12教案61 二项式定理

12教案61 二项式定理 1第61课时二项式定理姓名.【知识回顾】1.二项式定理(ab)n这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C rn(r0，1，2，?，n)叫做第r1项的二项式系数式中的C rn a nr br叫做二项式展开式的第r1项(通项)，用T r1表示，即展开式的第r1项；T r1C rn a nr br2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n1n，C nn.3.二项式系数的性质 (1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 (2)如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 (3)二项式系数的和等于2n，即C0nC1n?C nn2n (4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0nC2n?C1nC3n?2n【基础训练】1.在?2x21x5的二项展开式中，x的系数为_2.?x12x8的展开式中常数项为_3.若(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a_4.若(xa)8a0a1xa2x2?a8x8，且a556，则a0a1a2?a8_.5.在二项式?x3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则n_.【典例体验】题型1二项式展开式的特定项例1如果?x21x3n的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等， (1)求展开式的中间项； (2)求?x124xn1展开式中所有的有理项2题型2二项式系数例2设函数f(x，y)?1myx(m0，y0) (1)当m3时，求f(6，y)的展开式中二项式系数最大的项； (2)若f(4，y)a0a1ya2y2a3y3a4y4且a332，求41iia?.变题已知?x12n的展开式中前三项的系数成等差数列设?x12na0a1xa2x2?anx n.求 (1)a5的值； (2)a0a1a2a3?(1)n an的值； (3)a i(i0，1，2，?，n)的最大值3第61课时二项式定理作业姓名.1.(x22)?1x215的展开式的常数项是_2.若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2?a5(1x)5,其中a 0、a 1、a 2、?、a5为实数，则a3_3.若n是奇数，则7nC1n7n1C2n7n2?C n1n7被9除的余数是_4.?x13x18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)5.已知f n(x)(1x)n. (1)若fxx(x)a0a1x?axxxxx，求a1a3?axxaxx的值； (2)若g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，求g(x)中含x6的项的系数；6.若二项式?23xxn的展开式中的常数项为第五项求 (1)n的值； (2)展开式中系数最大的项47.已知等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2?a9(x1)9a10(x1)10，其中a i(i0，1，2，?，10)为实常数求 (1)101iia?； (2)101iiia?.8. (1)当kN*时，求证(13)k(13)k是正整数； (2)试证明大于(13)2n的最小整数能被2n1整除(nN*)5第61课时二项式定理姓名.【知识回顾】1.二项式定理(ab)nC0n anC1n an1b?C rn anr br?C nnbn(nN)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C rn(r0，1，2，?，n)叫做第r1项的二项式系数式中的C rn anr br叫做二项式展开式的第r1项(通项)，用T r1表示，即展开式的第r1项；T r1C rn anr br2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n1n，C nn.3.二项式系数的性质 (1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 (2)如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 (3)二项式系数的和等于2n，即C0nC1n?C nn2n (4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0nC2n?C1nC3n?2n【基础训练】1.(xx天津理)在?2x21x5的二项展开式中，x的系数为_答案40解析二项展开式的通项为T k1C k5(2x2)5k?1xkC k525k x103k(1)k，令103k1，解得k3，所以T4C3522x(1)340x，所以x的系数为40.2.(xx重庆理)?x12x8的展开式中常数项为_答案358解析二项展开式的通项为T k1C k8(x)8k?12xk?12kC k8x4k，令4k0，解得k4，所以T5?124C48358.3.(xx福建理)若(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a_答案2解析二项展开式的通项为T r1C r4a4r xr，含有x3的项为T4C34ax38x3，所以a2.4.(选修23P35习题12改编)若(xa)8a0a1xa2x2?a8x8，且a556，则a0a1a26?a8_.