傅叶立变换和频域分析

4 0引言 第四章傅里叶变换和系统的频域分析 时域分析 以冲激函数为基本信号 任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和 而yf t h t f t 本章将以正弦信号和虚指数信号ej t为基本信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和 用于系统分析的独立变量是频率 故称为频域分析 频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析 首先讨论傅里叶变换 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的 这方面的问题也称为傅里叶分析 频域分析 将信号进行正交分解 即分解为三角函数或复指数函数的组合 频域分析将时间变量变换成频率变量 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系 从而导出了信号的频谱 带宽以及滤波 调制等重要概念 发展历史 1822年 法国数学家傅里叶 J Fourier 1768 1830 在研究热传导理论时发表了 热的分析理论 提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理 奠定了傅里叶级数的理论基础 泊松 Poisson 高斯 Guass 等人把这一成果应用到电学中去 得到广泛应用 19世纪末 人们制造出用于工程实际的电容器 进入20世纪以后 谐振电路 滤波器 正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 傅里叶变换法具有很多的优点 FFT 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力 4 1信号分解为正交函数 矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解 第四章傅里叶变换和系统的频域分析 一 矢量正交与正交分解 矢量正交的定义 矢量Vx vx1 vx2 vx3 与Vy vy1 vy2 vy3 的内积为0 即 正交矢量集 由两两正交的矢量组成的矢量集合 如三维空间中 以矢量vx 2 0 0 vy 0 2 0 vz 0 0 2 所组成的集合就是一个正交矢量集 矢量A 2 5 8 表示为A vx 2 5vy 4vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间 二 信号正交与正交函数集 1 信号正交 定义在 t1 t2 区间的 1 t 和 2 t 满足 两函数的内积为0 则称 1 t 和 2 t 在区间 t1 t2 内正交 2 正交函数集 若n个函数 1 t 2 t n t 构成一个函数集 这些函数在区间 t1 t2 内满足 则称此函数集为在区间 t1 t2 的正交函数集 3 完备正交函数集 如果在正交函数集 1 t 2 t n t 之外 不存在函数 t 0 满足 则称此函数集为完备正交函数集 例如 三角函数集 1 cos n t sin n t n 1 2 虚指数函数集 ejn t n 0 1 2 是两组典型的在区间 t0 t0 T T 2 上的完备正交函数集 i 1 2 n 三 信号的正交分解 设有n个函数 1 t 2 t n t 在区间 t1 t2 构成一个正交函数空间 将任一函数f t 用这n个正交函数的线性组合来近似 可表示为f t C1 1 C2 2 Cn n 如何选择各系数Cj使f t 与近似函数之间误差在区间 t1 t2 内为最小 通常使误差的方均值 称为均方误差 最小 均方误差为 为使上式最小 展开上式中的被积函数 并求导 上式中只有两项不为0 写为 即 所以系数 代入 得最小均方误差 推导过程见教材 在用正交函数去近似f t 时 所取得项数越多 即n越大 则均方误差越小 当n 时 为完备正交函数集 均方误差为零 此时有 上式称为 Parseval 巴塞瓦尔公式 表明 在区间 t1 t2 f t 所含能量恒等于f t 在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的之和 函数f t 可分解为无穷多项正交函数之和 小结 函数f t 可分解为无穷多项正交函数之和 巴塞瓦尔能量公式 4 2傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式波形的对称性与谐波特性傅里叶级数的指数形式周期信号的功率 Parseval等式 一 傅里叶级数的三角形式 1 三角函数集 在一个周期内是一个完备的正交函数集 由积分可知 cos n t sin n t n 0 1 2 2 级数形式 设周期信号f t 其周期为T 角频率 2 T 当满足狄里赫利 