31.1.4圆周角

31 1 4圆周角 第1课时 学习目标 1 理解圆周角的概念 会叙述并证明圆周角定理 2 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题 重点 难点 3 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用 难点 问题2 什么叫圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角 BOC 活动一 知识准备 问题1 三角形的外角定理 两个条件必须同时具备 缺一不可 顶点在圆上 角的两边与圆相交 C O A B C O B C O B A A C O A B C O B C O B A A 判一判 下列各图中的 BAC是否为圆周角并简述理由 2 1 3 5 6 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 如图 连接BO CO 得圆心角 BOC 试猜想 BAC与 BOC存在怎样的数量关系 测量与猜测 圆心O在 BAC的内部 圆心O在 BAC的一边上 圆心O在 BAC的外部 推导与论证 圆心O在 BAC的一边上 特殊情形 OA OC A C BOC A C D 圆心O在 BAC的内部 D 圆心O在 BAC的外部 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半 要点归纳 问题1如图 OB OC都是 O的半径 点A D是上任意两点 连接AB AC BD CD BAC与 BDC相等吗 请说明理由 D 互动探究 BAC BDC 相等 问题2如图 若 A与 B相等吗 相等 想一想 1 反过来 若 A B 那么成立吗 2 若CD是直径 你能求出 A的度数吗 同弧或等弧所对的圆周角相等 知识要点 A1 A2 A3 试一试 1 如图 点A B C D在 O上 点A与点D在点B C所在直线的同侧 BAC 35 1 BOC 理由是 2 BDC 理由是 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 1 完成下列填空 1 2 3 5 2 如图 点A B C D在同一个圆上 AC BD为四边形ABCD的对角线 4 8 6 7 想一想 如图 线段AB是 O的直径 点C是 O上的任意一点 除点A B外 那么 ABC就是直径AB所对的圆周角 想一想 ACB会是怎样的角 解 OA OB OC AOC BOC都是等腰三角形 OAC OCA OBC OCB 又 OAC OBC ACB 180 ACB OCA OCB 180 2 90 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等于90 知识要点 典例精析 例1如图 AB是 O的直径 A 80 求 ABC的大小 解 AB是 O的直径 ACB 90 直径所对的圆周角等于90 ABC 180 A ACB 180 90 80 10 例2如图 分别求出图中 x的大小 60 x 30 20 x 解 1 同弧所对圆周角相等 x 60 A D B E C 2 连接BF F 同弧所对圆周角相等 ABF D 20 FBC E 30 x ABF FBC 50 例3 如图 O的直径AC为10cm 弦AD为6cm 1 求DC的长 2 若 ADC的平分线交 O于B 求AB BC的长 B 在Rt ABC中 AB2 BC2 AC2 2 AC是直径 ABC 90 BD平分 ADC ADB CDB 又 ACB ADB BAC BDC BAC ACB AB BC B 如图 BD是 O的直径 CBD 30 则 A的度数为 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 BD是 O的直径 BCD 90 CBD 30 D 60 A D 60 故选C 方法总结 在圆中 如果有直径 一般要找直径所对的圆周角 构造直角三角形解题 练一练 C 例4如图 AB是 O的直径 弦CD交AB于点P ACD 60 ADC 70 求 APC的度数 解 连接BC 则 ACB 90 DCB ACB ACD 90 60 30 又 BAD DCB 30 APC BAD ADC 30 70 100 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上 这个多边形叫做圆内接多边形 这个圆叫做这个多边形的外接圆 如图 四边形ABCD为 O的内接四边形 O为四边形ABCD的外接圆 探究性质 猜想 A与 C B与 D之间的关系为 A C 180 B D 180 想一想 如何证明你的猜想呢 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角 A C 180 同理 B D 180 证明猜想 归纳总结 推论 圆的内接四边形的对角互补 C O D B A 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角 A C 180 同理 B D 180 E 延长BC到点E 有 BCD DCE 180 A DCE 想一想 图中 A与 DCE的大小有何关系 归纳总结 推论 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 C O D B A E 1 四边形ABCD是 O的内接四边形 且 A 110 B 80 则 C D 2 O的内接四边形ABCD中 A B C 1 2 3 则 D 70 100 90 练一练 例5 如图 AB为 O的直径 CF AB于E 交 O于D AF交 O于G 求证 FGD ADC 证明 四边形ACDG内接于 O FGD ACD 又 AB为 O的直径 CF AB于E AB垂直平分CD AC AD ADC ACD FGD ADC 方法总结 圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据 如图 在 O的内接四边形ABCD中 BOD 120 那么 BCD是 A 120 B 100 C 80 D 60 解析 BOD 120 A 60 C 180 60 120 故选A 练一练 A 解 设 A B C的度数分别对于2x 3x 6x 例6在圆内接四边形ABCD中 A B C的度数之比是2 3 6 求这个四边形各角的度数 四边形ABCD内接于圆 A C B D 180 2x 6x 180 x 22 5 A 45 B 67 5 C 135 D 180 67 5 112 5 1 判断 1 同一个圆中等弧所对的圆周角相等 2 相等的弦所对的圆周角也相等 3 同弦所对的圆周角相等 当堂训练 2 已知 ABC的三个顶点在 O上 BAC 50 ABC 47 则 AOB 166 3 如图 已知BD是 O的直径 O的弦AC BD于点E 若 AOD 60 则 DBC的度数为 A 30 B 40 C 50 D 60 A 规律方法 解决圆周角和圆心角的计算和证明问题 要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角 然后再灵活运用圆周角定理 4 如图 四边形ABCD内接于 O 如果 BOD 130 则 BCD的度数是 A115 B130 C65 D50 5 如图 等边三角形ABC内接于 O P是AB上的一点 则 APB C 120 6 如图 已知圆心角 AOB 100 则圆周角 ACB ADB 130 50 7 如图 ABC的顶点A B C都在 O上 C 30 AB 2 则 O的半径是 解 连接OA OB C 30 AOB 60 又 OA OB AOB是等边三角形 OA OB AB 2 即半径为2 2 ACB 2 BAC 证明 8 如图 OA OB OC都是 O的半径 AOB 2 BOC 求证 ACB 2 BAC AOB 2 BOC 9 船在航行过程中 船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁 如图 A B表示灯塔 暗礁分布在经过A B两点的一个圆形区域内 优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点 ACB就是 危险角 当船位于安全区域时 与 危险角 有怎样的大小关系 解 当船位于安全区域时 即船位于暗礁区域外 即 O外 与两个灯塔的夹角 小于 危险角 拓展提升 如图 在 ABC中 AB AC 以AB为直径的圆交BC于D 交AC于E 1 BD与CD的大小有什么关系 为什么 2 求证 AB是圆的直径 点D在圆上 ADB 90 AD BC AB AC BD CD AD平分顶角 BAC 即 BAD CAD 同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等 解 BD CD 理由是 连接AD