山东日照高三数学校际联考理

山东省日照市2019届高三数学1月校际联考试题 理（含解析）考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式：(其中R是球的半径)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】，故选D【点睛】本小题主要考查两个集合的交集，考查一元二次方程的解法，属于基础题.2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得：，据此可知，复数z的虚部为.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程3.下列函数是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶函数排除，再根据单调性排除，得到正确选项.【详解】选项：当时，此时函数单调递减，故错误；选项：函数定义域为，故函数为非奇非偶函数，故错误；选项：，函数为偶函数；当时，此时和均为增函数，所以整体为增函数，故正确；选项：，为非奇非偶函数，且在上单调递减，故错误.本题正确选项：【点睛】本题考查简单函数的奇偶性和单调性的判定，属于基础题.4.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应函数的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】右平移个单位长度得带,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到,故选C.5.如图，D是的边AB的中点，则向量等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则知，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化【详解】由题意，根据三角形法则和D是的边AB的中点得，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量加法的三角形法的应用，其中解答中结合图形和题意，合理利用平面向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据圆心到渐近线的距离等于半径得出的关系，进而可求出离心率圆 配方得，所以圆心为，半径为，由已知圆心到直线的距离为，可得，可得，故选A考点：1、双曲线；2、渐近线；3、圆；4、点到直线距离【此处有视频，请去附件查看】7.张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)若该女第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意设每天多织尺,依题意得,解得.故选B.8.已知下列四个命题：“若”的逆否命题为“若”；“”是“”的充分不必要条件；命题，使得；若为假命题，则p，q均为假命题其中真命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：对，原命题的逆否命题是结论与条件均否定，所以正确；对，因为的解为或，所以正确；对，特称命题的否定是全程命题，正确；对，当且为假命题时，至少一个是假命题，所以不对综上，真命题的个数为个，选C考点：1.四种命题；2.充分必要条件；3.全称命题与特称命题9.若直线垂直，则二项式的展开式中的系数为( )A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件列方程求得的值.然后利用二项式展开式的通项公式，求得的系数.【详解】由直线与垂直，可得，求得，则二项式的展开式的通项公式，令，求得，可得展开式中x的系数为.故答案为B【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的表示，考查二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题.10.如图，已知椭圆的中心为原点,为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，设右焦点为，由知，即在中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得，从而，得，于是，所以椭圆的方程为，故选C11.一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据三视图画出原图，然后找到球心的位置并计算出球的半径，由此求得球的体积.【详解】主视图是边长为2的正三角形，面面，高是，其中，球心在上，设球的半径为r，则，解得，故.故选B.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查几何体外接球体积的求法，属于基础题.12.若m为函数的一个极值点，且，则关于x的方程的不同实数根个数不可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】分析：详解：由已知，由题意有两个不等实根，不妨设为，因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是3或4或5，不可能是2故选A点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程根的个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、揄能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力二、填空题。13.已知等比数列满足_【答案】9【解析】【分析】利用求出，然后利用等比数列通项公式求得.【详解】因为，故，由等比数列的通项公式得【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知实数满足约束条件则的最小值是_【答案】-2【解析】【分析】画出可行域，由此判断目标函数经过点时，取得最小值.【详解】作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线经过点时，截距取得最小值，即.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最小值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.设的最小值为_【答案】【解析】【分析】将转化为，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设分别是函数的零点(其中)，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先利用零点求得满足的方程，根据同底的指数函数与对数函数关于对称，以及关于对称，得到，由此化简为，再由求得的取值范围.【详解】由已知得， ，因为与关于对称，图象关于对称，所以点与点关于对称，所以，且，其中，则在上单调递减，所以，故的取值范围是.【点睛】本小题主要考查函数的零点问题，考查了同底的指数函数和对数函数互为反函数，反函数的图像关于对称，考查函数的单调性，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.如图，在平面四边形ABCD中，(1)求；(2)求【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求解出结果；（2）利用两角和差公式求出，再利用余弦定理求解出结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得所以（2）在中，由已知可知是锐角，又所以所以在中，由余弦定理可知：所以【点睛】本题考查两角和差公式的应用、正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.18.已知正三角形 的边长为3， 分别是边上的点，满足 (如图1)将折起到的位置，使平面平面，连接(如图2)(1)求证：平面 ；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）在图中，取的中点，连接，证明是等边三角形，由此证得，即在图中有，根据面面垂直的性质定理可证得平面.（2）以为原点，以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】解：（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF，.而，是正三角形又，即在图2中，平面平面，平面平面，平面. （2）由（1）知，即平面，以E为原点，以向量的方向为轴的正方向建立如图所示的坐标系，则. 设分别是平面和平面的法向量，由，得，取，得，由，得，取，得，所以. 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：下周一无雨无雨有雨有雨下周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由【答案】(1)分布列见解析，14.4万元.(2)当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.理由见解析.【解析】分析：（）根据基地收益为万元的概率为，即基地无雨的概率为0.36，可求出周一无雨的概率为；根据独立性事件的概率，可求出另外几种情况下的概率。列出基地收益分布列，即可根据公式求期望来表示其预期收益。（）周一采摘完的预期收益为。所以和两天采摘相比，收益高出来了。这时讨论的情况确定是否外聘工人。详解：（）设下周一无雨的概率为，由题意，基地收益的可能取值为，则，.基地收益的分布列为： ，基地的预期收益为万元.（）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元）， 综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法。主要理解题意，正确判断无雨的概率，进而能够求出在各种情况下的概率，求出其分布列，属于简单题。20.已知抛物线上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2(1)若，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求的值；(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且(其中O为坐标原点)求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值【答案】(1) (2) 见证明； 最小值88【解析】【分析】（1）根据点的坐标和抛物线的定义，求得的值，进而求得抛物线的方程以及点的坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点的横坐标，利用抛物线的定义求得的值.（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算，化简，由此证得直线过定点. 利用的结论求得,由此求得四边形面积的表达式，换元后利用二次函数的单调性来求得四边形面积的最小值.【详解】解：（1）点，解得，故抛物线E的方程为：， 所以当时，直线的方程为，联立可得，.（2）证明：设直线，联立抛物线方程可得，由得：，解得或（舍去），即，所以直线过定点；由得同理得，.则四边形面积.令，则是关于的增函数，故当时，.当且仅当时取到最小值88.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查弦长公式以及四边形面积的求法，属于中档题.21.设函数，e是自然对数的底数(1)若直线与曲线相切，求实数a的值；(2)令讨论函数的单调性；若为整数，且当时，恒成立，其中的导函数，求k的最大值【答案】(1) (2) 见解析 的最大值为2【解析】【分析】（1）设出切点坐标，利用斜率和切点的坐标列方程组，解方程组求得的值.（2）求得的表达式并求其导数，对分成，两类，讨论函数的单调性. 当时，将原不等式分离常数得，构造函数，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】解：(1)由题意知与相切，设切点为，由，所以，解之得.（2）由题意知函数的定义域是， 若，则，所以函数在上单调递增；若，令，得；令，得.所以，在上单调递减，在上单调递增. 由于， ，令，令，在单调递增，且，在存在唯一的零点，设此零点为，则且，当时，；当时，. ，由，所以的最大值为2.【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.22.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线，过点