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第一讲 整式的恒等变形 【专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：（1）（2）（3）下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：1、 运用运算性质和法则 例1.设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z。 例2.已知，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y的值。 例3.若a、b、c都是自然数，且满足,且c-a=19，求d-b的值。2、 灵活应用乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 例4.计算 例5.已知整数a、b、（a-b）都不是3的倍数，试证是9的倍数。 例6.当 (1)bc+ca+ab; (2) 例7.试求。 例8.求证： 本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是“若a+b+c=0,则”和其逆命题。例如：设a、b、c为有理数，且a+b+c=0,.证明对于任何正奇数n，都有。3. 配方法配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。 例9.证明：当a、b取任意有理数时，多项式的值总是正数。 例10.若。 例11.已知a、b、c、d为四边形的四条边，且求证：此四边形是菱形。 例12.解方程。 例13.若a、b、c、d是整数，且，求证mn可以表示成两个整数的平方和。4、 应用因式分解应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。 例14.在三角形ABC中，（a、b、c是三角形的三条边），求证：a+c=2b。 例15.已知，试求(a-b)(b-c)(c-a)的值。 例16.已知，求适合等式的整数a、b、c的值。 例17.解方程。5、 代换法 所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就是其中的一种。 例18.已知a、b、c、d适合。求证：。 例19.证明： 例20.已知，求证x、y、z中至少有一个等于1。 例21.证明： 例22.设是x的一次式的完全立方式，求证3mr= 例23.已知。求证： 例24.设，证明： 例25.已知a、b、c两两不等，且满足关系式：。（1）求m的值；（2）求证：。 例26.证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式总取整
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