27[1]. 圆锥曲线 专项训练

第二章 圆锥曲线 专项训练(3)椭 圆【例题精选】：例1 求下列椭圆的标准方程：（1）与椭圆有相同焦点，过点；（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t；（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为。（4）准线方程为（5）解：（1）设所求椭圆的标准方程为小结：设标准方程时，要根据已知条件，上题已很明确的知道焦点在x轴上，所以长轴a要与x对应。解：（2）设椭圆的标准方程为解：（3）设椭圆的标准方程为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点构成了等边三角形解：（4）消去解：（5）设椭圆标准方程为例2 已知椭圆的焦点为为准线方程。（1）求椭圆的标准方程；（2）设点P在这个椭圆上，且，求：的值。解：（1）设椭圆的标准方程为（2）根据椭圆定义又例3 已知：椭圆上的三个点成等差数列。求证：到焦点F2的距离也成等差数列。证明：可考虑用椭圆的第二定义。设椭圆的一条准线方程为到准线 的距离为则根据椭圆的第二定义： 小结：这道例题主要是对椭圆第二定义的应用，同时若是椭圆上任一点，是椭圆的左、右焦点，则叫做椭圆的焦半径。例4 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的求：椭圆的离心率。解：设椭圆方程为小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。例5 已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。解：小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。例6 在面积为1的建立适当的坐标系，求以 为焦点且过点P的椭圆方程。解：以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设以M、N为左右焦点且过点P的方程为，又设 小结：这道题的综合能力比较强，需运用多方面的知识，如果能建立比较合适的直角坐标系，使图形与方程有机的结合起来，是可以找到解题的思路的。关键是把所求分为两个阶段，先解出C来，再用椭圆定义求出2a，并写出椭圆方程。把一个复杂的问题转化解为几个解题阶段，是解析几何考查的重点。例7 已知是椭圆在第一象限内部分上的一点，求面积的最大值。解：过A、B的直线方程是小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。【专项训练】：一、填空：1、椭圆的中心在原点，有一个焦点，它的离心率是方程的一个根，椭圆的方程是；2、若椭圆则实数k的值是；3、过椭圆作直线交椭圆于A、B二点，F2是此椭圆的另一焦点，则的周长为；4、椭圆上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是；二、选择题：1、椭圆的准线方程是ABCD2、椭圆上的一点P到它的右准线的距离是10，那么P点到它的左焦点的距离是A14B12C10D83、的曲线为椭圆时的A充分条件B必要条件C充分必要条件D 非充分非必要条件4、椭圆的左右焦点为F1、F2，一个圆的圆心在F2且该圆过椭圆的中心交椭圆于P点，直线PF1是圆的切线，则椭圆的离心率为ABCD三、已知椭圆上一点，又点Q在OP上且满足上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。【答 案】：一、1、2、。提示：由基本量求方程要注意其解是否唯一。3、244、二、1、C2、B3、B4、A三、解：设点的坐标分别为由题设将（1）（2）（3）式代入上式，整理得点Q的方程为为中心，长、短半轴长分别为，且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点。注意：目标是消去*式中的