分析不等式人教

2006年高考专题分析不等式不等式常州市新桥中学 高三备课组近几年高考加大了在知识交汇处命题的力度，单独解不等式或证明不等式的题目明显减少，不等式的题目更多的是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，而且充分体现出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用。不等式试题高考中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题。考试大纲要求：1、 理解不等式的性质及其证明2、 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用3、 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式4、 掌握简单不等式的解法5、 理解不等式 试题回顾：04年江苏高考：1.设集合P=1，2，3，4，Q=，则PQ等于 ( )(A)1，2 (B) 3，4 (C) 1 (D) -2，-1，0，1，213.二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是_.22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和 ， 其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和()证明，并且不存在，使得；()证明；()证明05年江苏高考：（13）命题“若ab，则2a2b1”的否命题为 .（15）函数的定义域为 .（23）（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立.命题热点分析：1、不等式的解法虽不是年年直考，但作为解决其他问题的工具，每年必考，故而是热点中的热点2、不等式的证明考试大纲将逻辑思维能力放到四大能力之首，代数推理在高考题中明显加强，将不等式的证明与函数、数列、解析几何等有机的融合与交汇是高考命题的一个显著热点3、不等式的应用主要体现在求定义域、最值、求字母取值范围、比较大小等上面，特别是实际应用问题中求最值本知识块中最主要的技能与方法：一、重视数学思想方法的复习1、在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解。例1、函数的定义域为 . 解析：由题意得：则由对数函数性质得：即求得函数的定义域为：。评述：本题综合考查了函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法等相关知识的综合运用。例2、已知函数f(t)=log2t, t,8 () 求f(t)的值域G； () 若对于G内的所有实数x，不等式-x2+2mx-m2+2m1恒成立，求实数m的取值范围.解：()f(t)=log2t在t,8上是单调递增的，log2log2tlog28.即f(t)3.f(t)的值域G为.()由题知x2+2mxm2+2m1在x上恒成立2mx+m22m+10在x上恒成立.令g(x)=x22mx+m22m+1,x.只需gmin(x)0即可.而g(x)=(xm)22m+1,x.(1)当m时，gmin(x)=g()=3m+m2+10.4m212m+50.解得m或.m (2)当m3时，gmin(x)=g(m)= 2m+10.解得m这与m3矛盾. (3)当m3时，gmin(x)=g(3)=10+m28m0.解得m4+或m4.而m3,m4.综上，实数m的取值范围是 (，4+，+).2、加强分类讨论思想的复习。在解不等式或证明不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论。复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。例3解关于x的 不等式：解：（i）若0，即1a0恒成立 原不等式的解集是x(ii)若，即a=+1，原不等式的解集是 若a=1时，原不等式的解集是(III)时，a1时，原不等式等价于x(xa+)( xa)0x|0x a+a1时，解为ax03、加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化。如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法。例4、已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和()证明，并且不存在，使得；()证明；()证明.解：（1）不妨设，由可知，是R上的增函数不存在，使得又（2）要证： 即证： 不妨设，由得，即，则 （1）由得即，则 （2）由（1）（2）可得（3）, 又由（2）中结论4、在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视。例3、已知abc，a+b+c=0。方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2证明：；若x12+x1x2+x22=1，求x12x1x2+x22求解：（1）abc，a+b+c=0, , a0，1 (2)(方法1) a+b+c=0 ax2+bx+c=0有一根为1，不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，而x2=x1x2=0(3c1+aman+2 因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证 5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2因为 =20m+20n-37,所以命题得证。评析：本题主要考查了等差数列的有关知识,不等式的证明方法,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。5、利用函数的单调性解决有关问题是近几年高考中的热点，应加强这方面的训练。二、强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键，因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免出现错误。 能力训练选择题：1（福建卷）不等式的解集是（ A ）ABCD2（福建卷）下列结论正确的是（ B ）A当BC的最小值为2D当无最大值3（湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”充要条件；“是无理数”是“a是无理数”的充要条件“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的个数是（ B ）A1B2C3D44. （辽宁卷）6若，则的取值范围是（ C ）ABCD5. （辽宁卷）在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则（ C ）ABCD6. (全国卷) 设，函数，则使的的取值范围是（B）（A）（B）（C）（D）7. （山东卷），下列不等式一定成立的是（ A ）（A）（B）（C）（D）8. （天津卷）9设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（A ）A B C D 9. （天津卷）已知 ，则A2b2a2cB2a2b2c C2c2b2a D2c2a2b10. (重庆卷)不等式组的解集为(C ) (A) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。11.(江西卷）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：0ba ab0 0ab ba0，都有解：（）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可