工作已完成。在沃尔什的基础上28其他的方法也被巴利等人2提出，最近的一系列文章5中buckdahn这相当于粘度的解决方案的一个不同的定义。然而，我们将Lions和Souganidis直接使用结果。他们的粘性解的概念的延伸特别适用于众所周知的水平集方法20，使它在计算机视觉领域更有趣。 在下面，我们将简要地介绍以前的工作针对受平均曲率曲面建模运动加上噪声扰动之后，我们将讨论在这样一个动态的实现水平集框架。然后我们揭露这种随机运动，加上模拟退火算法14，可以在形状优化中计算机视觉中的应用问题。最后，结果在特定的主动轮廓24,22,6的演示如何活动轮廓模型可以在什么可以被称为改进随机主动轮廓2. 理论结果 平均曲率运动8通常是实施水平集方法21,25,20。基本的数学工具是局部粘性解理论微分方程（PDE）。即是水平集函数它描述了，在时间t0时演变域您要翻译的是不是：Stochastic dynamics of interfaces have been widely discussed in later years in the physics literature. The work in fields like front propagation or front transition is aimed at modeling and study众所周知，使按正常速度移动等于其曲率，也就是u满足于偏微分方程（PDE） （2） 这个方程承认独特的全局定义的一致在粘度上连续解。见（21,25,20） 2.1 粘度的解决方案最近，由式（1），如，已在 16 和一个概念，解决弱的解决方案已被开发用于这种类型的方程。方程（1）实际上是一个捷径： （3）见Walsh（28）其中符号dW代表Stratonovich积分，它不像其它求积分，因为它没有改变当坐标变化见（7,10），很好适用于随机几何。Lions和Souganidis状态，相应的在水平集框架的随机偏微分方程，即 （4）承认在某些粘度意义上一个独特的解决方案。这一解决方案的独特性在粘度的感觉是伟大的重要性,因为它可以确保在所有时间的零级集不开发一个非空的内部的现象也被称为育肥。 由于缺乏的地方，我们不可能完全理论。简要，Lions和Souganidis定义粘度解ut=FD2u,Du+i=1MHi(Du)dW(t,x)u0,x=u0(x) 其中F是连续的和退化椭圆和H是连续的积极的均匀程度一（更多详细信息，见15）通过与有限差分近似代替高斯噪声，他们得到了一类近似ut=FD2u,Du+i=1MHiDui(t,x)u=u0而当0是主要利用在偏微分方程的特征线法。因此，确保我们的计算机模拟结果是使我们能够模拟这样的方程的解。更进一步，我们是根据Lions提到收敛发生在，这意味着我们开发的是连续的数值的解决方案他们将几乎肯定在均匀收敛。2.2 噪声 现在我们介绍该方程的一个方面（4）方程的噪声。在续集，我们将简要介绍随机布朗单和试图描述它的一些直接的性质和后果在我们的方程。一个基本的介绍随机过程见（10）。 添加噪声的偏微分方程，通常会添加一个高斯对步进方案弥补了方程。这导致了独立增量，在时间和空间。因此，布朗单的想法。同样的直觉居住在一个很好的例子在沃尔什。正式，布朗单的定义为一个过程在是一个标签，实现空间。每个是一个实值的高斯随机：。对于这一过程的积分定义为以相同的路径作为经典的随机的定义积分。见例28 随机积分的总的使用产生了一个并不总是很明显在经典的框架，使用时布朗单。因此，我们提到的工作，他们研究的相同类型的方程。为了解决控制随机项的爆炸性的事物，是考虑一个有色白噪声项。这对应于限制独立的噪声源的数量和因此，允许有更经常的行为。3. 成就我们注重实用的方式来实现的随机演化由方程（4）。作为第一步，我们使用以下显式的一阶方案：ut+t=ut+DudivDuDut+Du(Wxt+t-Wx(t)其中Wxt+t-Wx(t)Wx(t)tN(0,1)由于Wx(t)是一个标准的布朗运动。因此，我们实施:ut+t=ut+DudivDuDut+0,1t使用一个标准的窄带状程序如一个描述在 23 。 