Dirichlet 条件时 它可分解为如下三角级数 称为f t 的傅里叶级数 系数an bn称为傅里叶系数 可见 an是n的偶函数 bn是n的奇函数 其他形式 式中 A0 a0 上式表明 周期信号可分解为直流和许多余弦分量 A0 2为直流分量A1cos t 1 称为基波或一次谐波 其角频率与原周期信号相同A2cos 2 t 2 称为二次谐波 其频率是基波的2倍一般而言 Ancos n t n 称为n次谐波 可见 An是n的偶函数 n是n的奇函数 an Ancos n bn Ansin n n 1 2 将上式同频率项合并 可写为 二 波形的对称性与谐波特性 1 f t 为偶函数 对称纵坐标 bn 0 展开为余弦级数 2 f t 为奇函数 对称于原点 an 0 展开为正弦级数 例 3 f t 为奇谐函数 f t f t T 2 此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量 而不含偶次谐波分量即a0 a2 b2 b4 0 4 f t 为偶谐函数 f t f t T 2 此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量 而不含奇次谐波分量即a1 a3 b1 b3 0 三 傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数 含义比较明确 但运算常感不便 因而经常采用指数形式的傅里叶级数 系数Fn称为复傅里叶系数 利用cosx ejx e jx 2可从三角形式推出 推导 虚指数函数集 ejn t n 0 1 2 傅里叶系数之间关系 n的偶函数 an An Fn n的奇函数 bn n 四 周期信号的功率 Parseval等式 直流和n次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和 n 0时 Fn An 2 周期信号一般是功率信号 其平均功率为 这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现 证明 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 直流 基波 二次谐波 解 指数形式付氏级数推导 上式中第三项的n用 n代换 A n An n n 则上式写为 令A0 A0ej 0ej0 t 0 0 所以 令复数 n 0 1 2 表明 任意周期信号f t 可分解为许多不同频率的虚指数信号之和 F0 A0 2为直流分量 周期信号功率式证明 对于三角函数形式的傅里叶级数 平均功率 对于指数形式的傅里叶级数 总平均功率 直流 各次谐波的平均功率之和 狄里赫利 Dirichlet 条件 条件3 在一周期内 信号绝对可积 条件2 在一周期内 极大值和极小值的数目应是有限个 条件1 在一周期内 如果有间断点存在 则间断点的数目应是有限个 例2 例1 例3 例1 不满足条件1的例子如下图所示 这个信号的周期为8 它是这样组成的 后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半 可见在一个周期内它的面积不会超过8 但不连续点的数目是无穷多个 例2 不满足条件2的一个函数是 对此函数 其周期为1 有 例3 周期信号 周期为1 不满足此条件 4 3周期信号的频谱 信号频谱的概念周期信号频谱的特点频带宽度 一 信号频谱的概念 从广义上说 信号的某种特征量随信号频率变化的关系 称为信号的频谱 所画出的图形称为信号的频谱图 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值 相位随频率的变化关系 即将An 和 n 的关系分别画在以 为横轴的平面上得到的两个图 分别称为振幅频谱图和相位频谱图 因为n 0 所以称这种频谱为单边谱 也可画 Fn 和 n 的关系 称为双边谱 若Fn为实数 也可直接画Fn 图示 频谱概念演示 频谱概念演示 既是奇函数又是奇谐函数 例1 例2 对于双边频谱 负频率 只有数学意义 而无物理意义 为什么引入负频率 f t 是实函数 分解成虚指数 必须有共轭对ejn 和e jn 才能保证f t 的实函数的性质不变 二 周期信号频谱的特点 举例 有一幅度为1 脉冲宽度为 的周期矩形脉冲 其周期为T 如图所示 求频谱 令Sa x sin x x 取样函数 n 0 1 2 1 包络线形状 抽样函数 3 离散谱 谐波性 周期信号频谱的特点 谱线的结构与波形参数的关系T一定 变小 此时 谱线间隔 不变 两零点之间的谱线数目 1 2 2 T T 增多 一定 T增大 间隔 减小 频谱变密 幅度减小 如果周期T无限增长 这时就成为非周期信号 那么 谱线间隔将趋近于零 周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱 各频率分量的幅度也趋近于无穷小 1 周期信号的频谱具有谐波 离散 性 谱线位置是基频 的整数倍 2 一般具有收敛性 总趋势减小 三 频带宽度 1 问题提出 第一个零点集中了信号绝大部分能量 平均功率 由频谱的收敛性可知 信号的功率集中在低频段 周期矩形脉冲信号的功率 而总功率 二者比值 2 频带宽度 在满足一定失真条件下 信号可以用某段频率范围的信号来表示 此频率范围称为频带宽度 对于一般周期信号 将幅度下降为0 1 Fn max的频率区间定义为频带宽度 语音信号频率大约为300 3400Hz 音乐信号50 15 000Hz 扩音器与扬声器有效带宽约为15 20 000Hz 3 系统的通频带 信号的带宽 才能不失真 频谱图示 单边 幅度频谱 相位频谱 离散谱 谱线 单边频谱图例 例 周期信号f t 试求该周期信号的基波周期T 基波角频率 画出它的单边频谱图 并求f t 的平均功率P 解首先应用三角公式改写f t 的表达式 即 显然1是该信号的直流分量 的周期T1 8 的周期T2 6 所以f t 的周期T 24 基波角频率 2 T 12 是f t 的 4 12 3次谐波分量 是f t 的 3 12 4次谐波分量 画出f t 的单边振幅频谱图 相位频谱图如图 例2 请画出其幅度谱和相位谱 解 化为余弦形式 单边频谱图 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 双边频谱图 整理 4 4非周期信号的频谱 傅里叶变换常用函数的傅里叶变换 一 傅里叶变换 周期信号 非周期信号 连续谱 幅度无限小 离散谱 1 引出 0 再用Fn表示频谱就不合适了 虽然各频谱幅度无限小 但相对大小仍有区别 引入频谱密度函数 令 0 单位频率上的频谱 称为频谱密度函数 考虑到 T 无穷小 记为d n 由离散量变为连续量 而 同时 于是 傅里叶变换式 傅里叶反变换式 F j 称为f t 的傅里叶变换或频谱密度函数 简称频谱 f t 称为F j 的傅里叶反变换或原函数 由傅里叶级数 也可简记为 f t F j F j 一般是复函数 写为F j F j ej R jX 说明 1 前面推导并未遵循严格的数学步骤 可证明 函数f t 傅里叶变换存在的充分条件 2 用下列关系还可方便计算一些积分 或F j F f t f t F 1 F j 二 常用函数的傅里叶变换 1 矩形脉冲 门函数 记为g t 频谱图 幅度频谱 相位频谱 频宽 2 单边指数函数 f t e t t 0 频谱图 幅度频谱 相位频谱 3 双边指数函数 f t e t 0 4 冲激函数 t t 5 直流信号1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件 如1 t 等 但傅里叶变换却存在 直接用定义式不好求解 可构造一函数序列 fn t 逼近f t 即 而fn t 满足绝对可积条件 并且 fn t 的傅里叶变换所形成的序列 Fn j 是极限收敛的 则可定义f t 的傅里叶变换F j 为 这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换 讨论 推导1 2 构造f t e t 0 所以 又 因此 1 2 求F 1 另一种方法 将 t 1代入反变换定义式 有 将 t t 有 再根据傅里叶变换定义式 得 6 符号函数 不满足绝对可积条件 频谱图 7 阶跃函数 归纳记忆 1 F变换对 2 常用函数F变换对 t t e t t g t sgn t e t 1 1 2 4 5傅里叶变换的性质 线性奇偶性对称性尺度变换时移特性 频移特性卷积定理时域微分和积分频域微分和积分相关定理 一 线性性质 LinearProperty Iff1 t F1 j f2 t F2 j then af1 t bf2 t aF1 j bF2 j Proof F af1 t bf2 t aF1 j bF2 j Example 二 奇偶虚实性 Parity Iff t isrealfunction and f t F j F j ej R jX then R R X X F j F j f t F j F j Iff t f t thenX 0 F j R Iff t f t thenR 0 F j jX Proof 三 对称性 SymmetricalProperty Iff t F j then Proof 1 in 1 t tthen 2 in 2 then F jt 2 f end F jt 2 f Example 练习 四 尺度变换性质 ScalingTransformProperty Iff t F j then where a isanonzerorealconstant Proof Also lettinga 1 f t F j Example 1 意义 五 时移特性 TimeshiftingProperty Iff t F j then