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高中数学人教版选修2 2第一章第四节 微积分基本定理 积分上限 积分下限 复习 1 定积分是怎样定义 定积分的简单性质 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 复习 2 定积分的几何意义是什么 复习引入 定积分的几何意义的应用 8 微积分基本定理 在爬山路线的每一点 x f x 山坡的斜率为f x 将区间 a b n等分 记 x 我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在切线的斜率的关系 即f xk 1 f xk f xk x 这样 我们得到了一系列近似等式 h1 f a x f a f a x h2 f a 2 x f a x f a x x h3 f a 3 x f a 2 x f a 2 x x hn 1 f a n 1 x a n 2 x f a n 2 x x hn f b f a n 1 x f a n 1 x x 微积分基本定理 如果f x f x 且f x 在 a b 上可积 则 其中f x 叫做f x 的一个原函数 由于 f x c f x f x c也是f x 的原函数 其中c为常数 一般地 原函数在 a b 上的改变量f b f a 简记作f x 因此微积分基本定理可以写成形式 微积分基本定理 设函数f x 在区间 a b 上连续 并且f x f x 则 这个结论叫微积分基本定理 fundamentaltheoremofcalculus 又叫牛顿 莱布尼茨公式 newton leibnizformula 莱布尼兹 莱布尼兹 德国数学家 哲学家 和牛顿同为微积分的创始人 1646年7月1日生于莱比锡 1716年11月14日卒于德国的汉诺威 他父亲是莱比锡大学伦理学教授 家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣 1661年入莱比锡大学学习法律 又曾到耶拿大学学习几何 1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位 他当时写的论文 论组合的技巧 已含有数理逻辑的早期思想 后来的工作使他成为数理逻辑的创始人 1667年他投身外交界 曾到欧洲各国游历 1676年到汉诺威 任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长 并常居汉诺威 直到去世 莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比 他的著作包括数学 历史 语言 生物 地质 机械 物理 法律 外交等各个方面 返回 微积分基本定理 设函数f x 在区间 a b 上连续 并且f x f x 则 说明 牛顿 莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法 即求定积分的值 只要求出被积函数f x 的一个原函数f x 然后计算原函数在区间 a b 上的增量f b f a 即可 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题 例1
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