高中圆锥曲线推论拓展

椭 圆 4 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 5 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆 除去长轴的两个端点 6 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 7 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 8 设 A1 A2为椭圆的左 右顶点 则 PF1F2在边 PF2 或 PF1 上的旁切圆 必与 A1A2所 在的直线切于 A2 或 A1 9 椭圆 a b o 的两个顶点为 与 y 轴平行的直线交椭圆于 22 22 1 xy ab 1 0 Aa 2 0 A a P1 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab 10 若在椭圆上 则过的椭圆的切线方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 0 P 00 22 1 x xy y ab 11 若在椭圆外 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1 P2 则切点弦 000 P xy 22 22 1 xy ab P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab 12 AB 是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦 M 为 AB 的中点 则 22 22 1 xy ab 2 2 OMAB b kk a 13 若在椭圆内 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 22 0000 2222 x xy yxy abab 14 若在椭圆内 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 22 00 2222 x xy yxy abab 15 若 PQ 是椭圆 a b 0 上对中心张直角的弦 则 22 22 1 xy ab 12 2222 12 1111 rOP rOQ rrab 16 若椭圆 a b 0 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 22 22 1 xy ab 1AxBy 0 AB 则 1 2 22 22 11 AB ab 4242 2222 2 a Ab B L a Ab B 17 给定椭圆 a b 0 则 i 对上 1 C 222222 b xa ya b 2 C 22 22222 22 ab b xa yab ab 1 C 任意给定的点 它的任一直角弦必须经过上一定点 M 000 P xy 2 C 2222 00 2222 abab xy abab ii 对上任一点在上存在唯一的点 使得的任一直角弦都经过点 2 C 000 Pxy 1 C M M 0 P 18 设为椭圆 或圆 C a 0 b 0 上一点 P1P2为曲线 C 的动弦 且 000 P xy 22 22 1 xy ab 弦 P0P1 P0P2斜率存在 记为 k1 k 2 则直线 P1P2通过定点的充要条件是 00 M mxmy 1 m 2 12 2 1 1 m b kk m a 19 过椭圆 a 0 b 0 上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 22 22 1 xy ab 00 A xy B C 两点 则直线 BC 有定向且 常数 2 0 2 0 BC b x k a y 20 椭圆 a b 0 的左右焦点分别为 F1 F 2 点 P 为椭圆上任意一点 22 22 1 xy ab 12 FPF 则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb 2 222 tan tan 22 ab Pcb cc 21 若 P 为椭圆 a b 0 上异于长轴端点的任一点 F1 F 2是焦点 22 22 1 xy ab 12 PFF 则 21 PF F tant 22 ac co ac 22 椭圆 a b 0 的焦半径公式 22 22 1 xy ab 10 MFaex 20 MFaex 1 0 Fc 2 0 F c 00 M xy 23 若椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 左准线为 L 则当 22 22 1 xy ab 0 e 时 可在椭圆上求一点 P 使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 21 24 P 为椭圆 a b 0 上任一点 F1 F2为二焦点 A 为椭圆内一定点 则 22 22 1 xy ab 当且仅当三点共线时 等号成立 211 2 2 aAFPAPFaAF 2 A F P 25 椭圆 a b 0 上存在两点关于直线 对称的充要条件是 22 22 1 xy ab l 0 yk xx 222 2 0 222 ab x ab k 26 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线 与以长轴为直径的圆相交 则相应交点与相应焦点 的连线必与切线垂直 27 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点 则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直 28 P 是椭圆 