数字信号处理实验三用FFT作谱分析

实验报告 2012 年年 05 月月 1 日日 课程名称 课程名称 数字信号处理 实验名称 实验名称 用 FFT 作谱分析 班级 班级 学号学号 姓名 姓名 实验三实验三 用用 FFTFFT 作谱分析作谱分析 一 实验目的 1 进一步加深 DFT 算法原理和基本性质的理解 因为 FFT 只是 DFT 的一种 快速算法 所以 FFT 的运算结果必然满足 DFT 的基本性质 2 熟悉 FFT 算法的原理 3 学习用 FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法分析误差及其 原因 以便在实际中正确应用 FFT 二 实验内容 1 x n 构造 DFT 函数计算 x n 的 10 点 DFT 20 点 DFT 并画出图形 2 利用 FFT 对下列信号逐个进行谱分析并画出图形 a x1 n R4 n b x2 n cos c x3 n sin 以上 3 个序列的 FFT 变换区间 N 8 16 2 设一序列中含有两种频率成份 f1 2HZ f2 2 05HZ 采样频率取为 fs 10HZ 即 2sin 2sin 21ss fnffnfnx 要区分出这两种频率成份 必须满足 N 400 为什么 a 取 x n 0 n 128 时 计算 x n 的 DFT X k b 将 a 中的 x n 以补零方式使其加长到 0 n 512 计算 X k c 取 x n 0 n 512 计算 X k 3 令 32 nxnxnx 用 FFT 计算 16 点离散傅立叶变换并画出图形 分析 DFT 的对称性 4 32 njxnxnx 用 FFT 计算 16 点离散傅立叶变换并画出图形 分析 DFT 的对称性 三 实验代码 1 1 代码 function Xk dft xn N n 0 1 N 1 k 0 1 N 1 WN exp j 2 pi N nk n k WNnk WN nk Xk xn WNnk 离散傅立叶变换方法定义 N 10 10点DFT n1 0 N 1 x1 ones 1 6 zeros 1 N 6 生成1行6列的单位矩阵和1行N 6列的0矩阵 Xk1 dft x1 N 10点DFT figure 1 subplot 2 1 1 stem n1 x1 画火柴图 xlabel n ylabel x n subplot 2 1 2 stem n1 abs Xk1 xlabel n ylabel x n N 20 n2 0 N 1 x2 ones 1 6 zeros 1 14 Xk2 dft x2 N figure 2 subplot 2 1 1 stem n2 x2 xlabel n ylabel x n subplot 2 1 2 stem n2 abs Xk2 xlabel n ylabel x n 2 运行结果 图1 10点DFT 图2 20点DFT 3 结果分析 定义 x n 的 N 点 DFT 为 由定义知 DFT 具有隐含周期性 周期与 DFT 的变换长度 N 一致 这说明 变换长度不一样 DFT 的结果也不一样 2 1 代码 N 64 n 0 N 1 x1 ones 1 4 zeros 1 N 4 定义x1 n R4 n x2 cos pi 4 n 定义x2 n cos x3 sin pi 8 n 定义x3 n sin y1 fft x1 y2 fft x2 y3 fft x3 分别进行DFT figure 1 m1 abs y1 subplot 2 1 1 绘制x1 n 的图形 stem n x1 subplot 2 1 2 绘制x1 n 的DFT图形 stem n m1 figure 2 m2 abs y2 subplot 2 1 1 stem n x2 绘制x2 n 的图形 subplot 2 1 2 stem n m2 绘制x1 n 的DFT图形 figure 3 m3 abs y3 subplot 2 1 1 stem n x3 绘制x3 n 的图形 10 1 0 NkWnxkX N n nk N N j N eW 2 其中 subplot 2 1 2 stem n m3 绘制x1 n 的DFT图形 2 运行结果 图 3 x1 n 的 DFT 前后图形 图 4 x2 n 的 DFT 前后图形 图 5 x3 n 的 DFT 前后图形 3 结果分析 由图可以看出 离散序列的 DFT 与对应连续函数的 FT 有对应关系 不同之 处在于 DFT 的结果是离散的 而 FT 的结果是连续的 再者 DFT 结果与 DFT 的 变换长度 N 有关 3 a 1 程序 N 