人教A版选修22 1.1.3　导数的几何意义 课件（32张）.pptx

1 1 3导数的几何意义 1 了解导函数的概念 理解导数的几何意义 2 会求导函数 3 根据导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 1 导数的几何意义 1 切线 如图 当点pn xn f xn n 1 2 3 4 沿着曲线f x 趋近于点p x0 f x0 时 割线ppn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线pt称为点p处的切线 显然 割线ppn的斜率是kn 0 0 当点 无限趋近于点 时 无限趋近于切线 的斜率 2 几何意义 函数y f x 在x x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 也就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线斜率k lim 0f x0 x f x0 x 0 相应地 切线方程为 0 0 0 名师点拨如图 函数f x 在区间 x0 x0 x 上的平均变化率的几何意义是割线pq的斜率 当点q沿曲线y f x 趋近于点p时 即 x趋近于0 割线pq绕点p转动 它的最终位置为曲线在点p处的切线位置 直线pt 即k f x0 lim 0f x0 x f x0 x 因此 函数y f x 在x x0处的导数 就是曲线y f x 在x x0处的切线的斜率 做一做1 1 若f x0 0 则曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线 a 不存在b 与x轴平行或重合c 与x轴垂直d 与x轴斜交解析 由导数的几何意义知 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线斜率为0 故选b 答案 b 做一做1 2 如果曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为x 2y 3 0 那么 a f x0 0b f x0 0c f x0 0d f x0 不存在解析 根据导数的几何意义 知f x 在x x0处的导数就是f x 在x x0处的切线的斜率 所以f x0 12 0 故选b 答案 b 2 导函数从求函数f x 在x x0处导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 这样 当x变化时 f x 便是x的一个函数 我们称它为f x 的导函数 简称导数 y f x 的导函数有时也记作y 即f x y lim 0f x x f x x 做一做2 2 若曲线f x 的导函数为f x 2x 3 则f 3 等于 a 0b 2c 3d 9答案 d 做一做2 1 函数在某一点处的导数是 a 在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比b 一个函数c 一个常数 不是变数d 函数在这一点与它附近一点之间的平均变化率解析 根据函数在一点处的导数的定义 可知选c 答案 c 1 求切线方程的步骤 剖析 1 求曲线在点p x0 y0 处的切线方程的步骤 求出函数y f x 在x x0处的导数f x0 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 若求过点p x0 y0 的切线方程 可设切点坐标为 x1 y1 由 1 1 0 1 1 0 1 解出x1 进而确定过点p的切线方程为y y0 f x1 x x0 再化为一般式即可 特别地 若曲线y f x 在点 x0 y0 处的切线垂直于x轴 则此时导数f x0 不存在 由切线的定义可知 切线方程为x x0 注意 若f x0 0 则切线与x轴正方向的夹角是锐角 若f x0 0 则切线与x轴正方向的夹角为钝角 若f x0 0 则切线与x轴平行或重合 2 用割线的极限位置来定义切线 和 与曲线只有一个公共点的直线是切线 的区别是什么 剖析 在初中我们学习过圆的切线 当直线和圆有唯一公共点时 我们称直线和圆相切 这时直线叫做圆的切线 唯一的公共点叫做切点 圆是一种特殊的曲线 如果将圆的切线推广为一般曲线的切线 当直线和曲线有唯一公共点时 直线叫做曲线过该点的切线 这种推广是不妥当的 观察图中的曲线c 直线l1虽然与曲线c有唯一的公共点m 但我们不能说直线l1与曲线c相切 而直线l2尽管与曲线c有不止一个公共点 我们还是说直线l2是曲线c在点n处的切线 因此 对于一般的曲线 必须重新寻求曲线切线的定义 3 如何区分f x0 与f x 剖析 对于一个确定的函数y f x x2 我们可以求出y f x 在x 0 x 1 x 3 x 4处的导数即f 0 f 1 f 3 f 4 如 y f x0 x f x0 x0 x 2 02 2 2 0 x 2 2 0 2 0 f 0 lim 0 y x x 0 2 0 0 同理可得 f 1 2 f 3 6 f 4 8 f x0 2x0 我们会发现对于一个确定的自变量值x0 f x0 也是确定的值 因此 我们可以得到对于函数y f x 当x变化时 f x 是关于x的一个函数 需注意f x0 与f x 的意义不同 f x 为f x 的导函数 而f x0 为f x 在x x0处的导函数值 题型一 题型二 题型三 题型四 求曲线的切线方程 1 求在曲线c上横坐标为2的点处的切线方程 2 第 1 小题中的切线与曲线c是否还有其他的公共点 分析解答第 1 小题 可先求出切点坐标及斜率 然后利用直线的点斜式方程求切线方程 解答第 2 小题 可把第 1 小题中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组 求方程组的解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 2 由 4 4 13 3 43 得 x 2 x2 2x 8 0 解得x1 2 x2 4 从而求得公共点的坐标为 2 4 或 4 20 故切线与曲线c的公共点除了切点外 还有其他的公共点 反思1 解决这类题 先求出函数y f x 