a b 0 上一点 则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 cos sin xa yb 2 2 1 1 sin e 29 设 A B 为椭圆上两点 其直线 AB 与椭圆相交于 22 22 0 1 xy k kk ab 22 22 1 xy ab P Q 则 APBQ 30 在椭圆中 定长为 2m o m a 的弦中点轨迹方程为 22 22 1 xy ab 22 22 2 22 22 1 cossin xy ab m ab 其中 当时 22 22 tan b x a y 0y 90 31 设 S 为椭圆 a b 0 的通径 定长线段 L 的两端点 A B 在椭圆上移动 22 22 1 xy ab 记 AB 是 AB 中点 则当时 有 当l 00 M xylS 2 0max 2 al x ce 222 cab c e a 时 有 lS 22 0max 4 2 a xbl b 0min 0 x 32 椭圆与直线有公共点的充要条件是 22 22 1 xy ab 0AxByC 22222 A aB bC 33 椭圆与直线有公共点的充要条件是 22 00 22 1 xxyy ab 0AxByC 22222 00 A aB bAxByC 34 设椭圆 a b 0 的两个焦点为 F1 F2 P 异于长轴端点 为椭圆上任意一 22 22 1 xy ab 点 在 PF1F2中 记 则有 12 FPF 12 PFF 12 FF P sin sinsin c e a 35 经过椭圆 a b 0 的长轴的两端点 A1和 A2的切线 与椭圆上任一 222222 b xa ya b 点的切线相交于 P1和 P2 则 2 12 PAPAb 36 已知椭圆 a b 0 O 为坐标原点 P Q 为椭圆上两动点 且 22 22 1 xy ab OPOQ 1 2 OP 2 OQ 2的最大值为 3 的最小值是 2222 1111 OPOQab 22 22 4a b ab OPQ S 22 22 a b ab 37 MN 是经过椭圆 a b 0 过焦点的任一弦 若 AB 是经过椭圆中心 222222 b xa ya b O 且平行于 MN 的弦 则 2 2 ABa MN 38 MN 是经过椭圆 a b 0 焦点的任一弦 若过椭圆中心 O 的半弦 222222 b xa ya b 则 OPMN 222 2111 a MNOPab 39 设椭圆 a b 0 M m o 或 o m 为其对称轴上除中心 顶点外的任一点 22 22 1 xy ab 过 M 引一条直线与椭圆相交于 P Q 两点 则直线 A1P A2Q A1 A2为对称轴上的两顶点 的交 点 N 在直线 或 上 l 2 a x m 2 b y m 40 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P Q 两点 A 为椭圆长轴上一个顶点 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点 则 MF NF 41 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P Q A1 A2为椭圆长轴上的顶点 A1P 和 A2Q 交于点 M A2P 和 A1Q 交于点 N 则 MF NF 42 设椭圆方程 则斜率为 k k 0 的平行弦的中点必在直线 的共轭直线 22 22 1 xy ab lykx 上 而且 yk x 2 2 b kk a 43 设 A B C D 为椭圆上四点 AB CD 所在直线的倾斜角分别为 直 22 22 1 xy ab 线 AB 与 CD 相交于 P 且 P 不在椭圆上 则 2222 2222 cossin cossin PAPBba PCPDba 44 已知椭圆 a b 0 点 P 为其上一点 F1 F 2为椭圆的焦点 的外 22 22 1 xy ab 12 FPF 内 角平分线为 作 F1 F2分别垂直 于 R S 当 P 跑遍整个椭圆时 R S 形成的轨迹方ll 程是 222 xya 2222222 b yace xcxycxce xc 45 设 ABC 内接于椭圆 且 AB 为的直径 为 AB 的共轭直径所在的直线 分别交 ll 直线 AC BC 于 E 和 F 又 D 为 上一点 则 CD 与椭圆相切的充要条件是 D 为 EF 的中点 l 46 过椭圆 a b 0 的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M N 两点 弦 MN 的 22 22 1 xy ab 垂直平分线交 x 轴于 P 则 2 PFe MN 47 设 A x1 y1 是椭圆 a b 0 上任一点 过 A 作一条斜率为的直 22 22 1 xy ab 2 1 2 1 b x a y 线 L 又设 d 是原点到直线 L 的距离 分别是 A 到椭圆两焦点的距离 则 12 r r 1 2 rr dab 48 已知椭圆 a b 0 和 一直线顺次与它们相交 22 22 1 xy ab 22 22 xy ab 01 于 A B C D 四点 则 AB CD 49 已知椭圆 a b 0 A B 是椭圆上的两点 线段 AB 的垂直平分线与 22 22 1 xy ab x 轴相交于点 则 0 0 P x 2222 0 abab x aa 50 设 P 点是椭圆 a b 0 上异于长轴端点的任一点 F1 F2为其焦点记 22 22 1 xy ab 则 1 2 12 FPF 2 12 2 1 cos b PFPF 1 2 2 tan 2 PF F Sb 51 设过椭圆的长轴上一点 B m o 作直线与椭圆相交于 P Q 两点 A 为椭圆长轴的左 顶点 连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN 于 M N 两点 则xn 90MBN 2 22 ama amb na 52 L 是经过椭圆 a b 0 长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线 E F 是椭圆 22 22 1 xy ab 两个焦点 e 是离心率 点 若 则是锐角且或 当且仅PL EPF sine sinarce 当时取等号 ab PH c 53 L 是椭圆 a b 0 的准线 A B 是椭圆的长轴两顶点 点 e 是离 22 22 1 xy ab PL 心率 H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距 则是锐角且或 当EPF sine sinarce 且仅当时取等号 ab PH c 54 L 是椭圆 a b 0 的准线 E F 是两个焦点 H 是 L 与 x 轴的交点 22 22 1 xy ab 点 离心率为 e 半焦距为 c 则为锐角且或 当且仅PL EPF 2 sine 2 sinarce 当时取等号 22 b PHac c 55 已知椭圆 a b 0 直线 L 通过其右焦点 F2 且与椭圆相交于 A B 两点 22 22 1 xy ab 将 A B 与椭圆左焦点 F1连结起来 则 当且仅当 AB x 轴时右边 222 2 11 2 2 ab bF AFB a 不等式取等号 当且仅当 A F1 B 三点共线时左边不等式取等号 56 设 A B 是椭圆 a b 0 的长轴两端点 P 是椭圆上的一点 22 22 1 xy ab PAB c e 分别是椭圆的半焦距离心率 则有 1 2 PBA BPA 2 222 2 cos s ab PA ac co 3 2 tantan1 e 22 22 2 cot PAB a b S ba 57 设 A B 是椭圆 a b 0 长轴上分别位于椭圆内 异于原点 外部的 22 22 1 xy ab 两点 且 的横坐标 1 若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P Q 两点 则 A x B x 2 AB xxa 2 若过 B 引直线与这椭圆相交于 P Q 两点 则 PBAQBA 180PBAQBA 58 设 A B 是椭圆 a b 0 长轴上分别位于椭圆内 异于原点 外部的 22 22 1 xy ab 两点 1 若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P Q 两点 若 B P 交椭圆于两点 则 P Q 不关 于 x 轴对称 且 则点 A B 的横坐标 满足 2 若过 B 点PBAQBA A x B x 2 AB xxa 引直线与这椭圆相交于 P Q 两点 且 则点 A B 的横坐标满足 180PBAQBA 2 AB xxa 59 设是椭圆的长轴的两个端点 是与垂直的弦 则直线与 A A 22 22 1 xy ab QQ AAAQ 的交点 P 的轨迹是双曲线 AQ 22 22 1 xy ab 60 过椭圆 a b 0 的左焦点作互相垂直的两条弦 AB CD 则 22 22 1 xy ab F 222 22 82 abab ABCD aba 61 到椭圆 a b 0 两焦点的距离之比等于 c 为半焦距 的动点 M 22 22 1 xy ab ac b 的轨迹是姊妹圆 222 xayb 62 到椭圆 a b 0 的长轴两端点的距离之比等于 c 为半焦距 的动 22 22 1 xy ab ac b 点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ab xy ee 63 到椭圆 a b 0 的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 c 为半焦距 22 22 1 xy ab ac b 的动点的轨迹是姊妹圆 e 为离心率 222 22 ab xy ee 64 已知 P 是椭圆 a b 0 上一个动点 是它长轴的两个端点 且 22 22 1 xy ab A A 则 Q 点的轨迹方程是 AQAP AQAP 222 24 1 xb y aa 65 椭圆的一条直径 过中心的弦 的长 为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长 的比例中项 66 设椭圆 a b 0 长轴的端点为 是椭圆上的点过 P 作斜率为 22 22 1 xy ab A A 11 P x y 的直线 过分别作垂直于长轴的直线交 于 则 2 1 2 1 b x a y l A Al M M 1 2 四边形面积的最小值是 2 AMAMb MAAM2ab 67 已知椭圆 a b 0 的右准线 与 x 轴相交于点 过椭圆右焦点的直 22 22 1 xy ab lEF 线与椭圆相交于 A B 两点 点在右准线 上 且轴 则直线 AC 经过线段 EF 的中点 ClBCx 68 OA OB 是椭圆 a 0 b 0 的两条互相垂直的弦 O 为坐标原点 22 22 1 xay ab 则 1 直线 AB 必经过一个定点 2 以 O A O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的 2 22 2 0 ab ab 轨迹方程是 22 222 2222 abab xy abab 0 x 69 是椭圆 a b 0 上一个定点 P A P B 是互相垂直的弦 则 P m n 22 22 1 xay ab 1 直线 AB 必经过一个定点 2 以 P A P B 为直径的两圆的 22222 2222 2 abm abn ba abab 另一个交点 Q 的轨迹方程是 且 22224222 22 2222222 aba mb na bn ab xy ababab xm yn 70 