11论文正文、致谢、参考文献

0引言数学分（理科数学专业）及高等数（理工科非数学专业）这两门课程是高校数学课程中最基础最重要的分支之一，其主要内容都是微积分.而极限、定积分、二重积分这三个数学概念是数学分析及高等数学这两门课程中基本的抽象的数学概念.极限、定积分、二重积分这三个数学概念的精确定义在上述数学分析及高等数学两种教材中都有精确的描述，在正文中将给出.这里首先是探讨一下极限、定积分、二重积分这三个数学概念的教学，让读者先搞清楚这三个数学概念，对这三个数学概念有一个正确的理解.然后主要是根据这三个数学概念的定义以及各种教材、参考资料及考试中常见的有代表性的问题或实例等探讨这三个数学概念相互之间的多方位，多角度，多层次的关系（归根揭底还是由概念相互之间的关系决定的）并总结得出一套新的系统的理论与方法技巧为高校数学教师的数学概念教学特别是数学概念相互之间关系的教学提供理论方法技巧及参考价值，也可供高校学习数学的大学生参考借鉴.在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中运用哲学思想，引用历史典故和逻辑思维及直观图象等方式方法，变抽象数学概念为学生易于接受的信息，使学生更容易掌握新概念，新理.数学是概念的链条，总是用原有的概念解释新的概念.这里一是说在学习数学的进程中概念之多，其二是说概念间的连续性之强.所以在学习数学这门课程时，如果学生不能准确地认识理解掌握运用概念，学生也就不能正确的掌握运用数学这门知识技能.因此，在数学教学中讲清概念至关重要.比如说，极限概是数学分析及高等数学中最基础最重要也是最难掌握的一个概念，是整个数学分析及高等数学的基础，是一个重点也是一个难点，它是研究微分学与积分学的必备工具，对它的理解与掌握直接关系到对数学分析及高等数学这两门课程掌握的好坏，直接关系到后继课程的理解程度.数学分析及高等数学中的许多概念都可归结为极限，例如本文将要探讨的定积分、二重积分都是积分和（也叫黎曼和，是一种特殊的和式，后面将给出其精确定义）的极限.由此可见弄清极限的概念是学习数学分析及高等数学的核心所在.比如说，定积分概就是用极限定义的，而二重积分概也是用极限定义的，定积分、二重积分的概念都是用积分和的极限来定义的,这就是定积分与极限、二重积分与极限这两对数学概念之间的根本性的关系.所以可以利用定积分定义来计算形如积分和的极.而二重积分也可以用定积分来解释，它可以转化为二次积分（也叫累次积分，分为先积x后积y与先积y后积x两种，后面将给出其精确定义）或两个定积分的乘积来计算或证明，而二次积分就是两次定积分.反过来，定积分也可以转化为二重积分来计算或证明.对于某些结构特殊的被积函数，文献24还给出了五个将低维数的定积分转化为高维数的二重积分的例子，文献25 也给出了一种特殊的利用二重积分解决有关定积分问题的方法（一个命题）及两个有代表性的例子.也就是说二重积分与定积分可以互化来计算或证明.这就是二重积分与定积分这一对概念之间的关系之.由此可见，探讨数学概念相互之间的关系则更显得重要，因为他能帮助学生更深刻地更全面地更清晰地认识理解掌握数学概念，更熟练地运用数学概念，并且总结得出一套新的系统的理论与方法技巧供学生学习参考借鉴运用，也可供数学教师教学参考借鉴.高等数学中的概念往往是很抽象的，内容理论性很强有时是很枯燥的.在数学概念的教学过程中，我们总是力求创建一些易于引起美感的课堂教学结构与形式，如使用精致直观的数学图形，严谨有趣的数学算式，幽默风趣的数学语言，生动形象的数学故事等，都可变抽象概念为直观，变深奥理论为通俗，变枯燥内容为有趣，使学生接受数学信息的思维活动寓于愉悦之中，轻松愉悦地掌握高等数学知识和技能.而运用这些富有创造性的数学方法技巧讲授数学概念并通过实例探讨总结数学概念相互之间的关系则更能帮助学生理解接受掌握数学概念及其相互之间的关系并熟练地运用它们解决与之相关的数学问题，也为数学教师讲授数学概念特别是其相互之间的关系提供了有用的方法技巧及参考价值. 数列极限，函数极限概念都是很抽象的，不论从定义的描述形式还是从定义内容上学生初次接触都会感觉很陌生.所以我们不必急于给出概念，而是从生活中的实例让学生自己在思想上建立极限的概念.