3.1多项式的因式分解

第3章因式分解 3 1多项式的因式分解 21等于3乘哪个整数 21 3 7 x2 1等于x 1乘哪个多项式 对于整数21与3 有整数7使得21 3 7 我们把3叫作21的一个因数 同理 7也是21的一个因数 对于多项式x2 1与x 1 有x 1使得 我们把x 1叫作x2 1的一个因式 同理x 1也是x2 1的一个因式 一般地 对于两个多项f与g 如果有多项式h使得f gh 那么我们把g叫作f的一个因式 此时 h也是f的一个因式 把x2 1写成的形式 叫做把这个多项式因式分解 一般地 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式 称为把这个多项式因式分解 可以看出 因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形 即 x2 1 x 1 x 1 为什么要把一个多项式因式分解呢 万里长城是由砖砌成的 不少房子也是用砖砌成的 因此 砖是基本建筑块之一 类似地 在数学中也经常要寻找那些 基本建筑块 例如 在正整数集中 像2 3 5 7 11 13 17 这些大于1的数 它的因数只有1和它自身 称这样的正整数为质数或素数 素数就是正整数集中的 基本建筑块 每一个大于1的正整数都能表示成若干个素数的乘积的形式 例如12 2 2 3 30 2 3 5 有了 式和 式 就容易求出12和30的最大公因数为 2 3 6 进而很容易把分数约分 分子与分母同除以6 得 同样地 在系数为有理数 或系数为实数 的多项式组成的集合中 也有一些多项式起着 基本建筑块 的作用 每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式 从而为许多问题的解决架起了桥梁 例如 以后我们要学习的分式的约分 解一元二次方程 解一元二次不等式等 都需要把多项式因式分解 因式分解还可以在许多实际问题中简化计算 下列各式由左边到右边的变形 哪些是因式分解 哪些不是 为什么 1 2 解 1 是 因为从左边到右边是把多项式a2 2ab b2表示成了多项式a b与a b的积的形式 2 不是 因为 m 3 m 2 2不是几个多项式乘积的形式 检验下列因式分解是否正确 1 2 解 因为x x y x2 xy 所以因式分解x2 xy x x y 正确 解因为 a 2 a 3 a2 5a 6 所以因式分解a2 5a 6 a 2 a 3 正确 3 分析检验因式分解是否正确 只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等 解因为 2m n 2m n 4m2 n2 2m2 n2 所以因式分解2m2 n2 2m n 2m n 不正确 1 求4 6 14的最大公因数 最大公因数是2 2 下列各式由左边到右边的变形 哪些是因式分解 哪些不是 为什么 1 2 解是 把多项式2x2y 4xy2表示成了多项式2xy与x 2y的积的形式 解不是 因为是整式乘法的过程而不是几个多项式的积的形式 3 4 解不是 因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是把多项式表示成几个多项式的积的形式 解是 是把多项式4a2 4a 1表示成了多项式2a 1的平方的形式 3 下列各式从左边到右边是因式分解的个数有 个 x2 x x x 1 a a b a2 ab a 3 a 3 a2 9 a2 2a 1 a a 2 1 x2 4x 4 x 2 2 A1B2C3D4 4 下列各式从左到右变形正确的是 A a b a b B x y 2 y x 2C a b 3 b a 3D m 1 n 2 1 m 2 n B D 一般地 对于两个多项f与g 如果有多项式h