如果一个椭圆短半轴长为 b 焦点 F1 F2到直线的距离分别为 d1 d2 那么 1 L 且 F1 F 2在 同侧直线 L 和椭圆相切 2 且 F1 F2在 L 同侧直 2 12 d db L 2 12 d db 线 和椭圆相离 3 或 F1 F2在 L 异侧直线 L 和椭圆相交 L 2 12 d db 71 AB 是椭圆 a b 0 的长轴 是椭圆上的动点 过的切线与过 A B 22 22 1 xy ab NN 的切线交于 两点 则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 CD 222 41 0 xa yy 72 设点为椭圆 a b 0 的内部一定点 AB 是椭圆过定 00 P xy 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 点的任一弦 当弦 AB 平行 或重合 于椭圆长轴所在直线时 00 P xy 当弦 AB 垂直于长轴所在直线时 222222 00 max 2 a ba yb x PAPB b 222222 00 min 2 a ba yb x PAPB b 73 椭圆焦三角形中 以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切 74 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点 75 椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a c 与 a c 76 椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a c 77 椭圆焦三角形中 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 注 在椭圆焦三角形中 非焦顶点的内 外角平分线与长轴交点分别称为内 外点 78 椭圆焦三角形中 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e 79 椭圆焦三角形中 半焦距必为内 外点到椭圆中心的比例中项 80 椭圆焦三角形中 椭圆中心到内点的距离 内点到同侧焦点的距离 半焦距及外点到同 侧焦点的距离成比例 81 椭圆焦三角形中 半焦距 外点与椭圆中心连线段 内点与同侧焦点连线段 外点与同 侧焦点连线段成比例 82 椭圆焦三角形中 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 则椭圆中心与垂足连线必 与另一焦半径所在直线平行 83 椭圆焦三角形中 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 则椭圆中心与垂足的距离 为椭圆长半轴的长 84 椭圆焦三角形中 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 垂足就是垂足同侧焦半径 为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点 85 椭圆焦三角形中 非焦顶点的外角平分线与焦半径 长轴所在直线的夹角的余弦的比为 定值 e 86 椭圆焦三角形中 非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线 87 椭圆焦三角形中 非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线 88 椭圆焦三角形中 过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交 则以两交点为直径 的圆必过两焦点 89 已知椭圆 包括圆在内 上有一点 过点分别作直线及 22 22 1 0 0 xy ab ab PP b yx a 的平行线 与直线分别交于 为原点 则 b yx a OP R QO 1 2 222 OMONa 222 OQORb 90 过平面上的点作直线及的平行线 分别交轴于 交轴P 1 b lyx a 2 b lyx a x M Ny 于 1 若 则的轨迹方程是 2 若 R Q 222 OMONa P 22 22 1 0 0 xy ab ab 则的轨迹方程是 222 OQORb P 22 22 1 0 0 xy ab ab 91 点为椭圆 包括圆在内 在第一象限的弧上任意一点 过引P 22 22 1 0 0 xy ab ab P 轴 轴的平行线 交轴 轴于 交直线于 记 与的面xyyx M N b yx a Q ROMQ ONR 积为 则 12 S S 12 2 ab SS 92 点为第一象限内一点 过引轴 轴的平行线 交轴 轴于 交直线PPxyyx M N 于 记 与的面积为 已知 则的轨迹方程是 b yx a Q ROMQ ONR 12 S S 12 2 ab SS P 22 22 1 0 0 xy ab ab 双曲线 4 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 5 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆 除去长轴的两个端点 6 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 7 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切 8 设 A1 A2为双曲线的左 右顶点 则 PF1F2在边 PF2 或 PF1 上的旁切圆 必与 A1A2 所在的直线切于 A2 或 A1 9 双曲线 a 0 b 0 的两个顶点为 与 y 轴平行的直线交双 22 22 1 xy