在已知点处的导数即曲线在该点处切线的斜率 再由直线的点斜式方程便可求出切线方程 2 导数的几何意义中所说的点应在曲线上 否则函数在该点处的导数不是斜率 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知曲线c f x 2x2 1 求过点p 0 0 且与曲线c相切的切线l的方程 解 设切点p0 x0 y0 则f x0 lim 0f x0 x f x0 x x 02 0 2 1 2 02 1 lim 0 4 0 2 4 0 故曲线c在点p0处的切线l的方程为y y0 4x0 x x0 即l y y0 4x0 x 4x02 又点p0在曲线c上 y0 2x02 1 y 2x02 1 4 0 4x02 切线l过点p 0 0 2x02 1 4x02 题型一 题型二 题型三 题型四 即2x02 1 0 22 当x0 22时 切线l的方程为y 2 222 1 4 22 4 222 即y 22 当x0 22时 切线l的方程为y 2222 1 4 22 4222 即y 22 故过点p 0 0 且与曲线c相切的切线l的方程为y 22 或y 22 题型一 题型二 题型三 题型四 求切点坐标 例2 已知抛物线y f x 3x2 7 求 1 在抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45 2 在抛物线上哪一点处的切线平行于直线6x y 2 0 3 在抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x 12y 3 0 分析 设点的坐标 求出在该点处的导数 利用条件建立方程 求出点的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 解 设所求点的坐标为 x0 y0 则 y 3 x0 x 2 7 3 02 7 6 0 x 3 x 2 所以 6 0 3 当 x无限趋近于零时 无限趋近于6x0 即f x0 6x0 1 因为切线的倾斜角为45 所以斜率为tan45 1 即f x0 6x0 1 得x0 16 所以该点的坐标为16 8512 题型一 题型二 题型三 题型四 2 因为切线平行于直线6x y 2 0 所以切线的斜率为6 即f x0 6x0 6 得x0 1 所以该点的坐标为 1 10 3 因为切线与直线x 12y 3 0垂直 所以切线的斜率为12 即f x0 6x0 12 得x0 2 所以该点的坐标为 2 19 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解答此类题目 所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键 由这些信息可知函数在所求点处的导数 进而可求得此点的横坐标 具体的解题步骤为 1 先设切点坐标为 x0 y0 2 求导函数f x 3 求切线的斜率 4 由斜率与导数间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 5 切点 x0 y0 在曲线f x 上 将 x0 y0 代入曲线方程求得切点坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 求曲线y f x x3在哪一点处的切线 1 平行于直线y 3x 5 2 垂直于直线x 6y 5 0 3 倾斜角为45 分析 本题主要考查导数的几何意义和两条直线平行 垂直的条件 解题的关键是设出切点的坐标 求出切线的斜率 题型一 题型二 题型三 题型四 2 因为切线与直线x 6y 5 0垂直 所以3 02 16 1 得x0 2 即p 2 22 或 2 22 是满足条件的点 3 因为倾斜角为45 所以其斜率为1 即3 02 1 得x0 33 即 33 39或 33 39是满足条件的点 题型一 题型二 题型三 题型四 导数几何意义的综合应用 例3 设曲线f x x2 1和g x x3 x在其交点处的两条切线的夹角为 求cos 分析 本题考查了导数几何意义的综合应用 解决本题的关键是求出两条切线的方向向量 要求cos 的值 必须先求出两条曲线的交点 再利用导数分别求出在交点处的切线的斜率 通过向量的数量积可求得cos 题型一 题型二 题型三 题型四 解 由f x g x 得x3 x2 x 1 0 即 x 1 x2 1 0 所以x 1 即两条曲线的交点坐标为 1 2 因为f 1 lim 0f 1 x f 1 x x 0 1 2 1 12 1 2 所以曲线f x 在交点处的切线l1的方程为y 2 2 x 1 即y 2x 又因为g 1 lim 0 1 1 lim 0 1 3 1 13 1 4 题型一 题型二 题型三 题型四 所以曲线g x 在交点处的切线l2的方程为y 2 4 x 1 即y 4x 2 取切线l1的方向向量为a 1 2 切线l2的方向向量为b 1 4 则cos 95 17 98585 反思导数几何意义的综合应用 主要是根据函数y f x 在x x0处的导数即曲线f x 在x x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程 再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系 斜率的最值 斜率的范围 直线的方向向量等关系求解相关问题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 求曲线y 1 和 2在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形的面积 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 考虑不全而致错 例4 求过曲线y f x x3上的点 1 1 的切线方程 错解 y f 1 x f 1 1 x 3 1 x 3 3 x 2 3 x 3 3 2 3 x 2 3 x 3 lim 0 y x x 0 2 3 3 3 即f 1 3 所求切线方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0