where t0 isrealconstant Proof F f t t0 Example1 Example2 Example3 六 频移性质 FrequencyShiftingProperty Iff t F j then Proof where 0 isrealconstant F ej 0tf t F j 0 end Forexample1 f t ej3t F j Ans 1 2 ej3t 1 2 3 Example2 七 卷积性质 ConvolutionProperty Convolutionintimedomain Iff1 t F1 j f2 t F2 j Thenf1 t f2 t F1 j F2 j Convolutioninfrequencydomain Iff1 t F1 j f2 t F2 j Thenf1 t f2 t F1 j F2 j Proof Example 八 时域的微分和积分 DifferentiationandIntegrationintimedomain Iff t F j then Proof f n t n t f t j nF j f 1 t t f t Example1 Example2 Example3 九 频域的微分和积分 DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain Iff t F j then jt nf t F n j where Example1 Example2 十 相关定理 Correlationtheorem Iff1 t F1 j f2 t F2 j f t F j thenF R12 F1 j F2 j F R21 F1 j F2 j F R F j 2 Proof 尺度变换意义 1 0 a 1时域扩展 频带压缩 脉冲持续时间增加a倍 变化慢了 信号在频域的频带压缩a倍 高频分量减少 幅度上升a倍 2 a 1时域压缩 频域扩展a倍 3 a 1时域反转 频域也反转 持续时间短 变化快 信号在频域高频分量增加 频带展宽 各分量的幅度下降a倍 尺度变换证明 Proof F f at Fora 0 F f at fora 0 F f at Thatis f at 尺度变换例1 Forexample1 f t F j Ans Usingsymmetry sothat 对称性举例 Forexample F j Ans if 1 卷积定理举例 Forexample Ans Usingsymmetry 频移 调制 特性例 已知矩形调幅信号 解 因为 频域微分积分特性例1 Forexample1 Determinef t t t F j Ans Notice t t t t It swrong Because and 1 j isnotdefined Summary Iff n t Fn j andf f 0thenf t F j Fn j j n 频域微分积分特性例2 Forexample2 Determine Ans Summary Iff n t Fn j andf f 0thenf t F j Fn j j n 奇偶虚实性证明 设f t 是实函数 为虚函数或复函数情况相似 略 显然 时移尺度举例 Forexample1 Giventhatf t F j findf at b Ans f t b e j bF j f at b or f at f at b 时移特性举例 ForexampleF j Ans f1 t g6 t 5 f2 t g2 t 5 g6 t 5 g2 t 5 F j 时移举例3 求图 a 所示三脉冲信号的频谱 解 因为 脉冲个数增多 频谱包络不变 带宽不变 时域卷积定理的证明 F f1 t f2 t Sothat Interchangingtheorderofintegration Usingtimeshifting f1 t f2 t F1 j F2 j 时域微分积分特性例2 f t 1 t2 Forexample1 Ans 时域微分积分特性例3 Forexample3 Determinef t F j Ans f t t 2 2 t t 2 F2 j F f t ej2 2 e j2 2cos 2 2 F j Notice d t dt t 1 t 1 j Summary Iff n t Fn j andf f 0thenf t F j Fn j j n 线性性质例 ForexampleF j Ans f t f1 t g2 t f1 t 1 2 g2 t 2Sa F j 2 2Sa 时域微分特性例1 f t 1 t2 Forexample1 Ans 相关定理证明 利用相关函数与卷积积分的关系R12 f1 f2 F R12 F f1 f2 F f1 F f2 由于F f2 F2 j F2 j 故F R12 F1 j F2 j 4 6能量谱和功率谱 帕斯瓦尔关系Parseval