庄子云：“1尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：“1尺的杆子，第一天截去一半，第二天截去剩余的一半，第三天截去第二次剩余的一半，第四天截去第三次剩余的一半，依此下去，永远不能截完.”如果我们把每次的剩余用数顺次表示出来，就得到一个公比为1/2的数列：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，1/128那么，当天数n无限增大时，数列)将趋于一个常数(零).这一阐述，既贴近生活现实又能体会到其中辩证的哲学思想，言之有物，对学生理解变量(天数)的变化过程和数列的变化趋势这一极限概念，印象深刻.会认识到极限概念并不是空穴来风，而是实实在在存在于生活之中，会激发学生的学习兴趣.再结合书中几个引例，给出定义.这样，有一种水到渠成，自然流畅之感.初学极限的人，都感觉极限概念难以掌握，极限概念的精确定义难以理解，弄不清为什么要这样定义表现出多方面的困惑.学生从小学到高中学习的都是常量数学，被研究的量都是固定不变的，且都是有限的.学生没有遇到过无限的数学模型，习惯用一种静态不变的观点来分析问题.而极限是一个无限过程，需用运动、变化的观点来考察问题.初学极限者，最难解决的是从有限到无限的转变.公元263年，我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的“割圆求周”的方法，就使用了极限方法.刘徽借助圆的内接正多边形的周长来求圆的周长.其作法是：依次作圆的内接正六边形、圆的内接正十二边形、圆的内接正二十四边形，每个圆的内接正多边形周长都可求得.圆内接正多边形边数越多，其周长就与圆的周长越接近，正如刘徽所说“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”这个方法蕴涵了极限思想.通过这两个学生在生活学习中经常遇到的实例引出极限的精确定义，便于学生接受理解，也便于教师的讲解.这两个实例也是极限概念产生的历史背景.这两个实例说明极限概念在我国古代的文献中早有记载，极限概念产生的历史背景源远流长. 张景中院士创立了“非语言”.为数学教育方便,称这种”非语言”为“z语言”.“z语言”把“逻辑语言”变成代数运算,解决了“语言”难教难学问题.用“z语言”讲极限理论,这是数学分析课程的一次重大改革.从全国实验看来,应用效果很好,应该把教育数学的研究成果转化到教学中去.数学分析课程的这次重大改革,符合“数学大众”(Mathmatics for all)的思想.可喜可贺，通过实验已经看到z语言应用效果明显,使用z语言,极限理论不用语言,数学分析教材就要进行一次重大的改革.笔者认为,张景中院士的科研成果z语言在高校数学教育界要形成共识,方能普遍推广. 这是极限概念争论的焦点.定积分概念是工科高等数学教学的重点，无论从概念本身到实际应用，还是从计算方法到思想方法，均有着举足轻重的地位文献12以教学实践为出发点，纳众取精，分析探讨了定积分教学.张景中院士提出了定积分的一个不依赖极限概念的新的定义新的定义比黎曼积分的定义更为简单并且更容易掌握基于这个新的定义，证明了连续函数定积分的唯一性和微积分基本定理本文的结果表明，不用极限概念也能够定义定积分，从而可以完整地建立基于初等数学的微积分学这些工作从理论上证明，微积分学的理论和方法并不依赖于实数系统和极限理论这与150年来形成的传统看法不同基于初等数学而建立的微积分学，理论的展开和基本命题的论证变得更为简捷这对未来高等数学教学的影响是不言而喻的将这方面的研究成果写成教材并用于教学实践，还需要大量的理论与实践的工作这为数学教育的改革提供了机遇和挑战这些工作有没有必要和可能推广到多元微积分，有待进一步的讨论和研究这是定积分概念争论的焦点.二重积分概念是数学分析和高等数学研究的重要内容之一，二重积分的定义在数学分析和高等数学书上都有详尽的叙述，二重积分的定义中对被积函数要求的条件过高，适当降低条件也是可以的. 本文首先对数学分析中极限、定积分、二重积分的概念教学进行探讨，让读者先搞清楚这三个数学概念，对这三个数学概念有一个正确的理解.