27.2.3相似三角形的性质（3）.ppt

相似三角形的证明 回顾 一 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应中线的比 对应角平分线的比 对应高的比 对应周长的比都等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 二 相似三角形的判定方法 定理1两角对应相等的两个三角形相似 推论1平行于三角形一边直线截其它两边 或其延长线 所截得的三角形与原三角形相似 定理2三边对应成比例的两个三角形相似 定理3两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似 定理4斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 1 abc中 bac是直角 过斜边中点m而垂直于斜边bc的直线交ca的延长线于e 交ab于d 连am 求证 mad mea 分析 已知中与线段有关的条件仅有am bc 2 bm mc 所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似 证明 bac 90 m为斜边bc中点 am bm bc 2 b mad又 b bdm 90 e ade 90 bdm ade b e mad e又 dma ame mad mea 运用 1 abc中 bac是直角 过斜边中点m而垂直于斜边bc的直线交ca的延长线于e 交ab于d 连am 求证 am2 md me 分析 am是 mad与 mea的公共边 故是对应边md me的比例中项 mad mea 即am2 md me am md me am 思考 证明等积式的一般方法是什么 运用 运用 2 如图 ab cd ao ob df fb df交ac于e 求证 ed2 eo ec 分析 欲证ed2 eo ec 即证 只需证de eo ec所在的三角形相似 运用 3 过 abcd的一个顶点a作一直线分别交对角线bd 边bc 边dc的延长线于e f g 求证 ea2 ef eg 分析 要证明ea2 ef eg 即证明成立 而ea eg ef三条线段在同一直线上 无法构成两个三角形 此时应采用换线段 换比例的方法 可证明 aed feb aeb ged 4 已知在 abc中 bac 90 ad bc e是ac的中点 ed交ab的延长线于f 求证 ab ac df af 分析 因 abc abd 所以要证即证 需证 bdf daf 证明 bac 90 ad bc abc c 90 abc bad 90 bad c adc 90 e是ac的中点 ed ec edc c edc bdf bdf c bad又 f f bdf daf bac 90 ad bc abc abd 运用 5 d为 abc的底边bc的延长线上一点 直线df交ac于e 且 fea afe 求证 bd ce cd bf f e d c b a 由bd ce cd bf 得 分析 但 dbf与 dce不相似 因此 需作辅助线构造相似三角形 运用 5 d为 abc的底边bc的延长线上一点 直线df交ac于e 且 fea afe 求证 bd ce cd bf f e d c b a g 方法一 过点c作cg ab 交df于g 则 dcg dbf 故 再证cg ce即可 运用 f e d c b a g 方法二 过点c作cg df 交ab于g 故 再证fg ce即可 5 d为 abc的底边bc的延长线上一点 直线df交ac于e 且 fea afe 求证bd ce cd bf 运用 f e d c b a g 5 d为 abc的底边bc的延长线上一点 直线df交ac于e 且 fea af 求证 bd ce cd bf 方法三 过点b作bg df 交df的延长线于g 故 再证bg bf即可 则 dce dbg 运用 6 如图 已知 abc中 ad平分 bac ef是ad的中垂线 ef交bc的延长线于f 求证 fd2 fc fb f e d c b a 分析 由fd2 fc fb 得 但fd fc fb都在同一直线上 无法利用相似三角形 由于fd fa 替换后可形成相似三角形 只要证 fab fca即可 运用 7 已知 ab cd ef 1 图中有几对相似的三角形 2 线段ab cd与ef有怎样的等量关系 证比例式 或乘积式 的常用方法 证明乘积式时 可先将乘积式改为比例