ab 1 0 Aa 2 0 A a 曲线于 P1 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab 10 若在双曲线 a 0 b 0 上 则过的双曲线的切线方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 0 P 00 22 1 x xy y ab 11 若在双曲线 a 0 b 0 外 则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 000 P xy 22 22 1 xy ab P1 P2 则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab 12 AB 是双曲线 a 0 b 0 的不平行于对称轴且过原点的弦 M 为 AB 的中点 22 22 1 xy ab 则 2 2 OMAB b kk a 13 若在双曲线 a 0 b 0 内 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 22 0000 2222 x xy yxy abab 14 若在双曲线 a 0 b 0 内 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 22 00 2222 x xy yxy abab 15 若 PQ 是双曲线 b a 0 上对中心张直角的弦 则 22 22 1 xy ab 12 2222 12 1111 rOP rOQ rrab 16 若双曲线 b a 0 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 22 22 1 xy ab 1AxBy 则 1 2 0 AB 22 22 11 AB ab 4242 2222 2 a Ab B L a Ab B 17 给定双曲线 a b 0 则 i 对 1 C 222222 b xa ya b 2 C 22 22222 22 ab b xa yab ab 上任意给定的点 它的任一直角弦必须经过上一定点 M 1 C 000 P xy 2 C 2222 00 2222 abab xy abab ii 对上任一点在上存在唯一的点 使得的任一直角弦都经过点 2 C 000 Pxy 1 C M M 0 P 18 设为双曲线 a 0 b 0 上一点 P1P2为曲线 C 的动弦 且弦 P0P1 000 P xy 22 22 1 xy ab P0P2斜率存在 记为 k1 k 2 则直线 P1P2通过定点的充要条件是 00 M mxmy 1 m 2 12 2 1 1 m b kk m a 19 过双曲线 a 0 b o 上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双 22 22 1 xy ab 00 A xy 曲线于 B C 两点 则直线 BC 有定向且 常数 2 0 2 0 BC b x k a y 20 双曲线 a 0 b o 的左右焦点分别为 F1 F 2 点 P 为双曲线上任意一点 22 22 1 xy ab 则双曲线的焦点角形的面积为 12 FPF 12 2 t 2 F PF Sb co 2 222 tan cot 22 ab Pcb cc 21 若 P 为双曲线 a 0 b 0 右 或左 支上除顶点外的任一点 F1 F 2是焦点 22 22 1 xy ab 则 或 12 PFF 21 PF F tant 22 ca co ca tant 22 ca co ca 22 双曲线 a 0 b o 的焦半径公式 22 22 1 xy ab 1 0 Fc 2 0 F c 当在右支上时 00 M xy 10 MFexa 20 MFexa 当在左支上时 00 M xy 10 MFexa 20 MFexa 23 若双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 左准线为 L 则当 22 22 1 xy ab 1 e 时 可在双曲线上求一点 P 使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 21 24 P 为双曲线 a 0 b 0 上任一点 F1 F2为二焦点 A 为双曲线内一定点 则 22 22 1 xy ab 当且仅当三点共线且和在 y 轴同侧时 等号成立 21 2 AFaPAPF 2 A F PP 2 A F 25 双曲线 a 0 b 0 上存在两点关于直线 对称的充要条件是 22 22 1 xy ab l 0 yk xx 222 2 0 222 ab x ab k 26 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线 与以长轴为直径的圆相交 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直 27 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直 28 P 是双曲线 a 0 b 0 上一点 则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条 sec tan xa yb 件是 2 2 1 1tan e 29 设 A B 为双曲线 a 0 b 0 上两点 其直线 AB 与双曲线 22 22 xy k ab 0 1kk 相交于 则 22 22 1 xy ab P QAPBQ 30 在双曲线中 定长为 2m m 0 的弦中点轨迹方程为 其 22 22 1 xy ab 22 22 2 22 22 1 cossin xy ab m ab 中 当时 22 22 tan b x a y 0y 90 31 设 