答案256解析由a5C38(a)356，得a1.所以a0a1a2?a8(11)8256.5.(xx上海理)在二项式?x3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则n_.答案3解析A4n，B2n，故4n2n72，解得n3.【典例体验】题型1二项式展开式的特定项例1如果?x21x3n的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等， (1)求展开式的中间项； (2)求?x124xn1展开式中所有的有理项解 (1)?x21x3n展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C3n，C6n，由C3nC6n，得n9，所以?x21x39展开式的中间项为第5项和第6项，即T5(1)4C49(x3)4(x2)5126x2，T6(1)5C59(x3)5(x2)4126x7. (2)通项为T r1C r8(x)8r?124xr?12rC r8x163r4(r0，1，2，?，8)，为使T r1为有理项，必须r是4的倍数，所以r0，4，8，共有三个有理项，分别是T1?120C08x4x4，T5?124C48x358x，T9?128C88x21256x2.题型2二项式系数例2设函数f(x，y)?1myx(m0，y0) (1)当m3时，求f(6，y)的展开式中二项式系数最大的项； (2)若f(4，y)a0a1ya2y2a3y3a4y4且a332，求41iia?.解 (1)展开式中二项式系数最大的项是第4项C36?3y3540y3.7 (2)f(4，y)a0a1ya2y2a3y3a4y4?1my4，a3C34m332m2，?121481.变式训练已知?x12n的展开式中前三项的系数成等差数列设?x12na0a1xa2x2?anx n.求 (1)a5的值； (2)a0a1a2a3?(1)nan的值； (3)a i(i0，1，2，?，n)的最大值解 (1)由题设，得C0n14C2n212C1n，即n29n80，解得n8，n1(舍)T r1C r8x8r?12r，令8r5r3，所以a57. (2)在等式的两边取x1，得a0a1a2a3?a81256. (3)设第r1的系数最大，则?12r Cr812r1C r18，12r Cr812r1C r18，即?18r12（r1），12r19r，解得r2或r3.所以a i系数最大值为7.1.(xx安徽理)(x22)?1x215的展开式的常数项是_8答案3解析第一个因式取x2，第二个因式取1x2，得1C15(1)45；第一个因式取2，第二个因式取(1)5，得2(1)52.则展开式的常数项是5(2)3.2.(xx浙江理)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2?a5(1x)5,其中a 0、a 1、a 2、?、a5为实数，则a3_答案10解析解法1由等式两边对应项系数相等即?a51，C45a5a40，C35a5C14a4a30a310.解法2对等式f(x)x5a0a1(1x)a2(1x)2?a5(1x)5两边连续对x求导三次，得60x26a324a4(1x)60a5(1x)2，再运用赋值法，令x1得606a3，即a310.3.若n是奇数，则7nC1n7n1C2n7n2?C n1n7被9除的余数是_答案7解析原式(71)n1(91)n19k29k7(k和k均为正整数)4.(xx湖北)?x13x18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)答案17解析二项展开式的通项为T r1C r18x18r?13xr()1r?13rC r18x1832r.令1832r15，解得r2.所以展开式中含x15的项的系数为()12?132C21817.5.已知f n(x)(1x)n. (1)若fxx(x)a0a1x?axxxxx，求a1a3?axxaxx的值； (2)若g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，求g(x)中含x6的项的系数； (1)解因为f n(x)(1x)n，所以fxx(x)(1x)xx.又fxx(x)a0a1x?axxxxx，所以fxx (1)a0a1?axx2xx，fxx(1)a0a1?axxaxx0，由得2(a1a3?axxaxx)2xx，所以a1a3?axxaxx2xx. (2)解因为g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，所以g(x)(1x)62(1x)73(1x)8，g(x)中含x6的项的系数为12C673C6899.96.若二项式?23xxn的展开式中的常数项为第五项求 (1)n的值； (2)展开式中系数最大的项解 (1)T r1C rn?23xnr()xr，x的指数为nr3r2，?23xxn的展开式中的常数项为第五项，r4，解得n10. (2)T r1C r10?23x10r()xr，其系数为Cr10210r.设第k1项的系数最大，则?C k10210kC k11029k，C k10210kC k110211k，化简得?2（k1）10k，11k2k，解得83k113，k3.即第四项系数最大，T4C31027x5615360x56.7.已知等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2?a9(x1)9a10(x1)10，其中a i(i0，1，2，?，10)为实常数求 (1)101iia?； (2)101iiia?.108.(xx苏锡常镇四市高三调研测试 (一) (1)当kN*时，求证(13)k(13)k是正整数； (2)试证明大于(13)2n的最小整数能被2n1整除(nN*)证明 (1)()13k1C1k3C2k (3)2?C kk (3)k，(13