利用在最后一节中提到的结果，我们要求上述算法收敛，当t0时，对方程的解（4）。请注意，我们正在考虑实现计算W上的空间网格水平集。当提到早些时候，有问题时，考虑一个布朗由于该二次爆炸性质表变化项。然而，我们没有处理这个的问题，因为我们开发的应用程序有一个在空间网格尺寸的下限，这是由基本图像的分辨率。因此，我们的噪声考虑的是在x变量密切相关。此外，如果噪声的一些更多的空间的规律性是必要的，噪声可以计算粗网格和插值的附近的网格点。图1说明了平滑的影响W空间：空间更平滑噪声，使更多的定期但较大的表面振荡。也请注意曲率有关于这方面的强大作用，因为它停止轮廓弯曲过度。在做这个轮廓保留好的性质如短时连通性。强调这个概念，我们说的的曲率项缺失（因此被暴露在一个完全随机的动态），轮廓往往分手在主线路和发展泡沫。尽管以前的理论结果，对随机性质平均曲率运动仍然是未知的，因为是在创业的经典平均曲率运动特性通过8的工作。4 计算机视觉中的应用 许多计算机视觉问题包括回收某些表面或区域进行形状优化框架6,22,9。前面介绍的动力学，耦合与决策机制，可以用来选择这样区域。这就是为什么我们把注意力放到另一个成分对模拟退火算法。 图1：不同的随机平均曲率运动。第一行：从初始曲线出发（左上），三次高斯噪声的进化步骤。M从相同的初始曲线，其演变的四步骤与空间平滑噪声。底排：一个3D的例子从一只猴子的大脑皮层开始。基于Metropolis等人的工作，模拟退火。是第一次提到的柯克帕特里克14在作为一个很好的统计物理的优化问题中的应用。其目的是介绍一个概率决策机制在高维空间中找到全局极小。 因为看到它进一步的随机组合，平均曲率的动态选择算法可以在计算机视觉中的一个功能强大的工具，比如主动轮廓中6。相对于之前介绍的动力学，使用模拟退火在主动轮廓的面积是不是一个完整的新颖性。我们想简要评论以前的工作取向对遗传程序设计在该领域的应用。4.1. 与计算机以前的视觉比较在很多情况下，随机理论是用来帮助研究人员发展的宏观动力学的一种直觉在微观层次。例如，在对随机逼近曲线的算法建立缩短流程3。另一个例子是，作者27开发了一个各向异性扩散模型通过对随机获得的信息微分方程的线性化的版本几何热方程。在其他情况下，随机指标在选择积极地使用算法为了克服一些经典动力学的困难。在Storvik26用模拟退火组合一个贝叶斯动态和开发应用. 在医学影像。他用一个面向节点的表示对于轮廓描述技术。因此，他的算法只能检测单连通域图像。此外，自交叉口是不允许的，因为他们将涉及的并发症。T用于他的轮廓演化因此高度有限的（可能是由于减少的可用的计算能力在时间）和应用程序只能用3像素被改变在一个时间步。最近，巴莱里尼等人在医学图像分割中的应用使用遗传算法，遗传蛇。他们用一个模型他们适合使用的控制点的数目。他们的应用不能，因此，可以扩展到一个更广泛的框架。总之，这是要注意，重要的主要成分是我们的工作是不是模拟退火部分1，而内在的动力和前面介绍的。它是明显的，随机的方法，增加了功率和的水平集技术成为一个非常强大的灵活性工具。因此我们可以使用这种机制通过巧妙地应用控制，同时继续允许拓扑和弱正则性假设的变化。此外，本对随机项的存在帮助动力学对于非凸形状的成长，这是另一个缺点的经典方法。 模拟退火算法是用在我们的实验。在未来，更进化的遗传编程选择技术可以考虑，但令人鼓舞的是，这样的简单的成分添加到水平集框架提供良好的实际效果。粗略的，同样可以看到一个我们的方法与以往的区别，比测地线主动轮廓和创业的蛇之间.。5. 随机主动轮廓 我们的方案可以应用到测地线主动轮廓框架 6 在分割是基于梯度强度变化。然而，在这种情况下经常使用的是多尺度方法，克服局部最小成功问题。然而，利用区域模型还有许多其他的分割方案 22 （例如，纹理，往往无法统计）多尺度或不能用在粗尺度。我们将首先集中在这样一种情况，即一个单一的高斯统计模型由Deriche和Rousson 24 。6结论基于随机偏微分的最近的工作方程，提出了提出了一个简单的和合理的实施随机平均曲率的方法在水平集框架的一个表面的运动。