sRelation能量谱功率谱能量谱和功率谱分析 一 帕塞瓦尔关系Parseval sRelation Example Proof 二 能量谱密度 能量谱 定义 能量谱指单位频率的信号能量 记为E 在频带df内信号的能量为E df 因而信号在整个频率范围的总能量 由帕塞瓦尔关系可得 E F j 2 R E 能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对 三 功率谱 是功率有限信号 定义 功率谱指单位频率的信号功率 记为P 在频带df内信号的功率为P df 因而信号在整个频率范围的总功率 P 因此 R P 功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换 维纳 欣钦关系式 例1 例2 四 能量谱和功率谱分析 时域 频域 因此 显然 物理意义 响应的能谱等于激励的能谱与 H j 2的乘积 同样 对功率信号有 Py H j 2Pf 例 功率谱例1 求余弦信号 的自相关函数和功率谱 解 对此功率有限信号 由自相关函数的定义 有 求功率谱 因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换 所以功率谱为 P 功率谱例2 白噪声 其功率谱密度为PN N 常量 解 利用维纳 欣钦关系式 得自相关函数 由于白噪声的功率谱密度为常数 所以白噪声的自相关函数为冲激函数 表明白噪声在各时刻的取值杂乱无章 没有任何相关性 求自相关函数 求功率谱 因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换 所以功率谱为 P 帕塞瓦尔能量关系例 Forexample Determinetheenergyof Ans 证明方法二 由相关定理知 所以 又能量有限信号的自相关函数是 因此 得 帕塞瓦尔能量关系证明 证法一 证法二 证明方法二 由相关定理知 所以 又能量有限信号的自相关函数是 因此 得 功率谱分析例 解 系统函数为 输出功率谱 自相关函数 考虑到 由 得 平均功率 周期信号傅氏变换例2 例2 周期信号如图 求其傅里叶变换 解 周期信号f t 也可看作一时限非周期信号f0 t 的周期拓展 即 f t T t f0 t F j F0 j F j 本题f0 t g2 t 自相关函数 考虑到 由 得 平均功率 频域分析例1 例 某LTI系统的 H j 和 如图 若f t 2 4cos 5t 4cos 10t 求系统的响应 解法一 用傅里叶变换 F j 4 4 5 5 4 10 10 Y j F j H j 4 H 0 4 5 H j5 5 H j5 4 10 H j10 10 H j10 H j H j ej 4 4 j0 5 5 j0 5 5 y t F 1 Y j 2 sin 5t 自相关函数 考虑到 由 得 平均功率 无失真例 例 系统的幅频特性 H j 和相频特性如图 a b 所示 则下列信号通过该系统时 不产生失真的是 A f t cos t cos 8t B f t sin 2t sin 4t C f t sin 2t sin 4t D f t cos2 4t 频率响应例2 例 如图电路 R 1 C 1F 以uC t 为输出 求其h t 若uS t 2cos t 求uC t 解 画电路频域模型 h t e t t 由于 解法二 用三角傅里叶级数 f t 的基波角频率 5rad s f t 2 4cos t 4cos 2 t H 0 1 H j 0 5e j0 5 H j2 0 y t 2 4 0 5cos t 0 5 2 2sin 5t 频率响应例1 例1 某系统的微分方程为y t 2y t f t 求f t e t t 时的响应y t 解 微分方程两边取傅里叶变换 j Y j 2Y j F j f t e t t Y j H j F j y t e t e 2t t 解法二 用三角傅里叶级数 f t 的基波角频率 5rad s f t 2 4cos t 4cos 2 t H 0 1 H j 0 5e j0 5 H j2 0 y t 2 4 0 5cos t 0 5 2 2sin 5t 4 9取样定理 信号的取样取样定理 取样定理论述了在一定条件下 一个连续信号完全可以用离散样本值表示 这些样本值包含了该连续信号的全部信息 利用这些样本值可以恢复原信号 可以说 取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 为其互为转换提供了理论依据 一 信号的取样 所谓 取样 就是利用取样脉冲序列s t 从连续信号f t 中 抽取 一系列离散样本值的过程 这样得到的离散信号称为取样信号fs t 它是对信号进行数字处理的第一个环节 脉冲序列 取样原理图 需要解决的问题 Fs j 与F j 的关系 由fs t 能否恢复f t 1 理想取样 