3.2.2复数代数形式的乘除运算

3 2 2复数代数形式的乘除运算 学习导航 学习目标 重点难点重点 复数代数形式的乘 除运算法则 运算律 难点 复数除法的运算法则 1 复数的乘法法则设z1 a bi z2 c di a b c d R 则z1 z2 a bi c di 2 复数乘法的运算律对任意复数z1 z2 z3 C 有 ac bd ad bc i z2 z1 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 想一想1 1 z2与 z 2有什么关系 2 对于复数z z 0 0成立吗 提示 1 当z R时 z2 z 2 当z为虚数时 z2 z 2 但 z 2 z2 2 成立 做一做1 设复数z1 1 i z2 x 2i x R 若z1 z2为实数 则x等于 A 2B 1C 1D 2解析 选A z1 z2 1 i x 2i x 2i xi 2 x 2 x 2 i是实数 x 2 0 x 2 3 共轭复数如果两个复数满足实部相等 虚部互为相反数时 称这两个复数为共轭复数 z的共轭复数用表示 即z a bi a b R 则 a bi 想一想2 1 z z 与 z 2和 z 2有什么关系 2 若z C z z 则z是实数吗 提示 1 z z z 2 z 2 2 是实数 设z a bi a b R 则z a bi 又z z a bi a bi b 0 z是实数 做一做 题型一复数的乘除运算 名师点评 1 复数的乘法运算法则的记忆 复数的乘法运算可以把i看作字母 类比多项式的乘法进行 注意要把i2化为 1 进行最后结果的化简 2 复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式 再把分母实数化 即分子 分母同乘以分母的共轭复数 若分母为纯虚数 则只需同乘以i 变式训练 题型二共轭复数 本题满分9分 已知z C 为z的共轭复数 若z 3i 1 3i 求z 思路点拨 名师微博z与的关系要弄清楚 名师微博此方程组易漏解 要认真加仔细 名师点评 1 共轭复数是复数除法运算的基础 2 z z 2 2是共轭复数的常用性质 3 实数的共轭复数是它本身 即z R z 利用此性质可以证明一个复数是实数 变式训练2 设z1 z2为共轭复数 且 z1 z2 2 3z1z2i 4 6i 求z1和z2 解 设z1 x yi x y R 则z2 x yi x y R 将z1 z2代入 z1 z2 2 3z1z2i 4 6i 得 x yi x yi 2 3 x yi x yi i 4 6i 即4x2 3 x2 y2 i 4 6i 利用复数相等的充要条件 题型三i的运算性质及应用 变式训练3 计算 1 2i 3i2 2013i2012的值 解析 选A 因为 m2 i 1 mi m2 m 1 m3 i是实数 所以1 m3 0 又因为m R 所以m 1 故选A 方法技巧1 熟练掌握乘除法运算法则 求解运算时要灵活运用i的性质 或适当变形 创造条件 从而转化为关于i的计算问题 并注意结论的灵活应用 2 对共轭复数的理解 1 当z为实数时 z 反之 亦成立 即 一个复数的共轭复数等于它本身 是 这个复数为实数 的充要条件 即z z R 2 当z为纯虚数时 z 反之 不成立 即 一个复数的共轭复数等于它的相反数 是 这个复数为纯虚数 的必要不充分条件 3 当a b R时 有a2 b2 a bi a bi 其中a bi与a bi是一对共轭复数 这是虚数实数化的一个重要依据 4 互为共轭复数的两个复数的模相等 5 互为共轭复