例说数列问题函数化辅导不分本

例说数列问题函数化http:/www.DearEDU.com马国祥 数列是一种特殊的函数：定义域为正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径，本文就此作一初步探讨。 1. 数列与函数的明显关系 设等差数列的公差为d，则由它的通项公式可知，当时，是n的一次函数；由前n项和的公式可知当时，是n的二次函数。 设等比数列的公比为q，则由它的通项公式： ； 前n项和的公式： 可知，当时，是与n的指数函数相关的函数。数列和函数的这种显见关系为我们数列问题函数化解题提供了可行性。 2. 数列问题函数化 （1）利用一次函数 例1. 已知是递增数列且对于任意的正整数n，恒成立，求实数的取值范围。 解：由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。 （2）利用二次函数例2. 已知等差数列的前n项和，且，求。 解：设（当时），因为 所以的图象对称轴方程是 因为点（0，f(0)）与点关于直线对称 所以 即 当时，为常数列，可知 即，所以 （3）利用函数理论 例3. 已知。 （1）求证数列是递增数列； （2）对于大于1的一切自然数，不等式 恒成立，求实数a的取值范围。 证明：（1）因为 所以数列是递增数列。 （2）设，则由（1）的结论可知，是关于n的单调递增函数，要使不等式恒成立，只要求出的最小值即可 因为 所以的最小值为： 所以由 解得 所以实数a的取值范围是： 例4. 已知数列满足：。 （1）证明； （2）试比较与的大小； （3）是否存在正实数c，使对一切恒成立？若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由。 证明：（1）由已知条件得到： 它是关于的三次函数 令 则的导函数 则当时， 所以上是递增函数 若，则 又 所以必有 因此由及数学归纳法易证对一切都有（证明过程略）。 （2）因为由（1）知 所以 所以 （3）因为且 所以 对一切恒成立，又由（2）的结论可知，数列是递增数列，所以只要即可满足条件，故存在正实数，使得不等式对一切恒成立。 （4）数列应用题化归到函数问题 例5. 在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？ 解：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为 其中 设 所以问题转化为研究最大值 因为当时 即 所以当时，单调递增，而当时，单调递减，因而当时，有最大值（可用计算器计算出）。由此人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出827元。 3. 数列含于函数中的问题 例6. 已知，数列满足，数列满足，试求最大项和最小项。 解：由题意知： 所以 又舍去 由 所以数列是公比为的等比数列 所以 令 它是关于的二次函数，图象的对称轴方程为，又当时，为减