然后主要是根据其概念以及各种教材、参考资料及考试中常见的有代表性的问题或实例等探讨总结其相互之间的多方位，多角度，多层次的关系（归根揭底还是由概念之间的相互关系决定的），并总结归纳出一套新的系统的理论与方法，以此来帮助学生更深刻地更全面地更清晰地认识理解掌握数学概念并熟练地运用它们解决与之相关的数学问题，同时也 为数学教师的数学概念特别是其相互之间的关系的教学提供了有用的方法技巧及理论.1极限、定积分、二重积分概念探讨 在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中运用哲学思想，引用历史典故和逻辑思维及直观图象等方式方法，变抽象数学概念为学生易于接受的信息，使学生更容易掌握新概念，新理论.1.1极限概念探讨自然流畅引入数列的极限概念：数列极限，函数极限概念都是很抽象的，不论从定义的描述形式还是从定义内容上学生初次接触都会感觉很陌生.所以我们不必急于给出概念，而是从生活中的实例让学生自己在思想上建立极限的概念.庄子云：“1尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：“1尺的杆子，第一天截去一半，第二天截去剩余的一半，第三天截去第二次剩余的一半，第四天截去第三次剩余的一半，依此下去，永远不能截完.”如果我们把每次的剩余用数顺次表示出来，就得到一个公比为1/2的数列：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，1/128那么，当天数n无限增大时，数列)将趋于一个常数(零).这一阐述，既贴近生活现实又能体会到其中辩证的哲学思想，言之有物，对学生理解变量(天数)的变化过程和数列的变化趋势这一极限概念，印象深刻.会认识到极限概念并不是空穴来风，而是实实在在存在于生活之中，会激发学生的学习兴趣.再结合书中几个引例，给出定义.这样，有一种水到渠成，自然流畅之感. 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，中国早在2 000年前就已能算出方形、圆形、厕柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率的，并指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想通过这两个学生在日常生活和学习中遇到过的实例引出极限的精确定义，下面给出极限的精确定义： 极限的-语言定义为:=A,o, N,nN,，用符号语言表示，语言简洁，蕴涵多层次的逻辑结构.极限的精确定义在数学分析及高等数学两教材中都有精确的描述，这里不再重复.下面主要是借花献佛地帮助读者理解一下极限这一数学概念的内涵及外延以及对极限这一数学概念教学的现状及思考，以此抛砖引玉.极限概念教学的现状目前，对极限概念教学的重要性以及困难是基本达成共识的，因此探索如何有效地进行极限概念的课堂教学一直是高等数学课程建设的一个热点问题现时在普通院校中，对中、多学时的高等数学课程，极限概念的教学太多采用以下几种教学方案：将极限内容的教学一步到位即在一开始就投入很大的精力和较多的学时，强化极限理论的教学，要求学生具有较强的极限理论基础和应用.“”语言的能力与之相适应的教材如同济大学编的高等数学第四版、第五版等若能达到这样的教学效果，无疑能使学生在高等数学的学习中具有了一个良好的开端.为扎实地掌握后继内容和再学习奠定了基础但由于学生的数学学习素质的差距很大，要取得这样的教学效果在普通高等学校中难度较大往往是教师化了大力气，但能较好地掌握极限理论的学生面不广，大部分学生只能停留于能背诵“”语言在教学中，调整教材内容顺序，将极限教学分成两步进行第一步先在描述性极限概念的基础上解决微积分计算，第二步再反过头来补上极限的精确定义这一课但往往在进行第二步时仍会碰到很大困难，原因仍在于第一步和第二步的研究方法和表达方式上有很大的区别在讲解极限的描述性定义的基础上，对用“”语言给出的极限定义只做介绍，许多定理的结果依靠几何直观认可按照这个方案，依靠对极限的描述性定义的理解，虽然大部分学生在强化训练下能利用公式进行微积分的基本运算，但由于在极限的描述性定义基础上无法讲透极限的基本理论，对于介绍性地给出的“”语言学生不理解，因此在处理涉及极限理论的问题和应用问题时就显现出较大的困难如在教学中，常常发现学生在讨论分段函数在分段点上连续性、可导性时出问题，分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