周期单位冲激取样 f t F j m m s t S j fs t Fs j 2 冲激取样信号的频谱 TS取样间隔 S取样角频率 画fS t 的频谱时 设定 S 2 m 这时其频谱不发生混叠 因此能设法 如利用低通滤波器 从FS j 中取出F j 即从fS t 中恢复原信号f t 否则将发生混叠 二 时域取样定理 一个频谱在区间 m m 以外为0的带限信号f t 可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts 1 2fm 上的样点值f nTs 确定 恢复 奈奎斯特 Nyquist 频率和间隔 注意 为恢复原信号 必须满足两个条件 1 f t 必须是带限信号 2 取样频率不能太低 必须fs 2fm 或者说 取样间隔不能太大 必须Ts 1 2fm 否则将发生混叠 通常把最低允许的取样频率fs 2fm称为奈奎斯特 Nyquist 频率 把最大允许的取样间隔Ts 1 2fm 称为奈奎斯特间隔 频域取样定理 根据时域与频域的对偶性 可推出频域取样定理 一个在时域区间 tm tm 以外为0的时限信号f t 的频谱函数F j 可唯一地由其在均匀频率间隔fs fs 1 2tm 上的样值点F jn s 确定 由取样信号恢复原信号 理想低通滤波器 滤除高频成分 即可恢复原信号 从时域运算解释 时域运算 以理想抽样为例 理想低通滤波器 说明 连续信号f t 可以展开成Sa函数的无穷级数 级数的系数等于取样值f nTs 也可以说在取样信号fs t 的每个取样值上画一个峰值为f nTs 的Sa函数波形 由此合成的信号就是fs t 4 10序列的傅里叶分析 周期序列的离散傅里叶级数 DFS 非周期序列的离散时间傅里叶变换 DTFT 四种傅里叶变换的特点和关系 将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号称为序列的傅里叶分析 一 周期序列的离散傅里叶级数 DFS 周期序列记为fN k N为周期 数字角频率为 由于也是周期为N的序列 即 由于也是周期为N的序列 即 则fN k 可展开为 推导 注意 ejk是周期为2 的周期函数 DFS定义 令 则 FN n 称为离散傅里叶系数 称为周期序列的离散傅里叶级数 DiscreteFourierSeries DFS 令则 离散傅里叶级数变换对 注意 fN k 只有N个谐波分量 例 二 非周期序列的离散时间傅里叶变换 DTFT 周期序列fN k 非周期序列f k 连续谱 离散谱 1 引出 0 定义非周期序列f k 的离散时间傅里叶变换 DiscreteTimeFourierTransform DTFT 为 逆变换的导出 fN k f k 由于n的取值周期为N 2 n N的周期为2 非周期序列的离散时间傅里叶逆变换 表示 说明 F ej 是 的连续周期函数 周期为2 DTFT存在的充分条件是f k 满足绝对可和 即 例 三 四种傅里叶变换的特点和关系 一般说来 在一个域中为连续的表示 在另一个域中就是非周期性的表示 与此对比 在一个域中为离散的表示 在另一个域中就是周期性的表示 关系 fT t 的傅里叶级数 CFS 与f t 的傅里叶变换 CTFT 的关系 f t 为剪裁fT t 主周期得到的非周期信号 fN k 的离散傅里叶级数 DFS 与f k 的离散时间傅里叶变换 DTFT 的关系 FN n F ej F ej FN n f k 为剪裁fN k 主周期得到的非周期序列 离散傅里叶级数例 例求图所示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式 解周期N 4 2 N 2 求和范围取为 0 3 fN k 2 1 j1 ej0 5 k 1 j1 ej1 5 k 4 0 5 1 cos 0 5 k sin 0 5 k 离散傅里叶系数推导 两端同乘e jm k 并在一个周期求和 有 上式右端对k求和时 仅当n m时为非零且等于N 故上式可写为 DTFT举例 例 求下列序列的离散时间傅里叶变换 解F1 ej DTFT f1 k 4 11离散傅里叶变换及其性质 离散傅里叶变换DFTDFT与DTFT DFS的关系DFT的性质 离散信号分析和处理主要手段是利用计算机去实现 然而序列f k 的离散时间傅里叶变换F ej 是 的连续函数 为便于计算机去实现 引入离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 一 离散傅里叶变换 DFT 借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT 将有限长序列f k 延拓成周期为N的周期序列fN k 若将f k F n 分别理解为fN k FN n 的主值序列 那么 DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同 例 二 D