256 n 0 N 1 x sin 2 pi 2 n 10 sin 2 pi 2 05 n 10 定义x X fft x DFT figure 1 subplot 2 1 1 stem n x 绘制x subplot 2 1 2 plot n abs X 绘制DFT后的图形 2 运行结果 图 6 长度为 256 的 DFT b 1 程序 N 128 n 0 N 1 n1 0 511 x sin 2 pi 2 n 10 sin 2 pi 2 05 n 10 x1 x zeros 1 384 以补零方式将n加长到512 X1 fft x1 figure subplot 2 1 1 stem n1 x1 绘制x subplot 2 1 2 plot n1 abs X1 绘制DFT后的图形 2 运行结果 图 7 以补零方式加长到 512 的 DFT C 1 程序 N1 512 n2 0 N1 1 x2 sin 2 pi 2 n2 10 sin 2 pi 2 05 n2 10 长度为512时变换 X2 fft x2 hold on figure subplot 2 1 1 stem n2 x2 绘制x subplot 2 1 2 plot n2 abs X2 绘制DFT后的图形 2 运行结果 图 8 长度为 512 的 DFT 3 结果分析 由三种情况下的 DFT 结果可知 要区分信号中的两个不同频率 需要有一定 个数的 N 也就是说 N 要足够大才可以区分开两个频率 第一种 N N400 因此 DFT 后二者频率未被区分开来 第二种 N N 以补零的方式加长到 512 点 大于 400 则可以将二者频率区分开 来 第三种 N N400 二者频率分开了 也就是说 区分不同频率从 DFT 的角度来讲只要加长 N 的长度 而不管是 以补零方式加长还是其他方式加长 4 1 程序 N 16 n 0 N 1 x2 cos pi 4 n x3 sin pi 8 n x x2 x3 定义前述的序列x2 n x3 n 和x n y2 fft x2 y3 fft x3 y fft x 对x2 n x3 n 和x n 进行傅立叶变换 figure 1 m2 abs y2 subplot 2 1 1 stem n x2 绘制x2 n 的图形 subplot 2 1 2 stem n m2 绘制DFT后的x2 n 图形 figure 2 m3 abs y3 subplot 2 1 1 stem n x3 绘制x3 n 的图形 subplot 2 1 2 stem n m3 绘制DFT后的x3 n 图形 figure 3 m abs y subplot 2 1 1 stem n x 绘制x n 的图形 subplot 2 1 2 stem n m 绘制DFT后的x n 图形 2 运行结果 图9 x2 n DFT前后的图形 图10 x3 n DFT前后的图形 图11 x n DFT前后的图形 3 结果分析 a x2 n 为实偶对称序列 余弦序列 也可以认为是共轭对称序列 b x3 n 为实奇对称序列 正弦序列 也可以认为是共轭反对称序列 c x n 可以认为是一个分成了共轭对称和共轭反对称序列的实序列 则其 DFT的实部对应x2 n 其虚部和j一起对应x3 n 以上就是DFT的共轭对称性的一部分 5 1 程序 N 16 n 0 N 1 x1 cos pi 4 n j sin pi 8 n y1 fft x1 figure 1 m1 abs y1 subplot 2 1 1 stem n x1 绘制x1 n 的图形 subplot 2 1 2 stem n m1 绘制DFT后的x1 n 图形 2 运行结果 图12 x1 n DFT前后的图形 3 结果分析 X1 n 可以认为是一个分成了实部和虚部的序列 则其DFT的实部对应共轭 对称序列 其虚部和j一起对应共轭反对称序列 就是DFT的共轭对称性的 另一部分 四 实验小结 序列的傅立叶变换和 Z 变换共同特点是 1 适用于无限长序列 2 变换的结果是连续函数 从计算的角度来看这是不利的 对有限长序列可采用离散傅立叶变换 简称 DFT 它是可利用计算机进行 数值计算的变换 并且存在快速算法 从而使信号的实时处理和设备的简 化得以实现 1 DFT 的定义 设 x n 是一个长度为 N 的有限长序列 定义 x n 的 N 点 DFT 为 10 1 0 NkWnxkX N n nk N N j N eW 2 其中 2 DFT 与 Z 变换的关系 DFT 的物理意义 序列 x n 的 N 点 DFT 是 x n 的 Z 变换在单位圆上的 N 点 等间隔采样