，当然对后继内容的学习是不利的笔者认为，在中、多学时的高等数学课程中，是否采用“”语言进行极限教学应取决于具体的专业培养目标而对极限理论要求较强的物理、信息工程等类专业，在高等数学的教学中“”语言是应该掌握的一方面，它能加深对极限概念的理解，并在此基础上建立起连续，可微，敛散，可积等概念，完成被称为：“分析的算术化”的f极限理论，给微积分理论以坚实的理论基础另一方面，只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能应用于解决实际问题在这些专业中，系统地采用“”语言教学对学生打下厚实的数学基础是必要的同时，反思教学中的经验和教训，笔者认为，极限概念的教学无论是采用一步到位或分两步进行，一个共同点是都需要解决在思维上从形象到抽象、在研究方法上从“静止”到“动态”，在语言表达上从粗略到严谨的飞跃需要我们下功夫的是探索怎样进行课堂教学才能够更有效地实现这种飞跃极限概念教学的思考：对于学生来说，极限概念以及“”语言的学习是全新的，是一种探索，而众所周知没有相应的知识和经验基础，任何探索都是不现实的因此我们必须把教学活动建立在学生现有的认知能力和现有的知识及经验的基础上对于掌握极限的概念，学生往往感到困难造成这种困难的原因主要来自于两方面，一是对极限概念所表达的内涵理解不深，二是对“”语言的表达逻辑不理解因此，为克服这两方面的困难，在教学中应注重以下几个环节12定积分概念探讨 通俗易懂阐释定积分的概念:在中学，我们学习了矩形面积公式：S=长宽.提出问题，如何计算由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b和y=0所围成的曲边梯形面积呢?由于曲边梯形在底边a，b上各点处的高f(x)是变化的，不便用原有的面积公式求它的面积，所以我们必须寻求新的方法，也就是我们今天要学习的内容-定积分下面利用极限的方法求曲边梯形的面积 (1)分割： 在区间a，b内任意插入分点a=x。 =b，把区间a，b分成n个子区间x。，第i个子区间的长度为 (i=1，2，n) (2)以常代变： 在每一个小曲边梯形中，在底边I，上任取一点，以高为f()，底边长为的小矩形面积是，f().当分割很细，则第i个小曲边梯形的面积可用小矩形面积来近似代替，即f()， (i=1，2，,n)(3)近似求和： 把n个小曲边梯形的面积相加，得到曲边梯形面积的近似值，即A= (i=1，2，,n)(4)取极限： 把，中的最大者max，记为，当时，取上式右端的极限，就得到所求曲边梯形的面积A=为加深学生对以上思维方法的理解与认可，我们引用曹冲称象这一历史典故，曹冲称象可称得上是历史上一个智慧火花的闪现，就当时的衡量器不可能称出大象的重量，而曹冲利用了化整为零的方法，依据零尚可称，累积求和的思维解决了这一难题.那么，我们以上通过对区间a，b作分割；求面积的近似值；近似求和A=+；取极限得到曲边梯形的面积，我们也是依据小矩形面积可求，当分割很细小矩形面积可近似替代小曲边梯形的面积，二者的思维有异曲同工之处.在此基础上给出函数f(x)在区间a，b上的定积分的概念，即dx= 定积分是工科高等数学教学的重点，无论从概念本身到实际应用，还是从计算方法到思想方法，均有着举足轻重的地位文献12以教学实践为出发点，纳众取精，分析探讨了定积分教学.从历史发展来看，数学首先是历史的.“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧.”所以我们要讲一点历史，并且，将力量集中在划时代学科的诞生与重要概念的发展上.微积分的理论从发展到成熟，前后经历了两千多年的时间，这说明古人发展和接受这个理论并不顺利，今天的学生在学习时产生理解上的困难是毫不奇怪的，他们也许可以凭借公式熟练地进行求极限、导数与积分的计算，但却可能不知道这种表面化计算的内在含义.近年来人们已经认识到在学习数学时，如果不从数学历史发展的角度来组织教学的体系与内容，就难以让学生真正理解课本上形式化推理体系的背后所包含的实际内涵.人们发现，历史上数学家们的一些朴素的想法和解决过的一些相对简单的问题极具教育上的价值，国外的一些大学数学教材已经开始运用数学史的观点与材料来组织高等数学(尤其是微积分)的教学体系与内容，提出要用“历史线索”和“历史原形”来指导微积分的教学，所以教师必须懂点数学历史.