这方法应用于随机扩展的关键点标准的形状优化方法在计算机视觉。在分割的具体情况，介绍了随机活动轮廓模型的一个自然延伸，著名的活动轮廓模型。我们的方法克服了局部极小的问题及时也可使用欧拉拉格朗日方程的能量是遥不可及的。这个扩展是不是浪费时间：唯一的计算计算的能量，这通常可以通过一个简单的运行通过水平集函数的域。令人信服的结果与区域分割未知的统计模型，即单高斯分布或高斯分布的混合物。的现在打开我们的原则到其它的计算机应用视觉的问题也在不同的领域里形状优化问题的出现，如在理论化学13。参考1 L.巴莱里尼。图像分割遗传蛇。在进化的图像分析，信号处理 电信，讲座1596卷2 V. Bally, A. Millet, 和 M. Sanz-Sole 支持定理在抛物型随机偏微分器规范方程。概率年报，23-1:178222 1995。3 G.本阿鲁斯，A.坦南鲍姆，和O Zeitouni。曲线收缩流的随机逼近通过粒子系统。技术报告，以色列理工学院，2002。4 J.C. Bezdek。模式识别与模糊目标函数算法。科学出版社，纽约，19815 R.Buckdahn和J.Ma。随机粘性解非线性随机偏微分方程。随机过程及其应用，93:181228 20016 V. Caselles，R. Kimmel，G. Sapiro。测地线活动轮廓。国际计算机学报视觉，22（1）：6179，1997。7 G. Da Prato 和J. Zabczyk 随机微分方程在无限大的尺寸。剑桥大学出版社，1992。8 L.C.伊万斯，J. Spruck。水平集的运动平均曲率：一、微分几何杂志，33:635681，19919 奥利维尔Faugeras和雷诺Keriven。变分原则，面演变，偏微分方程，水平集方法和音响的问题。IEEE图像加工，7（3）：336344，3月199810 S. Karatzas和SE Shreve。布朗运动随机微积分。毕业的数学教材，施普林格出版社，113。11 M. Kass, A. Witkin, 和 D. Terzopoulos. SNAKES 主动轮廓模型。在诉讼中的第二国际计算机视觉会议录，卷1，321，332页，坦帕，佛罗里达州，一月，1988。IEEE计算机学会出版社12 M.A. Katsoulakis 和 A.T. Kho. 随机曲率流动的渐近推导，水平集和数值实验。杂志的接口自由边界，3:265290，200113 R. Keriven和G.波斯特伦尼库。电子和随机通过水平集的形状优化。技术报告，艾默生网络能源，陶瓷，制备。14 S.柯克帕特里克，C.D. Jr.盖拉特，和维奇。优化通过模拟退火。科学，220（4598），1983。15 P.L. Lions 和 P.E. Souganidis 完全非线性随机偏微分方程。在哥斯达黎加ACAD。SCI。巴黎赛尔。我的数学，卷326，页10851092。1998。16 P.L. Lions 和 P.E. Souganidis 完全非线性随机偏微分方程：非光滑方程及其应用。在哥斯达黎加ACAD。SCI。巴黎辑。我的数学，卷327，页735741。1998。17 P.L. Lions 和 P.E. Souganidis 完全非线性半线性随机偏微分方程随机相依。在哥斯达黎加ACAD。SCI。巴黎辑。我的数学，卷331，页617624。2000。18 P.L. Lions 和 P.E. Souganidis 唯一弱完全非线性随机偏微分方程的解方程。在哥斯达黎加ACAD。SCI。巴黎赛尔。我的数学，卷331，页783790。2000。19 J. 麦克奎因。一些分类方法和多元观测分析。第五伯克利数理统计和概率研讨会，281页297，伯克利，1967。20 S. Osher. 水平集方法：应用成像科学。技术报告02-43，加州大学洛杉矶分校的凸轮的报告，2002。21 S. Osher and J. Sethian. 锋面传播曲率相关的速度：基于算法雅可比汉密尔顿配方。计算杂志79:12物理，49，1988。22 N. Paragios and R. Deriche. 地线活动区域和监督纹理分割的