S 为双曲线 a 0 b o 的通径 定长线段 L 的两端点 A B 在双曲线上移 22 22 1 xy ab 动 记 AB 是 AB 中点 则当时 有 当l 00 M xylS 2 0min 2 al x ce 222 cab c e a 时 有 lS 22 0min 4 2 a xbl b 32 双曲线 a 0 b 0 与直线有公共点的充要条件是 22 22 1 xy ab 0AxByC 22222 A aB bC 33 双曲线 a 0 b 0 与直线有公共点的充要条件 22 00 22 1 xxyy ab 0AxByC 是 22222 00 A aB bAxByC 34 设双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为 F1 F2 P 异于长轴端点 为双曲线上 22 22 1 xy ab 任意一点 在 PF1F2中 记 则有 12 FPF 12 PFF 12 FF P sin sinsin c e a 35 经过双曲线 a 0 b 0 的实轴的两端点 A1和 A2的切线 与双曲线上任一 22 22 1 xy ab 点的切线相交于 P1和 P2 则 2 12 PAPAb 36 已知双曲线 b a 0 O 为坐标原点 P Q 为双曲线上两动点 且 22 22 1 xy ab 1 2 OP 2 OQ 2的最小值为 3 的最小OPOQ 2222 1111 OPOQab 22 22 4a b ba OPQ S 值是 22 22 a b ba 37 MN 是经过双曲线 a 0 b 0 过焦点的任一弦 交于两支 若 AB 是经过 22 22 1 xy ab 双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦 则 2 2 ABa MN 38 MN 是经过双曲线 a b 0 焦点的任一弦 交于同支 若过双曲线中心 O 22 22 1 xy ab 的半弦 则 OPMN 222 2111 a MNOPab 39 设双曲线 a 0 b 0 M m o 为实轴所在直线上除中心 顶点外的任一点 22 22 1 xy ab 过 M 引一条直线与双曲线相交于 P Q 两点 则直线 A1P A2Q A1 A2为两顶点 的交点 N 在直 线 上 l 2 a x m 40 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P Q 两点 A 为双曲线长轴上一个顶点 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点 则 MF NF 41 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P Q A1 A2为双曲线实轴上的顶点 A1P 和 A2Q 交于点 M A2P 和 A1Q 交于点 N 则 MF NF 42 设双曲线方程 则斜率为 k k 0 的平行弦的中点必在直线 的共轭直 22 22 1 xy ab lykx 线上 而且 yk x 2 2 b kk a 43 设 A B C D 为双曲线 a 0 b o 上四点 AB CD 所在直线的倾斜角 22 22 1 xy ab 分别为 直线 AB 与 CD 相交于 P 且 P 不在双曲线上 则 2222 2222 cossin cossin PAPBba PCPDba 44 已知双曲线 a 0 b 0 点 P 为其上一点 F1 F 2为双曲线的焦点 22 22 1 xy ab 的外 内 角平分线为 作 F1 F2分别垂直 于 R S 当 P 跑遍整个双曲线时 R S 12 FPF ll 形成的轨迹方程是 222 xya 322224223222 a b xcabxb ca cxc yab c y 45 设 ABC 三顶点分别在双曲线上 且 AB 为的直径 为 AB 的共轭直径所在的直 l 线 分别交直线 AC BC 于 E 和 F 又 D 为 上一点 则 CD 与双曲线相切的充要条件是 Dll 为 EF 的中点 46 过双曲线 a 0 b 0 的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M N 两点 22 22 1 xy ab 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P 则 2 PFe MN 47 设 A x1 y1 是双曲线 a 0 b 0 上任一点 过 A 作一条斜率为的 22 22 1 xy ab 2 1 2 1 b x a y 直线 L 又设 d 是原点到直线 L 的距离 分别是 A 到双曲线两焦点的距离 则 12 r r 1 2 rr dab 48 已知双曲线 a 0 b 0 和 一条直线顺次与它们 22 22 1 xy ab 22 22 xy ab 01 相交于 A B C D 四点 则 AB CD 49 已知双曲线 a 0 b 0 A B 是双曲线上的两点 线段 AB 的垂直平分线 22 22 1 xy ab 与 x 轴相交于点 则或 0 0 P x 22 0 ab x a 22 0 ab x a 50 设 P 点是双曲线 a 0 b 0 上异于实轴端点的任一点 F1 F2为其焦点记 22 22 1 xy ab 则 1 2 12 FPF 2 12 2 1 cos b PFPF 1 2 2 cot 2 PF F Sb 51 设过双曲线的实轴上一点 B m o 作直线与双曲线相交于 P Q 两点 A 为双曲线实 轴的左顶点 连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN 于 M N 两点 则xn 90MBN 2 22 ama amb na 52 L 是经过双曲线 a 0 b 0 焦点 F 且与实轴垂直的直线 A B 是双曲线 