用内接多边形接近圆的想法最早来自于古希腊的安提丰和欧多克斯，古希腊最伟大的数学家阿基米德把这种思想发扬光大，从而为微积分这一数学中最重要学科的产生奠定了思想基础，他用无穷逼近的方法求出了一些曲线(例如圆和抛物线)所包围的而积和一些曲面(例如球面)所包围的体积，这其中就包含了积分概念的萌芽.而近代微分积分的酝酿和发展，主要是17世纪上半叶这半个世纪.从信息化教育来看，依笔者之见，首先在高职数学教学中应该信息化：高职数学理应是现代科学技术的创造者和推广者，数学教师有责任、有义务承担这一任务，更使得学生在学习数学知识的同时了解了其他与软件相关的信息技术，这无疑对学生是大有裨益的，特别是数学思想的熏陶、建模能力的培养以及数学计算的软件处理等.其次，在高职数学教学中可以信息化：高职学校有优于高中的硬件设备，更重要的是有热衷于研究的教师，特别是数学软件方面的研究，更重要的是学生愿意听，也愿意尝试，无疑有益于课堂效果的提高和学生创新能力的培养.周木生、王庚在数学软件融人微积分教学中的模式初探一文中也有其独到的描述.定积分是相当有个性的一个概念，我们的教学应该从概念学习出发，从学生实际出发，从历史角度出发，从教育技术出发，多方位、多角度、多层次来处理这个概念，使得教学更贴近实际、教学更还原真实、教学更收获成果.13二重积分概念探讨通俗易懂阐释重积分的概念:在讲授二重积分引例，计算曲顶柱体体积时也是将区域D任意分成n个小区域以每个小区域为底，以它的边界线为准线作母线平行于z轴的柱面，把曲顶柱体分割为n个小曲顶柱体，曲顶柱体的体积就等于这n个小曲顶柱体的体积之和.对于每个小曲顶柱体，由于很小，又f(x，y)是连续变化的，故f(x，y)在上变化很小因此小曲顶柱体的体积可近似地等于以为底，以在上任取一点的函数值f为高的平顶柱体的体积(类似于我们站在地面上，总是感觉地球表面是平面.而航海家在航行时会只能看见前面远处行驶船只的桅杆，发现地球表面是圆的一样，当曲面区域很小则近似于平面.整个曲顶柱体的体积的近似值为V.显然区域D分割越细，和式越接近曲顶柱体体积V当上述和式的极限就是曲顶柱体的体积V，即V然后，引进二重积分的概念=在这里同样可以借助曹冲称象这一典故培养学生的思维方法和解决问题的能力.对学生认识概念、把握概念可起到事半功倍的作用. 二重积分概念是数学分析和高等数学研究的重要内容之一，二重积分的定义在数学分析和高等数学书上都有详尽的叙述，二重积分的定义中对被积函数要求的条件过高，适当降低条件也是可以的.首先，二重积分的定义中，对函数f(x,y)在有界闭区域D上有界的条件要求过强，事实上，只要函数f(x,y)在D上有定义即可.其次，要求当存在时，该极限值称为函数f(x，y)在区域D上的二重积分也不妥当，应该是无论极限存在与否，极限都应称为函数f(x,y)在区域D上的二重积分.只不过极限存在时，称f(x,y)在区域D上可积，极限不存在时，称f(x,y)在区域D上不可积.2极限、定积分、二重积分关系探讨定积分、二重积分的概念都是用积分和（也叫黎曼和）的极限来定义的,这就是定积分与极限、二重积分与极限这两对数学概念之间的根本性的关系.所以可以利用定积分定义来计算形如积分和的极限.而二重积分也可以用定积分来解释，它可以转化为二次积分（也叫累次积分）或两个定积分的乘积来计算或证明，而二次积分就是两次定积分，这就是二重积分与定积分这一对概念之间的关系之一.反过来，定积分也可以转化为二重积分来计算或证明.也就是说二重积分与定积分可以互化来计算或证明.对于某些结构特殊的被积函数，文献24还给出了五个将低维数的定积分转化为高维数的二重积分的例子，文献25 也给出了一种特殊的利用二重积分解决有关定积分问题的方法（一个命题）及两个有代表性的例子.也就是说二重积分与定积分可以互化来计算或证明.这就是二重积分与定积分这一对概念之间的关系之一.21极限、定积分关系探讨文献18讨论了应用定积分定义求数列极限的方法，并给出了确定被积函数及积分上、下限的具体步骤.极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限可以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效方法! 由于数学分析教材对这一知识点只提及一二例.许多教师在讲此内容时将例题一带而过，导致大部分学生做习题不知从何下手，基础较好的学生也只是模仿例题，但对该方法理解不深! 本文对利用定积分定义求数列极限的方法步骤及如何确定被积函数积分上下限予以探讨总结!，利用定积分求极限步骤：（1）通过恒等变形，将化为特殊形式的积分和. （2）寻找被积函数f确定积分下限及上限：令i/n=x, 被积函数f（i/n）=f（x）.积分下限：a=k/n(k为i的第一个取值)；积分上限：b=m/n(m为i的第一个取值) .(3)根据定积分定义，将写成定积分: =dx(4)计算定积分，得所求极限利用定积分求极限关键：（1） 寻找被积函数f；（2） 确定积分下限a及上限b.2.2极限、二重积分关系探讨二重积分的概念=本身也是用积分和的极限定义的，这就是极限、二重积分这一对数学概念之间的根本性的关系.所以也可以利用二重积分的这一定义式将二重积分与极限互化来进行计算或证明.2.3定积分、二重积分关系探讨 化定积分为二重积分：一般而言，定积分的计算无论是利用直接积分法、换元积分法、分部积分法还是综合利用上述各种方法，归根到底最后都要用到牛顿莱布尼兹公式和它的推广形式.推广形式主要用于解决广义积分问题.表面上看，化定积分为二重积分是将问题复杂化了，但是对于某些特殊结构的被积函数而言，却可以使定积分问题大大简化.利用二重积分可以计算某些定积分.甚至于利用二重积分还可以证明某些定积分不等式.这表明二重积分是借助于定积分而建立起来.但它也开拓了定积分的计算和证明途径.化二重积分为定积分：计算二重积分，通常是将二重积分化为累次积分.累次积分中积分变量的次序有两种.一种是先x后y，另一种是先Y后x.一般而言，由于积分区域不是矩形区域，选择不同积分次序的累次积分.积分变量和积分上下限是不同的.很多情况下，两种不同次序的累次积分都可以计算出相应的二重积分不过由于受被积函数和积分区域几何形状的影响可能一种情况下计算简单而另一种情况下计算却很复杂.当被积函数中含有，sin,等时，由于这些函数的原函数都不是初等函数.在这种情况下，先x后Y的累次积分是不可行的，只能选择先Y后x的累次积分.一般情况下选择合适的累次积分的原则是既要使计算可行又要使得计算简单.关于这个问题在文已有研究.但是利用累次积分计算二重积分也有一定的缺陷经验不足时不能正确选择积分次序.即使积分次序的选择正确也可能不能熟练地根据积分区域确定积分变量的上下限积分区域的几何形状复杂时有时还要对积分区域进行分割.这些缺陷使我们想到.不如直接将二重积分化为一次定积分，用定积分的分部积分法，从而使问题变得简洁明了，易于计算.若要计算二重积分，其中D是由直线x=0，x=1,y=x,y=l围成对于这个问题，从被积函数可以看出选择先x后Y的累次积分计算是可行的，先Y后x的累次积分是不可行的，并且此时不能应用定积分的分部积分法.这也就说明了不是所有的二重积分问题都可以化为定积分从而应用定积分的分部积分法该方法有时虽然好用，但有局限性不是万能的.能不能用该方法归根到底与被积函数和积分区域的几何形状有关.3结束语通过大量阅读参考文献,我知道了定积分、二重积分的概念都是用积分和（也叫黎曼和）的极限来定义的,这就是定积分与极限、二重积分与极限这两对数学概念之间的根本性的关系.所以可以利用定积分定义来计算形如积分和的极限.而二重积分也可以用定积分来解释，它可以转化为二次积分（也叫累次积分）或两个定积分的乘积来计算或证明，而二次积分就是两次定积分.反过来，定积分也可以转化为二重积分来计算或证明.也就是说二重积分与定积分可以互化来计算或证明.对于某些结构特殊的被积函数，文献24还给出了五个将低维数的定积分转化为高维数的二重积分的例子，文献25 也给出了一种特殊的利用二重积分解决有关定积分问题的方法（一个命题）及两个有代表性的例子.也就是说二重积分与定积分可以互化来计算或证明.这就是二重积分与定积分这一对概念之间的关系之一.致谢：在本论文的完成过程中，得到了曹学锋老师的精心指导和大力帮助，在此，衷心感谢曹老师的悉心指导！参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）（第三版）M.北京：高等教育出版，2001，23