22 22 1 xy ab 实轴的两个焦点 e 是离心率 点 若 则是锐角且或PL EPF 1 sin e 当且仅当时取等号 1 sinarc e ab PH c 53 L 是经过双曲线 a 0 b 0 的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线 E F 是 22 22 1 xy ab 双曲线的准线与 x 轴交点 点 e 是离心率 H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距 PL EPF 则是锐角且或 当且仅当时取等号 1 sin e 1 sinarc e ab PA c 54 L 是双曲线 a 0 b 0 焦点 F1且与 x 轴垂直的直线 E F 是双曲线准线 22 22 1 xy ab 与 x 轴交点 H 是 L 与 x 轴的交点 点 离心率为 e 半焦距为 c 则为锐角PL EPF 且或 当且仅当时取等号 2 1 sin e 2 1 sinarc e 22 1 b PFac c 55 已知双曲线 a 0 b 0 直线 L 通过其右焦点 F2 且与双曲线右支交于 22 22 1 xy ab A B 两点 将 A B 与双曲线左焦点 F1连结起来 则 当且仅当 222 11 2 2 ab F AFB a AB x 轴时取等号 56 设 A B 是双曲线 a 0 b 0 的长轴两端点 P 是双曲线上的一点 22 22 1 xy ab c e 分别是双曲线的半焦距离心率 则有 1 PAB PBA BPA 2 3 2 222 2 cos s ab PA ac co 2 tantan1 e 22 22 2 cot PAB a b S ba 57 设 A B 是双曲线 a 0 b 0 实轴上分别位于双曲线一支内 含焦点的区 22 22 1 xy ab 域 外部的两点 且 的横坐标 1 若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 A x B x 2 AB xxa P Q 两点 则 2 若过 B 引直线与双曲线这一支相交于 P Q 两点 则PBAQBA 180PBAQBA 58 设 A B 是双曲线 a 0 b 0 实轴上分别位于双曲线一支内 含焦点的区 22 22 1 xy ab 域 外部的两点 1 若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P Q 两点 若 B P 交双曲线这 一支于两点 则 P Q 不关于 x 轴对称 且 则点 A B 的横坐标 满足PBAQBA A x B x 2 若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P Q 两点 且 2 AB xxa 180PBAQBA 则点 A B 的横坐标满足 2 AB xxa 59 设是双曲线的实轴的两个端点 是与垂直的弦 则直线与 A A 22 22 1 xy ab QQ AAAQ 的交点 P 的轨迹是双曲线 AQ 22 22 1 xy ab 60 过双曲线 a 0 b 0 的右焦点作互相垂直的两条弦 AB CD 则 22 22 1 xy ab F 2 22 8 ab ABCD ab 61 到双曲线 a 0 b 0 两焦点的距离之比等于 c 为半焦距 的动点 22 22 1 xy ab ca b M 的轨迹是姊妹圆 222 xecyeb 62 到双曲线 a 0 b 0 的实轴两端点的距离之比等于 c 为半焦距 的 22 22 1 xy ab ca b 动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 xayb 63 到双曲线 a 0 b 0 的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 c 为半焦 22 22 1 xy ab ca b 距 的动点的轨迹是姊妹圆 e 为离心率 222 b xay e 64 已知 P 是双曲线 a 0 b 0 上一个动点 是它实轴的两个端点 且 22 22 1 xy ab A A 则 Q 点的轨迹方程是 AQAP AQAP 222 24 1 xb y aa 65 双曲线的一条直径 过中心的弦 的长 为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之 长的比例中项 66 设双曲线 a 0 b 0 实轴的端点为 是双曲线上的点过 P 作 22 22 1 xy ab A A 11 P x y 斜率为的直线 过分别作垂直于实轴的直线交 于 则 2 1 2 1 b x a y l A Al M M 1 2 四边形面积的最小值是 2 AMAMb MAAM2ab 67 已知双曲线 a 0 b 0 的右准线 与 x 轴相交于点 过双曲线右焦点 22 22 1 xy ab lE 的直线与双曲线相交于 A B 两点 点在右准线 上 且轴 则直线 AC 经过线段 EF FClBCx 的中点 68 OA OB 是双曲线 a 0 b 0 且 的两条互相垂直的弦 O 为坐 22 22 1 xay ab ab 标原点 则 1 直线 AB 必经过一个定点 2 以 O A O B 为直径的两圆的另一个交 2 22 2 0 ab ba 点 Q 的轨迹方程是 22 222 2222 abab xy baba 0 x 69 是双曲线 a 0 b 0 上一个定点 P A P B 是互相垂直的弦 P m n 22 22 1 xay ab 则 1 直线 AB 必经过一个定点 2 以 P A P B 为直径的两圆 22222 2222 2 abm ban ab baba 的另一个交点 Q 的轨迹方程是 且 22224222 22 2222222 aba mb na bn ab xy bababa xm yn 70 如果一个双曲线虚半轴长为 b 焦点 F1 F2到直线的距离分别为 d1 d2 那么 1 L 且 F1 F 2在 同侧直线 L 和双曲线相切 或是双曲线的渐近线 2 2 12 d db L L 2 12 d db 且 F1 F2在 L 同侧直线 和双曲线相离 3 或 F1 F2在 L 异侧直线 L 和双 L 2 12 d db 曲线相交 71 AB 是双曲线 a 0 b 0 的实轴 是双曲线上的动点 过的切线与过 22 22 1 xy ab NN A B 的切线交于 两点 则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是CD 222 41 0 xa yy 72 设点为双曲线 a 0 b 0 的内部 含焦点的区域 一定点 AB 00 P xy 22 22 1 xy ab 是双曲线过定点的任一弦 00 P xy 1 如 则当弦 AB 垂直于双曲线实轴所在直线时 ab 222222 00 min 2 b xa ya b PAPB a 2 如 则当弦 AB 平行 或重合 于双曲线实轴所在直线时 ab 222222 00 min 2 b xa ya b PAPB b 73 双曲线焦三角形中 以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切 74 双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点 75 双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a c 与 a c 76 双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a c 77 双曲线焦三角形中 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心 率 注 在双曲线焦三角形中 非焦顶点的内 外角平分线与长轴交点分别称为内 外点 78 双曲线焦三角形中 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e 79 双曲线焦三角形中 半焦距必为内 外点到双曲线中心的比例中项 80 双曲线焦三角形中 双曲线中心到内点的距离 内点到同侧焦点的距离 半焦距及外点 到同侧焦点的距离成比例 81 双曲线焦三角形中 半焦距 外点与双曲线中心连线段 内点与同侧焦点连线段 外点 与同侧焦点连线段成比例 82 双曲线焦三角形中 过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线 则双曲线中心与垂足连 线必与另一焦半径所在直线平行 83 双曲线焦三角形中 过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线 则双曲线中心与垂足的距 离为双曲线实半轴的长 84 双曲线焦三角形中 过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线 垂足就是垂足同侧焦半 径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点 85 双曲线焦三角形中 非焦顶点的内角平分线与焦半径 实轴所在直线的夹角的余弦的比 为定值 e 86 双曲线焦三角形中 非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线 87 双曲线焦三角形中 非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线 88 双曲线焦三角形中 过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交 则以两交点为 直径的圆必过两焦点 89 已知双曲线上有一点 过分别引其渐近线的平行线 分别交 22 22 1 0 0 xy ab ab PP 轴于 交轴于 为原点 则 x M Ny R QO 1 2 2 OMONa 2 OQORb 90 过平面上的点作直线及的平行线 分别交轴于 交轴P 1 b lyx a 2 b lyx a x M Ny 于 1 若 则的轨迹方程是 2 若 R Q 2 OMONa P 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 OQORb 则的轨迹方程是 P 22 22 1 0 0 xy ab ab 91 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点 过引轴 轴的P 22 22 1 0 0 xy ab ab Pxy 平行线 交轴 轴于 交直线于 记 与的面积为 yx M N b yx a Q ROMQ ONR 12 S S 则 12 2 ab SS 92 点为第一象限内一点 过引轴 轴的平行线 交轴 轴于 交直线PPxyyx M N 于 记 与的面积为 已知 则的轨迹方程是 b yx a Q ROMQ ONR 12 S S 12 2 ab SS P 或 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 22 1 0 0 yx ab ba 结论结论 1 过抛物线的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A B 两 0 2 2 ppxy 11 yx 22 yx 点 设 O 为原点 则有 1 2 3 nFBmFA 4 2 21 p xx 2 21 pyy 4 证明略 结论结论 2 直线 l 交抛物线于 A 4 OBOAk k pnm 211 0 2 2 ppxy 11y x B 两点 O 为原点 若